Book: Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь



Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Кит Йейтс

Математика жизни и смерти: 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Моим родителям, Тиму, Нэнси и Мэри, которые научили меня читать, и моей сестре Люси, которая научила меня писать

© Соловьев А.В., перевод на русский язык, 2020

© Оформление. ООО «Издательство «Эксмо», 2021

Предисловие

Почти все

Мой четырехлетний сын любит играть в саду. Его любимое занятие – выкапывать и рассматривать всяких ползучих тварей, особенно улиток. Если он достаточно терпелив, попавшие к нему в руки улитки, отойдя от первого шока, осторожно вылезают из своей раковины и начинают ползать по его маленьким ручкам, оставляя следы вязкой слизи. Когда же они ему наскучат, он равнодушно выбрасывает их в компостную кучу или на дрова за сараем.

В конце сентября прошлого года, после особенно напряженной охоты, откопав пять или шесть больших особей и избавившись от них, он подошел ко мне, когда я пилил дрова для костра, и спросил: «Папа, а сколько там, в саду, улиток?» Обманчиво простой вопрос, на который у меня не было хорошего ответа. Их могла быть сотня или тысяча. Честно говоря, разницы он бы не понял. Тем не менее его вопрос вызвал у меня интерес. С этим определенно стоило разобраться вместе.

Мы решили провести эксперимент. Ближайшим субботним утром мы пошли собирать брюхоногих. Через десять минут у нас оказалось в общей сложности 23 улитки. Я вытащил из заднего кармана маркер и пометил каждую крестиком. Как только они все были помечены, мы опорожнили ведро, выпустив улиток обратно в сад.

Через неделю мы совершили новый заход. На этот раз за десять минут мы добыли лишь 18 улиток. Осмотрев их внимательно, мы обнаружили у трех из них на раковинах крестик; у оставшихся 15 его не было. Вот и все, что нам требовалось для подсчета.

Идея заключается в следующем: количество улиток, которых мы поймали в первый день (23) – это некоторая часть общей численности брюхоногого населения сада, «перепись» которого мы хотим провести. Если мы вычислим, какую долю она составляет, то сможем найти размер всей популяции. Поэтому мы используем вторую выборку (тех, что наловили в следующую субботу). Число отмеченных особей в ней (3 из 18) должно составлять ту же долю, что и общее число отмеченных от всех особей в саду. Упростив это соотношение, мы обнаружим, что пометили каждую шестую особь (как вы можете видеть на рис. 1). Далее, умножив число помеченных в первый день особей (23) на 6, мы получим общее число улиток в саду – 138.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 1. Отношение количества повторно пойманных улиток (ОХ) к общему количеству пойманных во второй день (О) должно быть таким же, как и отношение количества пойманных в первый день (Х) к общему количеству улиток в саду, помеченных и не помеченных – 3:18 и 23:138 соответственно


После завершения этого мысленного расчета я обратился к своему сыну, который «присматривал» за собранными нами улитками. Как он прокомментировал мое заявление, что в саду обитает примерно 138 улиток? «Папа, – сказал он, не отводя глаз от осколков раковины, все еще липнущих к его пальцам, – я убил ее». Ну, тогда 137.

Этот простой математический метод, известный как мечение и повторный отлов, был разработан экологами для оценки размеров популяций животных. Вы можете использовать его самостоятельно, взяв два независимых образца и сравнив пересечения этих множеств. Так можно оценить количество лотерейных билетов, проданных на местной ярмарке, или посещаемость футбольного матча, не затрудняясь утомительным подсчетом по головам, а оперируя корешками билетов.

Метод мечения и повторного отлова используется и в серьезных научных проектах. Он может дать, например, жизненно важную информацию о колебаниях численности вида, находящегося под угрозой исчезновения. Оценка количества рыбы в водоеме[1] поможет рыбхозяйству определить, сколько можно выдать разрешений на рыбалку. Этот метод настолько эффективен, что его применение вышло за рамки экологии и позволяет узнать размер любых групп – от количества наркоманов среди населения [2] до числа погибших во время войны в Косово [3]. Такова практическая сила простых математических идей. Именно такие концепции мы разберем в этой книге, и именно их я регулярно использую в своей повседневной работе – математической биологии.

* * *

Когда я говорю людям, что занимаюсь математической биологией, в ответ мне обычно вежливо кивают, и этот кивок сопровождается неловким молчанием – будто я собираюсь проверить, помнят ли они теорему Пифагора или как решать квадратное уравнение. Люди не просто теряются – им сложно понять, какое отношение математика, которую они воспринимают как абстрактный, чисто теоретический и отвлеченный предмет, может иметь к биологии, которая, как правило, считается предметом практичным, «приземленным» и прикладным. С такой искусственной дихотомией, люди часто впервые сталкиваются еще в школе: если вам нравились естественнонаучные дисциплины, но алгебра особо не давалась, вас «спихивали» изучать биологию. Если вам, как и мне, нравились естественные науки, но вас (как и меня) не прельщала идея потрошить мертвые тушки (в начале курса по препарированию я как-то раз упал в обморок, когда зашел в лабораторию и увидел на своем рабочем месте рыбью голову), то вам приходилось идти на физику. Вместе им не сойтись…

Так было и со мной. В старших классах я бросил биологию и сдавал экзамены для поступления в институт по математике (основной и углубленный курс), физике и химии. В университете мне пришлось еще больше упорядочить свой учебный план. Меня расстраивало, что придется навсегда оставить биологию: предмет, который, как мне казалось, обладал невероятной силой, способной изменить жизнь к лучшему. Я с нетерпением предвкушал возможностью окунуться в мир математики, но опасался, что берусь за предмет, малоприменимый на практике. Сильнее ошибиться я не мог.

Я грыз гранит «голой» математики, которой нас учили в университете, запоминал доказательство теоремы о промежуточном значении или определение векторного пространства, но настоящим смыслом жизни для меня стали курсы прикладной математики. Лекторы рассказывали, как используют математику инженеры при строительстве мостов, чтобы те не входили в резонанс и не рушились из-за ветра, или авиаконструкторы – при проектировании крыльев, которые удерживают самолеты в небе. Я узнал о квантовой механике, которую физики привлекают к делу, чтобы понять странные явления субатомных масштабов, и о специальной теории относительности, которая исследует странные последствия постоянства скорости света. Я посещал курсы, объясняющие, как математику используют в химии, финансах и экономике. Я прочел о том, как математику пускают в ход в спорте для повышения результатов лучших спортсменов, и о том, как математику применяют в кинематографе для создания компьютерной анимации сцен, которые не могли бы существовать в реальности. Короче говоря, я узнал, что с помощью математики описать можно практически все.

На третьем курсе мне посчастливилось пройти курс математической биологии. Лектором был Фи́лип Майни, привлекательный североирландский профессор лет сорока с небольшим. Он не только был выдающейся личностью в своей области (позже его изберут членом Королевского общества [4]), но и, несомненно, любил эту тему, увлекая своим энтузиазмом всех студентов в аудитории.

Филип научил меня не только математической биологии, но и тому, что математики – живые люди, а не однозадачные роботы, какими их часто изображают. Математик – это нечто большее, чем «машина для переработки кофе в теоремы», как некогда высказался венгерский специалист по теории вероятностей Альфред Реньи. Когда я сидел в офисе Филипа, ожидая начала собеседования на позицию соискателя ученой степени, я увидел на стенах в рамочках множество писем с отказами, которые он получал от клубов Премьер-лиги, куда писал шуточные заявления о приеме на работу на вакантные тренерские места. В итоге мы больше говорили о футболе, чем о математике.

Именно в этот решающий момент моего академического образования Филип помог мне полностью переосмыслить биологию. Работая под его руководством над кандидатской диссертацией, я исследовал все – от процесса роения саранчи (и того, как его остановить) до прогнозирования комплексной картины развития эмбриона млекопитающего и разрушительных последствий, когда процесс перестает быть согласованным. Я строил модели, объясняющие, как формируется красивая пигментационная окраска птичьих яиц, и писал алгоритмы для отслеживания движения свободно плавающих бактерий. Я моделировал паразитов, уклоняющихся от воздействия нашей иммунной системы, и распространение смертельных болезней в популяции. Исследования, которые я вел во время работы над диссертацией, стали основой всей моей карьеры. Я до сих пор работаю в этих увлекательных областях биологии и в других, веду уже собственных аспирантов на своей нынешней должности доцента (старшего преподавателя) прикладной математики в Университете города Бат.

* * *

Как прикладной математик я считаю математику прежде всего практическим инструментом осмысления и упорядочивания нашего сложного мира. Математическое моделирование может обеспечить нам преимущество в повседневных ситуациях, и для этого не нужно задействовать сотни нудных уравнений или строк компьютерного кода. Математика по своей фундаментальной сути – шаблон. Каждый раз, когда вы смотрите на мир, вы выстраиваете собственную модель наблюдаемых закономерностей. Если вы можете выделить орнамент в бесконечно повторяющемся переплетении ветвей дерева или в многократной симметрии снежинки, то вы видите математику. Когда вы постукиваете ногой в такт музыкальному произведению или когда поете в душе, а ваш голос отражается и резонирует, вы слышите математику. Когда вы забиваете крученый мяч в сетку или ловите летящий по параболе крикетный мяч, вы практикуете математику. С каждым новым ощущением, каждым кусочком сенсорной информации, модели, которыми вы описываете то, что вас окружает, совершенствуются, перенастраиваются и становятся еще более подробными и сложными. Построение математических моделей, разработанных для описания нашей замысловатой реальности, – лучший способ понять правила, которые управляют окружающим миром.

Я считаю, что самые простые, самые важные модели – это истории и аналогии. Нагляднее всего демонстрируют неявное влияние математических принципов разнообразные – от невероятных до обыденных – примеры из жизни. Взглянув под правильными углом, мы сможем попытаться выявить скрытые математические правила, которые лежат в основе нашего повседневного практического опыта.

Семь глав данной книги исследуют подлинные истории переломных событий, в которых корректное (или некорректное) применение математики сыграло решающую роль. Это истории болезней, вызванных дефектными генами; истории банкротств, вызванных применением ошибочных алгоритмов; истории невинных жертв судебных ошибок и нечаянных жертв сбоев в работе программного обеспечения. Мы проследим за историями инвесторов, потерявших состояние, и родителей, потерявших детей, – и все из-за математических недоразумений. Мы столкнемся с этическими дилеммами – от проверок благонадежности до манипулирования статистикой. Мы исследуем такие насущные общественные проблемы, как политические референдумы, профилактика заболеваний, уголовное правосудие и искусственный интеллект. В этой книге мы увидим, что математике есть что сказать как по всем этим вопросам – фундаментальным важным, так и по многим другим.

Я буду не просто приводить примеры работы математических принципов в той или иной ситуации – я вооружу вас простыми и полезными в повседневной жизни математическими правилами и инструментами; они помогут занять лучшее место в поезде и сохранить хладнокровие, получив неожиданные результаты медицинских анализов. Я подскажу несложные приемы, которые позволят не запутаться с цифрами и числами. Нам придется немного запачкать руки типографской краской, разбираясь с тем, какие цифры скрывают броские газетные заголовки. Мы сведем близкое знакомство с математическими законами, лежащими в основе потребительской генетики, и понаблюдаем, как они действуют на практике, шаг за шагом отслеживая попытки остановить распространение смертельной болезни.

Как вы, надеюсь, уже поняли, это не учебник математики. И это не книга для математиков. На ее страницах вы не найдете ни одного уравнения. Смысл книги не в том, чтобы напомнить об уроках математики, которые вы посещали, вероятно, очень-очень давно. Совсем наоборот. Если когда-то вы разочаровались в математике и решили, что она не для вас, что она вам не дается, эта книга избавит от таких комплексов.

Я искренне верю, что математика – для всех и что все могут оценить ее красоту, лежащую в основе сложных явлений, с которыми мы сталкиваемся ежедневно. Срабатывание ложных сигналов тревоги у нас в мозгу – и ложное чувство уверенности, позволяющее нам спокойно спать по ночам; истории, которые навязывают нам соцсети, и мемы, которые распространяются через них, – все это тоже математика. Математика – это лазейки в законе и заплатки, которые их закрывают; технология, которая спасает жизни, и ошибки, которые подвергают их риску; вспышки смертельных болезней и лечебно-профилактические стратегии. Это самый многообещающий шанс найти ответы на фундаментальные вопросы Вселенной и нашего собственного вида. Математика ведет нас по бесчисленным путям жизни и поджидает у гробовой доски, чтобы взглянуть, как мы делаем последний вдох.



Глава 1

Мыслить шире: удивительная сила и отрезвляющие пределы экспоненциального поведения

Даррен Кэддик – инструктор по вождению из Калдикота, небольшого городка в Южном Уэльсе. В 2009 году его приятель сделал ему заманчивое предложение. Вложив всего лишь 3000 фунтов стерлингов в местный инвестиционный синдикат и убедив сделать то же самое еще двух человек, Даррен всего через пару недель получил бы 23 000 фунтов. Поначалу, посчитав, что это слишком хорошо, чтобы быть правдой, Кэддик сопротивлялся искушению. Но друзья в конце концов убедили его, что «никто ничего не потеряет, так как схема будет действовать бесконечно». Он решил попытать счастья и вложил свои сбережения в эту схему. Он потерял все и до сих пор, десять лет спустя, расхлебывает последствия.

Кэддик невольно оказался на дне пирамиды, которая просто не могла «действовать бесконечно». Запущенная в 2008 году программа Give and Take («Отдай и получи») перестала привлекать новых инвесторов и рухнула менее чем за год, но за это время свыше 10 000 вкладчиков со всей Великобритании вложили в нее более 21 млн фунтов. 90 % из них потеряли свои три тысячи. Инвестиционные схемы, основанные на том, что вкладчики вовлекают в них новых участников, чтобы получить свои дивиденды, заведомо обречены на неудачу. Количество новых вкладчиков, необходимых на каждом уровне схемы, растет пропорционально количеству людей, уже участвующих в ней. После пятнадцати этапов привлечения инвесторов в подобной пирамиде будет задействовано более 10 000 человек – вроде бы много, но схема «отдай и получи» легко позволяет заполучить такое количество участников. Однако еще через пятнадцать этапов для продолжения работы схемы в нее должен инвестировать уже каждый седьмой человек на планете. Этот феномен быстрого роста, неизбежным итогом которого становится крах всей системы из-за того, что она перестает привлекать новых участников (они заканчиваются физически), называется экспоненциальным ростом.

Сделанного не воротишь

Экспоненциальный рост – это возрастание любой величины пропорционально ее текущим размерам. Представьте, что утром, когда вы открываете пакет молока, туда, прежде чем снова наденете крышку, проникает одна клетка Streptococcus faecalis – бактерии стрептококка группы D. Стрептококк группы D – одна из бактерий, вызывающих скисание и свертывание молока, но разве единственная клетка – повод для беспокойства?[5] Возможно, вас насторожит способность клетки стрептококка группы D делиться в молоке, производя две дочерние клетки каждый час [6]. С каждым новым поколением число клеток увеличивается пропорционально текущему их числу, поэтому общее количество стрептококка растет в геометрической прогрессии.

Кривая, описывающая экспоненциальный рост, напоминает любимую роллерами, скейтбордистами и велосипедистами-трюкачами рампу в четверть трубы. Первоначально градиент рампы очень низкий – кривая очень пологая и набирает высоту лишь постепенно (что и демонстрирует первая линия на рис. 2).

Через два часа в вашем молоке резвятся уже 4 клетки стрептококка, а через четыре часа – 16. Пока что это не выглядит чем-то ужасным, так? Но, как и у рампы, высота экспоненциальной кривой и ее крутизна быстро растут. Рост в геометрической прогрессии поначалу представляется медленным, поэтому последующий резкий взлет может показаться неожиданным. Если оставить молоко на 48 часов, и экспоненциальный рост клеток стрептококка продолжится, то когда вы решите снова попить молока, в пакете может оказаться почти квадриллион (1 000 000 000 000 000) клеток – достаточно, чтобы свернулась ваша кровь, не говоря уж о молоке. В этот момент клеток будет больше, чем людей на нашей планете – 130 000 к одному. Экспоненциальные кривые иногда называют J-образными, так как они почти повторяют крутую кривую буквы J. Разумеется, по мере того, как бактерии используют питательные вещества в молоке и меняют его кислотность (рН), условия для роста ухудшаются, а его экспоненциальность сохраняется относительно недолго. На деле почти в каждом реальном сценарии долгосрочный экспоненциальный рост оказывается неустойчивым, а во многих случаях и патологическим, поскольку растущий объект истощает ресурсы донора, лишая его жизнеспособности. Так, устойчивый экспоненциальный рост клеток в организме является характерным признаком рака.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 2. J-образная кривая экспоненциального роста (слева) и спада (справа)


Другой пример экспоненциальной кривой – водная горка с эффектом свободного падения: в своей верхней части она настолько крута, что посетители этого аттракциона испытывают чувство невесомости. Спускаясь по такой горке, мы путешествуем по экспоненциальной кривой спада, а не по кривой роста (пример такого графика – вторая линия на рис. 2). Экспоненциальное затухание происходит, когда количество уменьшается пропорционально своему текущему объему. Представьте, что вы открываете огромный пакет М&Ms, выливаете их на стол и съедаете все конфетки, упавшие на стол буквой М кверху. Остальное кладете обратно в пакет – до завтра. На следующий день встряхните пакет и снова вывалите конфеты на стол. Снова съешьте все те, что лежат буквой M кверху, а остальное положите обратно. Каждый раз, когда вы выливаете конфеты из пакета, вы съедаете примерно половину от остатка, независимо от того, сколько конфет вы съели в первый раз. Количество конфет уменьшается пропорционально количеству оставшихся в пакете, то есть происходит экспоненциальное падение их общего числа. Точно так же экспоненциальная водяная горка начинается высоко и почти вертикально, так что скатывающийся падает очень быстро. Когда у нас много конфет, то и на съедение их выпадает много. Но кривая постепенно теряет свою крутизну, пока не станет почти горизонтальной к концу горки; чем меньше сладостей у нас остается, тем меньше конфет мы получаем с каждым новым днем. Каждая конкретная конфета падает буквой М вверх или вниз случайно и непредсказуемо, но предсказуемое затухание экспоненциальной кривой водной горки проявляется в количестве остающихся у нас с течением времени конфет.

В этой главе мы выявим скрытую связь между экспоненциальным поведением и повседневными явлениями: распространением эпидемии в популяции или мемов в интернете; быстрым ростом эмбриона и слишком медленным ростом денег на наших счетах; тем, как мы воспринимаем время, и даже тем, как взрывается ядерная бомба. По ходу дела мы постепенно и аккуратно раскроем всю трагедию пирамиды «Отдай и получи». Истории людей, потерявших сбережения в подобных схемах, демонстрируют, как важно уметь мыслить экспоненциально, что, в свою очередь, поможет нам предвосхищать невероятные порой темпы изменений в современном мире.

Дело больших процентов

В тех редчайших случаях, когда мне удается внести депозит на банковский счет, я утешаю себя тем, что какими бы мизерными ни были мои сбережения, растут они всегда в геометрической прогрессии. Действительно, банковский счет не предполагает никаких ограничений на экспоненциальный рост – по крайней мере, на бумаге. При условии, что процент начисляется на процент (то есть проценты прибавляются к текущему объему денег на счете, и новый процент начисляется уже на все вместе), общая сумма на счете увеличивается пропорционально его текущему размеру, что характерно для экспоненциального роста. Как выразился Бенджамин Франклин, «деньги зарабатывают деньги, а деньги, которые заработаны деньгами, зарабатывают еще больше денег». Со временем – если хватит этого времени и терпения – даже мизерный вклад способен превратиться в целое состояние. Однако не стоит торопиться запирать ваш отложенный на черный день резерв на депозитном счете. Инвестируя ежегодно по 100 фунтов под 1 % годовых, миллионером вы станете через 900 с лишним лет. Хотя рост по экспоненте часто ассоциируется со взрывным, при изначально невысоких темпах роста и малых вложениях увеличение по экспоненте будет исключительно неторопливым.

Обратная сторона медали – взимаемые с вас фиксированные проценты на непогашенную сумму (часто по высокой ставке), из-за чего задолженность по кредитным картам также может расти по экспоненте. Как и в случае с ипотекой, чем раньше – и чем больше – вы платите по кредиту, тем меньше вы в итоге платите в целом, не давая возможности экспоненте набрать взрывную пропорцию.

Жертвы пирамиды «Отдай и получи» говорили, что главной причиной, по которой они ввязались в эту схему, была необходимость выплачивать проценты по ипотеке и разобраться с другими долгами. Перед искушением быстро поправить свои финансовые дела за счет «легких денег» очень сложно устоять, несмотря даже на навязчивое ощущение, что что-то здесь не так. Как признает Кэддик, «старая поговорка, если что-то выглядит слишком хорошо, чтобы быть правдой, значит, это неправда, оказалась исключительно верной».

Создательницы пирамиды, пенсионерки Лора Фокс и Кэрол Чалмерс, дружили еще с католической школы. Обе они были столпами местного сообщества; одна – вице-президент местного «Ротари-клуба»[7], другая – уважаемая бабушка-матриарх. Они прекрасно понимали, что делают, создавая мошенническую инвестиционную схему. Программа «Отдай и получи» была тщательно продумана, чтобы заманить в ловушку потенциальных инвесторов, скрывая от них все подводные камни. В отличие от традиционной двухуровневой пирамиды, в которой человек, находящийся на вершине цепочки, получает деньги от привлеченных инвесторов напрямую, система «Отдай и получи» функционировала как четырехуровневая «самолетная» схема. В такой схеме человек, стоящий в начале цепочки, называется «пилотом». Пилот набирает двух «вторых пилотов», каждый из которых набирает двух «членов экипажа», а те набирают по два «пассажира». По формировании иерархической структуры из пятнадцати человек в схеме Фокс и Чалмерс восемь «пассажиров» платили по 3000 фунтов организаторам, которые передавали огромную сумму в 23 000 фунтов первому инвестору, снимая сливки в размере 1000 фунтов. Часть этих денег уходила на благотворительность – в ответ шли благодарственные письма от организаций вроде NSPCC[8], что добавляло схеме легитимности и респектабельности. Часть средств организаторы сохраняли, чтобы обеспечить бесперебойную работу схемы.

Получив свою долю, «пилот» выходит из схемы, и два «вторых пилота» повышаются в звании до «пилотов», ожидая, пока «члены экипажа» наберут восемь новых пассажиров на нижний этаж пирамиды. «Самолетные» схемы особенно соблазнительны для инвесторов, так как новым участникам нужно набрать всего двух человек, чтобы умножить свои вложения восьмикратно (хотя, конечно, эти два человека должны набрать еще двух и т. д.). В других, более «плоских» схемах для получения такой же прибыли необходимо привлечь гораздо больше участников. В крутой четырехуровневой структуре программы «Отдай и получи» «члены экипажа» никогда не брали деньги непосредственно у «пассажиров», которых они вовлекали в схему. Это гарантировало, что деньги никогда не перемещались между близкими знакомыми, ведь наиболее вероятными неофитами схемы становились друзья и родственники «членов экипажа». Такое разнесение «пассажиров» и «пилотов», выплаты которым те финансировали, облегчало привлечение новых участников и снижало вероятность, что вкладчики потребуют вернуть деньги. Это придавало инвестиционному проекту еще бóльшую привлекательность, что в итоге вовлекло в схему тысячи человек.

Уверенность вкладчиков в надежности инвестиций в пирамиду «Отдай и получи» подкреплялась историями прежних выплат, а порой такие выплаты производились прямо у них на глазах. Организаторы схемы, Фокс и Чалмерс, устраивали пышные частные вечеринки в отеле Somerset, который принадлежал Чалмерс. На вечеринках распространялись рекламные проспекты, пестревшие фотографиями участников схемы, развалившихся на усыпанных купюрами кроватях или потрясающих перед фотоаппаратом веерами из пятидесятифунтовых банкнот. На такую вечеринку организаторы приглашали кого-то из «невест» (в основном женщин), которые доросли до «должности» пилота в своей ячейке пирамиды и должны были получить выплаты. «Невестам» устраивали викторину из четырех простых вопросов вроде «Какая часть Пиноккио растет, когда он лжет?» перед аудиторией из двухсот – трехсот потенциальных инвесторов.

Фокс и Чалмерс считали, что викторина позволяет использовать лазейку в законе, легитимизируя подобную деятельность, раз для получения дивидендов требуется продемонстрировать некий «навык». На ролике с одного из таких мероприятий, сделанном на мобильный телефон, можно услышать крики Фокс: «Мы играем в азартные игры у себя дома, и это вполне легально!» Она ошибалась. Майлз Беннет, адвокат, ведущий дело, объяснил: «Викторина была настолько легкой, что проигравших не было – все, кто должен был получить выплаты, всегда их получали. Они даже могли попросить друга или члена оргкомитета помочь с ответами, и комитет знал эти ответы!»

Это не остановило Фокс и Чалмерс. Они использовали вечеринки с раздачей выплат и призов, чтобы прививать вирус их низкотехнологичной маркетинговой кампании. Глядя на «невест» с их чеками на 23 000 фунтов, многие из приглашенных гостей вкладывались в схему сами и призывали к этому своих друзей и членов семьи, формируя пирамиду с собой во главе. Если каждый новый инвестор передавал эстафету минимум двум другим, схема оставалась бесконечной. Запустив пирамиду весной 2008 года, Фокс и Чалмерс были единственными пилотами. Призывая друзей вкладывать деньги (и, по сути, помогать в мошенничестве), эта пара быстро привлекла к делу еще четырех человек. Те четверо набрали еще восемь, затем шестнадцать и так далее. Такое экспоненциальное удвоение числа неофитов в схеме очень похоже на удвоение числа клеток в растущем эмбрионе.

Экспоненциальный эмбрион

Когда моя жена была беременна нашим первым ребенком, мы, как и многие другие родители-новички, помешались на том, чтобы выяснить, что происходит в ее утробе. Мы позаимствовали ультразвуковой кардиомонитор, чтобы слушать сердцебиение нашего ребенка; мы записались на клинические испытания, чтобы получить дополнительные снимки; и мы читали сайт за сайтом, где рассказывалось, что происходило с нашей дочерью, как она растет, отчего мою жену тошнит каждый день. Чаще всего мы «зависали» на страничках типа «Как вырос ваш малыш», где каждую неделю размер еще не рожденного ребенка сравнивали с обычными фруктами, овощами или другими продуктами. Они описывают растущий плод примерно такими сентенциями: «Весом около полутора унций и размером около трех с половиной дюймов, ваш маленький ангелочек примерно с лимон» или «Ваша любимая маленькая репка теперь весит около пяти унций и примерно пять дюймов в длину с головы до пят».

На этих сайтах меня поражало то, как быстро менялись размеры плода от недели к неделе. На четвертой неделе ваш малыш был размером с маковое семя, а к пятой он раздувался до размера кунжутного! Иными словами, за неделю объем плода вырастал примерно в 16 раз.

Хотя, возможно, такой быстрый рост вовсе не так уж и удивителен. После оплодотворения яйцеклетки сперматозоидом на первоначальном этапе развития плода получившаяся зигота проходит последовательные раунды «дробления» – деления клеток; количество клеток в развивающемся эмбрионе быстро растет. Сначала она делится на две. Восемь часов спустя эти две делятся на четыре, еще через восемь часов четыре становятся восемью, которые вскоре превращаются в шестнадцать, и так далее – точно так же, как и количество новых вкладчиков на каждом уровне пирамидальной схемы. Последующие деления происходят почти синхронно каждые восемь часов. Таким образом, общее количество клеток растет пропорционально количеству клеток, составляющих эмбрион в данный момент времени: чем больше клеток сейчас, тем больше новых создается при последующем делении. В этом случае, поскольку при каждом делении каждая клетка создает ровно одну дочернюю клетку, коэффициент увеличения клеток в эмбрионе равен двум; иными словами, с каждым поколением клеток размер эмбриона удваивается.

Во время внутриутробного периода этап экспоненциального роста эмбриона, к счастью, относительно недолог. Если бы зародыш продолжал расти с постоянной экспоненциальной скоростью в течение всей беременности, то 840 синхронных делений клеток породили бы супермладенца, состоящего примерно из 10253 клеток. Для сравнения: если бы каждый атом во Вселенной сам был бы копией нашей Вселенной, то общее количество атомов во всех этих вселенных было бы примерно эквивалентно количеству клеток супермладенца. Разумеется, по мере развития эмбриона деление его клеток замедляется. В реальности количество клеток в среднем новорожденном составляет относительно скромное число – примерно два триллиона. Такой объем достигается меньше чем за 41 этап синхронного деления.



Разрушитель миров

Быстрый – в геометрической прогрессии – рост количества клеток необходим для создания новой жизни. Однако именно удивительная и ужасающая сила экспоненциального роста побудила физика-ядерщика Джулиуса Роберта Оппенгеймера провозгласить: «Теперь я Смерть, разрушитель миров». Этот рост был ростом не клеток и даже не отдельных организмов, но энергии, получаемой в результате расщепления атомных ядер.

Во время Второй мировой войны Оппенгеймер возглавлял лабораторию в Лос-Аламосе, где базировался «Проект Манхэттен» – программа разработки атомной бомбы. Возможность разделения ядра (крепко связанных протонов и нейтронов) тяжелого атома на более мелкие составляющие обнаружили немецкие химики в 1938 году. Этот процесс назвали ядерным делением по аналогии с бинарным делением, или расщеплением, одной живой клетки на две – совсем как в развивающемся эмбрионе. Было обнаружено, что деление происходит либо естественным путем – как радиоактивный распад нестабильных химических изотопов, либо искусственно индуцируется бомбардировкой ядра атома субатомными частицами в процессе, получившем название «ядерная реакция». В любом случае расщепление одного ядра на два более мелких, которые называются продуктами деления, сопровождается выделением большого количества энергии в виде электромагнитного излучения, а также кинетической энергии движения продуктов деления. Быстро выяснилось, что движущиеся продукты деления, образующиеся в результате первой ядерной реакции, можно использовать для воздействия на следующие ядра, расщепления еще большего количества атомов и высвобождения еще большего количества энергии – возникает цепная ядерная реакция. Если каждое ядерное деление производит в среднем более одного продукта, который можно использовать для расщепления последующих атомов, то теоретически каждое деление может привести к множеству других событий деления. Если этот процесс продолжается, количество реакций растет по экспоненте, высвобождая беспрецедентное количество энергии. При наличии материала, способного поддерживать неконтролируемую цепную ядерную реакцию, экспоненциальное увеличение энергии, высвобождаемой почти мгновенно, позволило бы сделать такой расщепляющийся материал основой для оружия невиданной мощи.

В апреле 1939 года, накануне начала войны во всей Европе, французский физик Фредерик Жолио-Кюри (зять Мари и Пьера Кюри, а также лауреат Нобелевской премии в соавторстве с женой) сделал важнейшее открытие. Он опубликовал в журнале Nature доказательства, что при делении, вызванном одним нейтроном, атомы изотопа урана U-235 выбрасывали в среднем 3,5 (позже это количестве пересчитали до 2,5) нейтрона высокой энергии [9]. Это был именно тот материал, который требовался для управления лавинообразной цепочкой ядерных реакций. «Гонка за бомбой» стартовала.

Одновременно с американцами свой проект ядерной бомбы разрабатывали и нацисты. В нем принимали участие ведущие немецкие физики во главе с нобелевским лауреатом Вернером Гейзенбергом. Оппенгеймер понимал, что ему в Лос-Аламосе придется непросто. Его главной задачей было обеспечить развивающуюся по экспоненте цепную ядерную реакцию, позволяющую практически мгновенно высвободить огромное количество энергии (что и требовалось от ядерной бомбы). Для получения такой самоподдерживающейся и достаточно быстрой цепной реакции ему нужно было добиться, чтобы необходимое количество нейтронов, испускаемых при расщеплении атомов изотопа урана-235, поглощалось ядрами других атомов урана-235, что, в свою очередь, привело бы уже к их расщеплению. Он обнаружил, что в природном уране слишком много испускаемых нейтронов поглощается атомами U-238 (другой значимый изотоп, составляющий 99,3 % природного урана)[10], а это означает, что любая цепная реакция не растет, а, наоборот, затухает по экспоненте. Следовательно, для получения цепной реакции Оппенгеймеру необходимо было получить исключительно чистый U-235, то есть обогатить урановую руду, удалив из нее как можно больше урана-238.

Эти соображения породили идею о так называемой критической массе расщепляющегося материала. Критическая масса урана – это количество материала, необходимое для осуществления самоподдерживающейся цепной ядерной реакции. Она зависит от целого ряда факторов. Пожалуй, наиболее важным является чистота урана-235. Даже при доле U-235 в 20 % доле (по сравнению с естественным его содержанием в 0,7 %) его критическая масса составляет более 400 килограммов, из чего следует, что без урана высокой чистоты ядерную бомбу не сделать. Однако получение достаточного объема чистого урана для достижения сверхкритичности поставило перед Оппенгеймером другую проблему – теперь надо было сконструировать саму бомбу. Очевидно, что просто запихнуть критическую массу урана в бомбу в надежде, что она не взорвется сама по себе, было невозможно. В этом случае естественное расщепление хотя бы одного ядра спровоцировало бы цепную реакцию, инициируя экспоненциальный взрыв.

Угроза проиграть гонку нацистским ядерщикам заставляла Оппенгеймера и его команду поторапливаться. Вскоре у них родилась концепция бомбы. Предложенная ими модель бомбы пушечного типа предполагала, что взрыв такой бомбы будет инициироваться «выстрелом» одной подкритической массы урана в другую для создания единой сверхкритической массы. Выстрел должен был осуществляться с использованием обычной взрывчатки. Затем спонтанное деление ядер, испускающих инициирующие нейтроны, вызывало бы цепную реакцию. Разделение общей критической массы урана на две подкритические массы гарантировало, что бомба не взорвется раньше времени. Получив уран высокой (около 80 %) степени обогащения, разработчики довели необходимую для критичности массу ядерного вещества всего до 20–25 килограммов. Но Оппенгеймер не желал рисковать – неудача проекта означала бы, что первенство в разработке ядерного оружия перейдет к противнику, поэтому он настаивал, что очищенного урана нужно гораздо больше.

К тому времени, когда наконец чистый уран был получен в необходимом объеме, война в Европе уже закончилась. Однако война на Тихом океане продолжалась, и Япония не собиралась сдаваться, несмотря на тяжелые военные неудачи. Понимая, что сухопутное вторжение в Японию значительно увеличит и без того серьезные потери американцев, генерал Лесли Гровс, директор Манхэттенского проекта, издал директиву, разрешающую применение атомной бомбы против Японии, как только позволят погодные условия.

После нескольких дней плохой погоды, вызванной тайфуном, 6 августа 1945 года в голубом небе над Хиросимой взошло солнце. В 07:09 утра в небе над Хиросимой был замечен американский самолет, и по всему городу разнеслись сирены воздушной тревоги. Семнадцатилетняя Акико Такакура недавно устроилась на работу в банк. Она как раз направлялась туда, когда прозвучала сирена. Вместе с другими пассажирами Акико укрылась в одном из городских бомбоубежищ.

В Хиросиме воздушную тревогу объявляли нередко; город был стратегическим военным центром, там размещался штаб японской Второй Основной армии. Однако до поры бомбардировки, обрушившиеся на многие другие японские города, обходили Хиросиму стороной. Акико и ее спутники не знали, что Хиросиму не трогают намеренно, чтобы американцы могли точно оценить весь масштаб разрушений, вызванных новым оружием.

В половине седьмого прозвучал отбой воздушной тревоги. Летящий над головами В-29 выглядел не более зловещим, чем метеорологический самолет. Когда Акико вышла из своего бомбоубежища вместе со многими другими, она вздохнула с облегчением: сегодня утром бомбить не будут.

Акико и другие жители Хиросимы, продолжив свой путь на работу, не подозревали, что самолет-разведчик В-29 передавал по радио информацию о погодных условиях над Хиросимой на «Энолу Гэй» – самолет, на борту которого находилась ядерная бомба пушечного типа по имени «Малыш». Дети шли в школы, рабочие и клерки – на фабрики и в офисы. Акико добралась до своего банка в центре Хиросимы. Женщины должны были приходить на работу за полчаса до мужчин, чтобы убраться в офисе, подготовив его к началу рабочего дня, поэтому к десяти минутам девятого Акико уже усердно трудилась в почти безлюдном здании.

В 08:14 в прицеле пилота «Энолы Гэй» полковника Пола Тиббетса появился Т-образный мост Айои. 4400-килограммовый «Малыш» вышел из бомболюка и начал 6-мильный спуск в направлении Хиросимы. После 45 секунд свободного падения бомба взорвалась менее чем в миле[11] над землей. Одна подкритическая масса урана была выпущена в другую, создав сверхкритическую массу, готовую к взрыву. Почти мгновенное спонтанное деление атома высвободило нейтроны, по крайней мере один из которых был поглощен атомом урана-235. Этот атом, в свою очередь, распался и высвободил больше нейтронов, которые, в свою очередь, были поглощены еще бóльшим количеством атомов. Процесс быстро ускорялся, что привело к экспоненциальной цепной реакции и одновременному высвобождению огромного количества энергии.

Протирая рабочие столы своих коллег-мужчин, Акико выглянула из окна и увидела яркую белую вспышку, похожую на полоску горящего магния. Она, конечно, не знала, что экспоненциальный рост позволил бомбе в одно мгновение высвободить энергию, эквивалентную 30 миллионам тротиловых шашек. Температура бомбы повысилась до нескольких миллионов градусов – жарче, чем на поверхности Солнца. Десятую долю секунды спустя ионизирующее излучение достигло земли, нанеся сокрушительный радиационный урон всему живому, что подверглось его воздействию. Еще через секунду над городом взлетел огненный шар 300 метров в диаметре и с температурой в тысячи градусов Цельсия. Свидетели говорили, что в тот день солнце над Хиросимой взошло дважды. Взрывная волна, двигаясь со скоростью звука, сровняла с землей здания по всему городу. Она бросила Акико в другой конец комнаты, и девушка потеряла сознание. Инфракрасное излучение обжигало незащищенную кожу на мили во всех направлениях. Люди, находившиеся рядом с эпицентром взрыва, мгновенно испарялись или обугливались до золы.

От самых страшных последствий взрыва Акико защитила сейсмостойкая конструкция здания. Придя в себя, она выбралась на улицу и обнаружила, что чистого голубого утреннего неба больше нет. Второе солнце над Хиросимой зашло почти так же быстро, как и взошло. Улицы были темны, затянуты пылью и дымом. Куда ни кинь взгляд, везде лежали тела. Акико пережила ужасный экспоненциальный взрыв, оказавшись всего в 260 метрах от его эпицентра, – это удалось единицам.

По оценкам, в результате взрыва бомбы и последовавших за ним пожаров, которые охватили город, погибло около 70 тысяч человек, 50 тысяч из которых были гражданскими лицами. Большинство зданий города были полностью разрушены. Пророческая сентенция Оппенгеймера сбылась. Насколько бомбардировки Хиросимы и, спустя три дня, Нагасаки, в контексте завершения Второй мировой войны были оправданны, и по сей день остается предметом споров.

«Мирный» атом

Со всеми плюсами и минусами атомной бомбы как таковой, проведенное в рамках Манхэттенского проекта тщательное изучение экспоненциальных цепных реакций, возникающих при расщеплении атома, наделило нас технологией, необходимой для получения чистой и безопасной энергии, производство которой не связано с выбросами углерода, – ядерной энергетикой. Один килограмм урана-235 может высвободить примерно в три миллиона раз больше энергии, чем получается при сжигании такого же количества угля [12]. Однако ядерная энергетика пользуется дурной славой – несмотря на доказательства обратного, считается, что она небезопасна и наносит вред окружающей среде. Отчасти в этом виноват экспоненциальный рост.

Вечером 25 апреля 1986 года [13] Александр Акимов, начальник смены, заступил на ночную вахту на электростанции. Через пару часов должен был начаться эксперимент по стресс-тестированию системы охлаждения. Приступая к эксперименту, Александр, вероятно, думал, как ему повезло иметь стабильную работу на Чернобыльской АЭС, когда Советский Союз разваливался, а 20 % его граждан жили в нищете.

Примерно в 11 часов вечера в рамках программы испытаний Акимов с пульта управления ввел в активную зону реактора ряд регулирующих стержней между урановыми топливными стержнями для того, чтобы снизить мощность реактора примерно до 20 % от нормального рабочего уровня. Регулирующие стержни поглощали часть нейтронов, высвобождающихся при атомном делении, чтобы те не вызвали расщепление слишком большого количества других атомов. Это остановило процесс быстрого развития цепной реакции, которая – свободно нарастая по экспоненте – вызывает взрыв в атомной бомбе. Однако Акимов случайно ввел слишком много стержней, что привело к значительному падению мощности станции. Он знал, что это вызовет так называемое отравление реактора – появление материала, который, подобно регулирующим стержням, еще больше замедлит реактор и понизит температуру, что приведет к еще большему отравлению и дальнейшему охлаждению в цикле положительной обратной связи. В панике он переключил управление системой безопасности на себя, выведя из активной зоны реактора в режиме ручного контроля более 90 % регулирующих стержней, чтобы предотвратить его полную деструктивную остановку.

По мере постепенного увеличения мощности реактора показатели на шкалах датчиков росли у Акимова на глазах, и сердце его снова застучало размеренно. Предотвратив кризис, он перешел к следующему этапу испытаний, отключив насосы. Акимов не знал, что резервные системы перекачивали охлаждающую реактор воду не так быстро, как следовало бы, а обнаружить эту проблему на раннем этапе не удалось. Поступавшая в недостаточном объеме вода быстро испарялась, что снижало ее способность как поглощать нейтроны, так и охлаждать сердечник. Возросшее выделение тепла и повышение мощности привели к тому, что в пар мгновенно превращалось все больше воды. А это вело к дальнейшему увеличению мощности, создавая еще один, куда более смертоносный цикл положительной обратной связи. Оставшиеся вне ручного контроля несколько регулирующих стержней были автоматически введены в активную зону, чтобы сдержать повышенную теплоотдачу, но их не хватало. Понимая, что мощность растет слишком быстро, Акимов нажал кнопку аварийного отключения, предназначенную для введения в активную зону всех стержней управления и отключения питания сердечника, но было слишком поздно. Когда стержни погрузились в реактор, они вызвали резкий всплеск выходной мощности, что привело к перегреву активной зоны, разрушению некоторых топливных стержней и блокировке дальнейшего ввода регулирующих. По мере экспоненциального роста тепловой энергии выходная мощность превысила обычный рабочий уровень в десять с лишним раз. Охлаждающая вода испарялась, вызвав два массивных паровых взрыва, которые уничтожили активную зону и разбросали расщепляющийся радиоактивный материал далеко вокруг.

Отказываясь верить сообщениям о взрыве активной зоны, Акимов передал неверную информацию о состоянии реактора, что задержало жизненно важные работы по предотвращению рассеивания радиоактивных веществ. В конце концов, осознав настоящий масштаб катастрофы, он работал без защиты со своей сменой, чтобы закачать воду в разрушенный реактор. Полученные ими дозы облучения составили 200 грэй [14]. Смертельная доза – около десяти грэй, а значит, что ничем не защищенные работники получили их менее чем за пять минут. Акимов умер через две недели после аварии от острой лучевой болезни.

Официально число погибших в чернобыльской катастрофе – всего 31 человек, хотя по некоторым оценкам, их общее количество, включая и ликвидаторов последствий аварии, значительно выше, не говоря уже о гибели людей в результате рассеивания радиоактивных материалов на значительном расстоянии от электростанции. Пожар, начавшийся в разрушенной активной зоне реактора, не могли потушить девять дней. В результате него в атмосферу было выброшено в сотни раз больше радиоактивных материалов, чем во время бомбардировки Хиросимы, что повлекло за собой широкомасштабные экологические последствия почти для всей Европы [15].

Так, 2 мая 1986 года в горных районах Великобритании прошли необычайно сильные ливни. Капли этого дождя содержали радионуклиды – продукты ядерного распада, поднятые взрывом в атмосферу – стронций-90, цезий-137 и йод-131. В общей сложности около 1 % радиации, выброшенной из чернобыльского реактора, выпало на территорию Великобритании. Эти радиоизотопы были поглощены почвой, откуда попали в растущую траву, которую съели овцы, пасшиеся на той земле. Результат – радиоактивное мясо.

Министерство сельского хозяйства незамедлительно ввело ограничения на продажу и перегон овец в пострадавших районах, что затронуло почти девять тысяч ферм и более четырех миллионов овец. Овцевод Дэвид Элвуд, фермер из Озерного края, с трудом верил в то, что происходит. Облако, несущее невидимые, почти незаметные радиоизотопы, сильно сказалось на его благополучии. Каждый раз, собираясь продать овец, он должен был изолировать их и вызвать государственного инспектора для проверки уровня радиации. Каждый раз инспекторы говорили, что ограничения продлятся еще год или около того. Элвуд жил под этим облаком 25 с лишним лет, пока ограничения не были окончательно сняты в 2012 году.

Правительству, впрочем, было бы гораздо проще проинформировать Элвуда и других фермеров о том, когда уровень радиации станет достаточно безопасным для свободной продажи овец. Уровни радиации удивительно предсказуемы благодаря феномену экспоненциального распада.

Наука датирования

Экспоненциальный распад, по прямой аналогии с экспоненциальным ростом, описывает изменение количества, которое происходит со скоростью, пропорциональной его текущему значению, – помните, как снижалось число конфет M&Ms каждый день и как кривая водной горки показывала это. Экспоненциальный распад описывает такие разные вещи, как вывод медицинских препаратов из организма [16] и скорость оседания пенной шапки на пинте пива [17]. В частности, он отлично описывает, с какой скоростью снижается со временем уровень излучения радиоактивного вещества [18].

Нестабильные атомы радиоактивных материалов самопроизвольно испускают энергию в виде излучения даже без внешней инициации. Этот процесс называется радиоактивным распадом. На уровне отдельного атома процесс распада случаен – квантовая теория полагает, что начало распада конкретного атома предсказать невозможно. Но когда речь идет о материале, состоящем из огромного количества атомов, снижение радиоактивности – это предсказуемый экспоненциальный распад. Количество атомов уменьшается пропорционально количеству оставшихся. Каждый атом распадается независимо от других. Характеризующим признаком скорости снижения уровня радиоактивности служит период полураспада вещества – время, необходимое для распада половины нестабильных атомов. Поскольку распад идет по экспоненте, время, необходимое для снижения уровня радиоактивности вещества наполовину, всегда будет одинаковым, независимо от стартового объема радиоактивного материала. Ежедневное поедание конфет, выпавших на стол буквой М кверху, определяет период полураспада пакета M&Ms в один день – ожидается, что мы будем съедать половину сладостей каждый раз, когда вываливаем их из пакета.

Явление экспоненциального распада радиоактивных атомов лежит в основе радиометрического (или радиоизотопного) датирования – метода, используемого для определения возраста материалов по уровню их радиоактивности. Соотнося известную долю успевших распасться радиоактивных атомов с их общим содержанием в веществе, теоретически можно установить возраст любого материала, испускающего атомное излучение. Радиометрическое датирование применяется очень широко – с его помощью оценивают возраст Земли и датируют древние артефакты, такие как свитки Мертвого моря [19]. Если вы когда-нибудь задумывались о том, как, черт возьми, люди узнали, что археоптериксу 150 миллионов лет[20] или что «ледяной человек» Эци умер 5300 лет назад [21], имейте в виду, что без радиоизотопного датирования тут наверняка не обошлось.

Совершенствование методик радиометрического датирования сегодня позволяет получать гораздо более точные результаты, поэтому эти технологии (наряду с другими археологическими методами) широко используют в сфере судебной археологии, раскрывая преступления измерением экспоненциального распада радиоизотопов. В ноябре 2017 года при помощи радиоуглеродного датирования выяснилось, что самый дорогой виски в мире – подделка. Бутылка, маркированная как односолодовый виски Macallan 130-летней выдержки, оказалась дешевой смесью спиртов 1970-х годов – к невероятной досаде одного швейцарского отеля, просившего за один шот напитка 10 тысяч долларов. В декабре 2018 года в ходе последующего расследования в той же лаборатории обнаружилось, что более трети протестированных «старинных» сортов шотландских виски также оказались подделками. Но, пожалуй, наибольший резонанс вызывает использование радиоизотопного датирования для проверки возраста исторических произведений искусства.

До Второй мировой войны считалось, что существует только 35 картин, принадлежащих кисти признанного мастера старой голландской школы живописи Яна Вермеера. В 1937 году во Франции было обнаружено новое выдающееся полотно. Искусствоведы восторгались «Христом в Эммаусе», называя картину одной из величайших работ Вермеера. Ее практически тут же купили за огромные деньги для музея Бойманса – Ван Бёнингена в Роттердаме. В течение следующих нескольких лет появился еще ряд ранее неизвестных произведений Вермеера. Их быстро разбирали богатые голландцы – в том числе и для того, чтобы предотвратить расхищение важных культурных ценностей нацистами. Тем не менее одна из работ, «Христос и грешница», досталась Герману Герингу, которого Гитлер назначил своим преемником.

После войны, когда этот потерянный Вермеер был обнаружен в австрийской соляной шахте вместе с большей частью награбленных нацистами произведений искусства, началось масштабное расследование, чтобы выяснить, кто отвечал за продажу тех картин. В конце концов их путь отследили до Хана ван Мегерена, неудавшегося художника, чьи работы многие искусствоведы пренебрежительно называли вторичными, производными от полотен старых мастеров. Неудивительно, что сразу после ареста на ван Мегерена обрушился гнев голландской общественности. Прежде всего, его подозревали в продаже голландских культурных ценностей нацистам, а это преступление каралось смертной казнью. Более того, на заработанные от продажи картин огромные суммы он на протяжении всей войны жил в Амстердаме на широкую ногу, когда многие жители города голодали. Отчаянно пытаясь спасти жизнь, ван Мегерен заявил, что картина, проданная Герингу, была не настоящим произведением Вермеера, а фальшивкой, которую нарисовал он сам. Он также признался в изготовлении других псевдо-Вермееров и в фабрикации обнаруженных незадолго до того работ Франса Халса и Питера де Хоха.

Специальная экспертная комиссия по разоблачению подделок проверила слова ван Мегерена, в подтверждение которых он нарисовал по требованию комиссии новую фальшивку «Иисус и книжники». К началу суда в 1947 году ван Мегерен был уже провозглашен национальным героем, который не только утер нос спесивым искусствоведам, что некогда издевались над ним, но и обманул одного из высших руководителей нацистов, всучив ему никчемную подделку. С ван Мегерена сняли обвинение в сотрудничестве с нацистами и приговорили всего лишь к году тюрьмы за подлог и мошенничество, но он умер от сердечного приступа до того, как приговор вступил в силу. Несмотря на решение суда, многие (особенно те, кто купил «Вермееров» ван Мегерена) все еще верили в подлинность картин и продолжали оспаривать утверждения комиссии.

В 1967 году «Христа в Эммаусе» подвергли повторной проверке с использованием радиометрической датировки по урано-свинцовому методу по изотопу свинца-210. Ван Мегерен исключительно скрупулезно подходил к созданию подделок, используя в основном те же материалы, которые использовал бы Вермеер. Но он не мог контролировать технологию производства этих материалов. Добиваясь максимального правдоподобия, он писал на подлинных холстах XVII века и смешивал свои краски по старинным рецептам, но свинец, содержавшийся в его свинцовых белилах, был извлечен из руды совсем недавно. Природный свинец содержит радиоактивный изотоп свинца-210 и его материнский радиоактивный материал (при распаде которого и образуется свинец) радий-226. При получении свинца из руды бóльшая часть радия-226 удаляется, в обогащенной руде остаются лишь мизерные его количества, а значит, в ней появится совсем немного новых изотопов свинца-210. Сравнивая концентрацию свинца-210 и радия-226 в пробах, можно точно датировать свинцовую краску, используя тот факт, что период полураспада свинца-210 известен, а сам процесс происходит по экспоненте. В «Христе в Эммаусе» было обнаружено гораздо больше свинца-210, чем было бы, если бы его действительно написали на 300 лет раньше. Это установило наверняка: подделки ван Мегерена не могли быть написаны Вермеером в XVII веке, поскольку свинец, содержавшийся в красках ван Мегерена, еще не был добыт[22].

Вирус из ведра с ледяной водой

Будь ван Мегерен нашим современником, его работы были бы аккуратно собраны в доступной статье под кричащим заголовком вроде «Девять картин-подделок, в подлинность которых вы верили» и разошлись бы по интернету. Современные фальшивки, такие как ненастоящая фотография кандидата в президенты США и миллионера Митта Ромни, который якобы выстраивает шестерых сторонников, одетых в майки с буквами, в ряд так, что читается RMONEY вместо ROMNEY[23], или обработанная в фотошопе фотография «туриста», якобы позирующего на смотровой площадке Южной башни Всемирного торгового центра, не подозревая о приближении низко летящего самолета на заднем плане, достигли такого уровня глобального распространения, о котором и не мечтали спецы по вирусному маркетингу.

Вирусный маркетинг – это феномен, при котором рекламные цели достигаются с помощью самовоспроизводящегося процесса, схожего с процессом распространения вирусного заболевания (математику которого мы рассмотрим более подробно в главе 7). Один человек в сети заражает других, которые, в свою очередь, заражают следующих. До тех пор, пока каждый вновь «инфицированный» человек заражает, по крайней мере, одного, аудитория, «зараженная» вирусным сообщением, будет расти в геометрической прогрессии. Вирусный маркетинг – это субдисциплина области, известной как меметика, в которой «мем» – стиль, поведение или, что очень важно, идея – распространяется между людьми через социальную сеть, так же, как и вирус. Термин «мем» предложил в 1976 году Ричард Докинс в книге «Эгоистичный ген»[24], чтобы объяснить, как распространяется культурная информация. Он определил мемы как единицы культурной информации (или передачи). По аналогии с генами – единицами передачи наследственной информации – он предложил, что мемы могут самовоспроизводиться и мутировать. Примеры мемов, которые он приводил, включали в себя мелодии, крылатые фразы и – что характеризует удивительную невинность тех времен, когда он писал свою книгу, – технологии изготовления горшков или арочных сводов. Конечно, в 1976 году Докинс не знал интернета в его нынешнем виде, позволяющего распространять когда-то невообразимые (и, возможно, бессмысленные) мемы, включая #thedress, #rickrolling и #Lolcats [25].

Примером одной из самых успешных и, вероятно, по-настоящему органичных вирусных маркетинговых кампаний стало публичное обливание ледяной водой. Летом 2014 года в Северном полушарии любимым делом было заснять, как вы опрокидываете ведро ледяной воды себе на голову, а затем предлагаете другим повторить тот же трюк, при этом жертвуя некоторую сумму на благотворительность. Даже я повелся на это.

Придерживаясь классического формата кампании, промокнув с головы до пят, я предложил повторить свой опыт двум другим людям: выложив ролик в соцсеть, я отметил их там. Как и в случае с нейтронами в ядерном реакторе, до тех пор, пока в среднем больше одного человека принимают вызов в ответ на каждое размещенное видео, мем не только самовоспроизводится, но и приводит к цепной реакции, нарастающей по экспоненте.

В некоторых вариантах кампании кандидаты могли либо принять вызов и пожертвовать небольшую сумму в ассоциацию амиотрофического бокового склероза (ALS) или другую благотворительную организацию по своему выбору, либо уклониться от испытания и пожертвовать значительно бóльшую сумму – как искупление. Объединение испытания с благотворительностью, помимо дополнительного давления на «осаленных» участников, давало и плюшки в виде повышения самооценки, привлечения внимания общественности к проблеме и публичной демонстрации собственного альтруизма. Этот фактор нарциссизма обеспечил мему повышенную заразность. К началу сентября 2014 года ассоциация ALS сообщила о получении свыше ста миллионов долларов дополнительных взносов от более чем трех миллионов жертвователей. Привлеченное во время кампании финансирование позволило исследователям обнаружить третий ген, ответственный за это заболевание, что свидетельствует о мощнейшем воздействии вирусной кампании на общество [26].

Как и в случае с некоторыми особо заразными вирусами, такими как грипп, кампания с обливаниями оказалась явлением сезонным (темпы распространения сезонных заболеваний варьируются в течение года, о чем мы еще раз поговорим в главе 7). С приближением осени и похолоданием в Северном полушарии обливание ледяной водой внезапно стало казаться менее веселым занятием – даже ради благого дела. К сентябрю энтузиазм почти угас. Правда, как и сезонный грипп, он вернулся следующим летом, а потом и еще через год – от лета к лету формат кампании почти не менялся, но публике это занятие в целом уже приелось. В 2015 году оно принесло ассоциации ALS менее 1 % от общего количества пожертвований по сравнению с предыдущим годом. Люди, подвергшиеся воздействию «вируса обливания» в 2014 году, как правило, приобрели к нему сильный иммунитет, равно как и к слегка мутировавшим его штаммам (когда в ведро помещали не воду, а что-то другое, например). Задавленная иммунитетом безразличия, каждая новая вспышка этого вируса вскоре сходила на нет, так как каждому новому участнику, в среднем, не удавалось передать его по крайней мере еще одному энтузиасту.

Экспоненциально ли будущее?

Французским детям часто рассказывают притчу, иллюстрирующую опасность промедления. История эта связана с экспоненциальным ростом. Итак, однажды на поверхности местного озера заметили малюсенькую колонию водорослей. За несколько дней выяснилось, что колония ежедневно увеличивается вдвое. Если ничего не предпринимать, она будет расти так и дальше, пока не покроет все озеро. Для этого ей потребуется 60 дней – и вода в озере будет отравлена. Поскольку изначально колония водорослей очень мала и непосредственной угрозы не представляет, было решено оставить водоросли расти до тех пор, пока они не покроют половину поверхности озера – тогда их будет легче удалить. Затем у детей спрашивают: «Через сколько дней водоросли покроют половину озера?»

Многие отвечают не задумываясь – через 30 дней. Но поскольку колония удваивается с каждым днем, то если в один прекрасный день озеро будет покрыто наполовину, то полностью водоросли покроют озеро уже на следующий день. Таким образом, верный (и, возможно, неожиданный) ответ – через 59 дней. Так что на спасение озера останется лишь один день. На 30-й день водоросли займут менее миллиардной части площади озера. Если бы вы были клеткой этой водоросли в озере, когда бы вы поняли, что у вас заканчивается пространство? Если бы на 55-й день, когда водоросли покрыли только 3 % поверхности, кто-то сказал вам что через пять дней озеро полностью задохнется, вы бы им поверили, не понимая сути экспоненциального роста? Скорее всего, нет.

Это иллюстрирует то, как организован процесс нашего, человеческого, мышления. Для наших предков опыт одного поколения, как правило, был очень похож на опыт предыдущего: они делали ту же самую работу, использовали те же орудия труда и жили в тех же местах, что и их предки. Они ожидали, что их потомки будут делать то же самое. Однако в настоящее время развитие технологий и социальные изменения происходят так быстро, что заметные различия возникают в пределах одного поколения. Некоторые теоретики полагают, что темпы технологического прогресса сами по себе растут по экспоненте.

Именно эти идеи специалист в области теории вычислительных систем Вернор Виндж воплотил в серии научно-фантастических романов и эссе[27], в которых последовательные технологические прорывы происходят все чаще – вплоть до момента, когда новая технология опережает человеческое понимание. Взрывное развитие искусственного интеллекта в итоге приводит к формированию «технологической сингулярности» и появлению всемогущего сверхразума. Американский футуролог Рэй Курцвейл попытался перенести идеи Винджа из сферы научной фантастики в реальный мир. В 1999 году в книге «Эпоха духовных машин» Курцвейл выдвинул гипотезу о законе ускоряющейся отдачи [28]. Он предположил, что эволюция широкого спектра систем – включая нашу собственную биологическую эволюцию – происходит по экспоненте. Он даже осмелился приурочить дату наступления «технологической сингулярности» Винджа – точку, в которой мы испытаем, как описывает сам Курцвейл, «технологические изменения, настолько стремительные и глубокие, что они представляют собой разрыв в ткани человеческой истории» – примерно к 2045 году [29]. Среди последствий сингулярности Курцвейл называет «слияние биологического и небиологического интеллекта, появление бессмертных людей на программном обеспечении и кибернетических устройствах, а также формирование интеллекта сверхвысокого уровня, способного проницать Вселенную со скоростью света». Хотя эти экстравагантные прогнозы, вероятно, стоило бы оставить уделом научной фантастики, есть примеры технологических достижений, которые действительно демонстрировали устойчивое долговременное экспоненциальное развитие.

Расхожий пример экспоненциального роста технологий – закон Мура, утверждающий, что количество компонентов в компьютерных микросхемах удваивается каждые два года. В отличие от законов динамики Ньютона, закон Мура не является научным, поэтому он вряд ли будет действовать вечно. Тем не менее в период между 1970 и 2016 годами он исполнялся на удивление стабильно. Закон Мура воплотился в дальнейшем ускорении развития цифровых технологий, что, в свою очередь, внесло существенный вклад в экономический рост на стыке тысячелетий.

В 1990 году, когда ученые взялись за каталогизацию и расшифровку всех трех миллиардов «букв» генома человека, критики насмехались над масштабом проекта, предполагая, что для его завершения при тогдашних темпах понадобятся тысячи лет. Но технология секвенирования [30] совершенствовалась по экспоненте. Полностью «Книга жизни» была «опубликована» в 2003 году с опережением графика и в рамках своего бюджета в один миллиард долларов [31]. Сегодня секвенирование всего генетического кода человека занимает меньше часа и стоит менее тысячи долларов.

Популяционный взрыв

История водорослей в озере подчеркивает, что наша неспособность мыслить экспоненциально может вызывать разрушение экосистем и популяций. Разумеется, в списке видов, находящихся под угрозой исчезновения, находится и наш собственный – несмотря на ясные и непрекращающиеся тревожные звоночки.

В период между 1347 и 1351 годами «черная смерть»[32], одна из самых разрушительных пандемий в истории человечества (распространение инфекционных заболеваний мы подробнее рассмотрим в главе 7), захлестнула Европу, уничтожив 60 % ее населения. В результате общая численность человечества сократилась примерно до 370 миллионов человек. С тех пор население мира росло постоянно, без спадов. К 1800 году количество людей достигло почти миллиарда. Очевидный быстрый рост численности населения в тот период побудил английского математика Томаса Мальтуса предположить, что человеческое население растет пропорционально его текущему размеру [33]. Как и в случае с клетками в эмбрионе на раннем этапе развития или деньгами, остающимися нетронутыми на банковском счете, это простое правило предполагает экспоненциальный рост человечества на уже перенаселенной планете.

Излюбленным сюжетом многих научно-фантастических романов и фильмов (например, недавних блокбастеров «Интерстеллар» и «Пассажиры») является решение проблем перенаселения Земли за счет освоения космоса. Там, как правило, обнаруживается похожая на Землю подходящая планета, которой суждено стать новым домом для неудержимо растущей человеческой расы. Но такой поворот – вовсе не прерогатива буйной фантазии писателей и сценаристов: в 2017 году выдающийся ученый Стивен Хокинг обосновал перспективы колонизации космоса. Он предупредил, что, если наш вид хочет пережить угрозу вымирания, вызванную перенаселением и связанными с ним климатическими изменениями, люди должны в ближайшие 30 лет начать колонизацию Марса или Луны. Однако, к сожалению, если темпы роста населения Земли не снизятся, то даже переправив половину нынешних ее жителей на новую планету земного типа, мы обеспечим человечеству всего лишь 63 года жизни. Потом общая численность землян вновь удвоится, и обе планеты достигнут предела плотности населения. Мальтус, писавший: «Одного населения Земли было бы достаточно, чтобы в несколько тысячелетий покрыть миллионы миров», – предсказывал, что экспоненциальный рост обессмыслит идею межпланетной колонизации.

Однако, как мы уже выяснили (вспомним бактерии стрептококка группы D, растущие в молочной бутылке в начале этой главы), экспоненциальный рост не может продолжаться вечно. Как правило, по мере роста численности населения ресурсы окружающей среды, которая его поддерживает, истощаются, а чистые темпы роста (разница между рождаемостью и смертностью) естественным образом снижаются. Считается, что окружающая среда обладает конечной несущей способностью для каждого конкретного вида – присущим ей максимальным пределом устойчивости популяции. Дарвин полагал, что ограничения, налагаемые природной средой, вызовут «борьбу за существование», поскольку отдельные особи «будут конкурировать за свое место в экономике природы». Простейшая математическая модель, позволяющая отразить последствия внутри– или межвидовой конкуренции за ограниченные ресурсы, называется моделью логистического роста.

На рис. 3 логистический рост поначалу выглядит экспоненциальным, поскольку население свободно растет пропорционально своим текущим размерам, без ограничений условиями окружающей среды. Однако по мере роста населения нехватка ресурсов приближает уровень смертности к уровню рождаемости. Чистый прирост населения в итоге сводится к нулю: новых рождений среди населения достаточно только для того, чтобы заменить умерших и не более, что означает, численность населения достигает плато своего предельного воспроизводства.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 3. Сначала кривая логистического роста увеличивается почти по экспоненте, но затем, по мере истощения ресурсов, рост замедляется, а население приближается к предельному размеру «К»


Шотландский ученый Андерсон Маккендрик (один из первых математических биологов, с которым мы познакомимся в главе 7 в контексте его работы по моделированию распространения инфекционных заболеваний) первым продемонстрировал, что в популяциях бактерий происходит логистический рост[34]. Последующие исследования подтвердили, что логистическая модель прекрасно описывает поведение популяции в новой среде на таких разнообразных примерах, как овцы [35], тюлени [36] и журавли [37].

Потенциальный предельный размер популяции многих видов животных остается примерно постоянной величиной, так как зависит от ресурсов в их среде обитания. Человек же оказался способен постоянно увеличивать пределы своей популяции благодаря множеству факторов, в числе которых – промышленная революция, механизация сельского хозяйства и Зеленая революция [38]. Хотя в настоящее время оценки пределов устойчивого народонаселения Земли различаются, многие исследования показывают, что эти пределы составляют от девяти до десяти миллиардов человек. Известный социобиолог Эдвард Озборн Уилсон считает, что биосфера Земли способна поддержать существование лишь жестко ограниченного количества населения [39]. В число сдерживающих факторов включают наличие пресной воды, ископаемого топлива и других невозобновляемых ресурсов, условия окружающей среды (прежде всего, изменение климата) и жизненное пространство. Чаще всего исследователи обращают внимание на проблему пропитания. По оценкам Уилсона, даже если бы все стали вегетарианцами, питаясь произведенной пищей напрямую, а не скармливая ее скоту (поскольку поедание животных является неэффективным способом преобразования энергии растений в продовольственную энергию), нынешних 1,4 миллиарда гектаров пахотных земель хватало бы для того, чтобы прокормить с них лишь десять миллиардов человек.

Если население Земли, сегодня насчитывающее около семи с половиной миллиардов человек [40], будет расти нынешними темпами в 1,1 % в год, то в течение 30 лет мы достигнем отметки в десять миллиардов. Мальтус еще в 1798 году предупреждал об опасностях перенаселенности: «Возможности [роста] населения настолько превосходят способность Земли прокормить его, что преждевременная смерть должна в той или иной форме посещать человеческий род». В контексте истории человечества мы уже прожили бóльшую часть того последнего дня, который нам остается, чтобы спасти озеро.

Однако есть поводы и для оптимизма. Несмотря на то, что численность человечества продолжает увеличиваться, эффективный контроль рождаемости и снижение младенческой смертности (приводящее к снижению темпов воспроизводства) означают, что мы делаем это медленнее, чем предыдущие поколения. Наши темпы роста достигли пика в конце 1960-х годов с показателем около 2 % в год, но, по прогнозам, к 2023 году они упадут ниже 1 % в год [41]. Для сравнения – если бы темпы роста оставались на уровне 1960-х годов, то численность населения удвоилась бы всего за 35 лет. Но отметки в 7,3 миллиарда человек (вдвое больше, чем в 1969 году, когда численность населения мира составляла 3,65 миллиарда человек) мы достигли лишь в 2016 году – почти 50 лет спустя. При показателе роста всего в 1 % в год можно ожидать, что время удвоения населения увеличится до 69,7 лет, что почти в два раза дольше периода удвоения, основанного на показателях 1969 года. Небольшое снижение темпов роста имеет огромное значение для экспоненциального роста. Похоже, что, замедляя рост человечества по мере приближения к предельным возможностям населенности нашей планеты, мы естественным путем выгадываем еще немного времени. Однако есть причины, по которым экспоненциальное поведение может подтолкнуть нас к мысли, что времени у нас остается меньше, чем кажется.

К старости время летит

Помните, когда вы были моложе, летние каникулы казались вечностью? Для моих детей четырех и шести лет ожидание следующих рождественских праздников кажется невообразимо долгим. Напротив, чем старше становлюсь я сам, тем быстрее, с пугающей скоростью летит время: дни сливаются в недели, те – в месяцы, и все исчезает в бездонной воронке прошлого. Каждую неделю я общаюсь со своими родителями, которым уже за семьдесят, и у меня создается впечатление, что у них едва хватает времени, чтобы ответить на мой звонок, настолько они загружены другими делами в своем плотном графике. Когда же я спрашиваю их, чем они занимались на этой неделе, мне часто кажется, что все их тяжкие заботы у меня уложились бы в один рабочий день. Но с другой стороны – что я могу знать о нехватке времени? У меня всего лишь двое детей, работа на полную ставку и книга, которую нужно написать.

Конечно, мне не стоило бы особенно язвить в адрес родителей, поскольку воспринимаемое время, похоже, действительно бежит тем быстрее, чем старше мы становимся, а в нас крепнет убеждение, что времени нам постоянно не хватает[42]. В эксперименте, проведенном в 1996 году, группу молодых (19–24 лет) и пожилых людей (60–80 лет) попросили сосчитать три минуты в уме. Чувство времени в группе молодежи оказалось почти идеальным – в среднем подсчет занял три минуты и три секунды реального времени, а вот старшая группа в среднем вела подсчет ошеломляющие три минуты сорок секунд [43]. В похожих экспериментах участников просили оценить продолжительность фиксированного периода времени, в течение которого они выполняли задание[44]. Пожилые участники постоянно считали, что времени прошло меньше, чем молодые. Так, к исходу двух минут реального времени старшая группа в среднем насчитывала в уме менее пятидесяти секунд, недоумевая, куда делись оставшиеся минута и десять секунд.

Это ускорение времени в нашем восприятии практически никак не связано с тем, что мы оставили позади беззаботную юность и заполнили свое расписание взрослыми обязанностями. Вообще феномену возрастного ощущения ускорения времени есть несколько конкурирующих объяснений. Одна из теорий связана с тем, что по мере старения человека его метаболизм замедляется, соответствуя замедлению сердцебиения и дыхания [45]. Подобно хронометру, настроенному на быстрый ход, детские версии этих биологических часов тикают быстрее. За фиксированный промежуток времени их биологические регуляторы ритма (например, дыхание или сердцебиение) проходят больше циклов, заставляя чувствовать, что времени прошло больше.

Альтернативная теория предполагает, что наше восприятие хода времени зависит от объема новой информации, которую мы воспринимаем из окружающего мира [46]. Чем больше новых впечатлений, тем больше времени требуется мозгу для обработки информации. Соответствующий период кажется, по крайней мере в ретроспективе, более продолжительным. Этот аргумент можно использовать для объяснения «кинематографического» восприятия событий, разыгрывающихся, словно в замедленной съемке, в моменты, непосредственно предшествующие тем же дорожным авариям. Ситуация для жертвы ДТП в этих сценариях незнакома настолько, что объем новой воспринимаемой информации огромен. Дело может быть в том, что в такой момент замедляется не само время, а наше ретроспективное воспоминание о событиях, так как наш мозг записывает более подробные воспоминания, основываясь на обрабатываемом потоке данных. Эксперименты на испытуемых, испытывавших незнакомое для себя ощущение свободного падения, показали, что так и происходит[47].

Эта теория хорошо вяжется с ускорением воспринимаемого времени. С возрастом мы все лучше узнаем окружающую нас среду и накапливаем определенный жизненный опыт. Наши ежедневные поездки, которые поначалу могли показаться долгими и трудными, полными новых достопримечательностей и потенциальных приключений, теперь пролетают мгновенно, пока мы следуем знакомыми маршрутами на автопилоте.

Для детей все иначе. Их миры – это удивительные места, богатые незнакомыми впечатлениями. Маленькие дети постоянно перестраивают свои модели окружающего мира, что требует умственных усилий и, кажется, заставляет стрелки часов идти медленнее, чем у погрязших в рутине взрослых. Чем больше мы погружаемся в повседневные дела, тем быстрее для нас бежит время, а с возрастом мир в целом становится все однообразнее. Эта теория предполагает, что для того, чтобы продлить время, мы должны наполнять нашу жизнь новыми и разнообразными переживаниями, избегая времязатратной рутины повседневной жизни.

Однако ни одной из этих теорий не удается объяснить, почему наше восприятие времени ускоряется, похоже, с почти идеально равномерной регулярностью. Тот факт, что продолжительность фиксированного промежутка времени, похоже, постоянно сокращается по мере нашего старения, предполагает некую «экспоненциальную шкалу» времени. В отличие от традиционных линейных экспоненциальные шкалы используются для измерения величин, которые варьируются в огромном диапазоне различных значений. Наиболее известными примерами являются шкалы для энергетических волн, таких как звук, измеряемый в децибелах, или сейсмическая активность. На экспоненциальной шкале Рихтера (для землетрясений) увеличение магнитуды с 10 до 11 будет соответствовать десятикратному увеличению земных колебаний, а не 10-процентному, как на линейной шкале. С одной стороны, шкала Рихтера способна отображать совсем слабые толчки, как в Мехико в июне 2018 года, когда мексиканские футбольные болельщики сотрясали город, празднуя гол своей сборной в ворота команды Германии на чемпионате мира по футболу. С другой стороны, по той же шкале регистрировалось землетрясение в Вальдивии в Чили в 1960 году. В результате землетрясения магнитудой 9,6 балла высвободилась энергия, эквивалентная более четверти миллиона атомных бомб, сброшенных на Хиросиму.

Если длительность периода оценивается пропорционально времени уже прожитой жизни, то экспоненциальная модель воспринимаемого времени имеет смысл. В мои 34 года на год приходится чуть менее 3 % моей жизни. В этот период кажется, что новые дни рождения случаются как-то слишком часто. Но от десятилетнего, которому следующий набор подарков приходится ждать в течение 10 % своей жизни, требуется почти безграничное терпение. Для моего четырехлетнего сына мысль о том, что ему придется ждать четверть жизни, пока он снова станет именинником, почти невыносима. При такой экспоненциальной модели пропорциональное увеличение возраста четырехлетнего ребенка между его днями рождения эквивалентно периоду ожидания 40-летнего до его следующего круглого юбилея, когда ему стукнет 50. С этой точки зрения идея, что по мере старения время в нашем восприятии ускоряется, выглядит вполне логичной.

Мы нередко разделяем нашу жизнь на десятилетия – беззаботные двадцатилетние, серьезные тридцатилетние и так далее – подразумевая, что каждый такой период должен быть равнозначен. Однако, если время действительно ускоряется по экспоненте, то части нашей жизни, разные по абсолютной длительности, могут казаться нам одинаковыми по продолжительности. В экспоненциальной модели периоды от 5 до 10 лет, от 10 до 20, от 20 до 40 и даже от 40 до 80 лет могут показаться одинаково длинными или короткими. Я не хотел бы подталкивать вас к лихорадочному составлению списка дел, которые надо успеть в жизни, но в рамках этой модели 40-летний период между 40 и 80 годами, охватывающий большую часть среднего возраста и старости, может промелькнуть так же быстро, как и пять лет между вашими пятым и десятым днями рождения.

Возможно, отбывающим срок за мошенничество с пирамидой «Отдай и получи» пенсионеркам Фокс и Чалмерс послужит некоторым утешением то, что однообразие тюремной жизни или просто экспоненциально увеличивающийся ход воспринимаемого времени должны заставить срок их заключения пролететь – в их глазах – очень быстро.

За участие в этой схеме осуждены девять женщин. Хотя некоторых из них заставили вернуть часть денег, заработанных мошенническим путем, из миллионов фунтов стерлингов, вложенных в программы, возместить удалось очень мало. Ни пенса из этой суммы не попало к обманутым вкладчикам – простодушным жертвам, потерявшим все сбережения из-за недооценивания силы экспоненциального роста.

От взрыва ядерного реактора до взрывного роста народонаселения, от распространения вируса до распространения вирусной маркетинговой кампании экспоненциальный рост и распад могут играть незаметную, но часто решающую роль в жизни обычных людей, подобных нам с вами. Анализ явлений и процессов, развивающихся по экспоненте, породил отрасли науки, способные доказательно выявлять преступников и в буквальном смысле разрушать миры. Неумение мыслить экспоненциально приводит к тому, что наши решения, подобно неконтролируемым цепным ядерным реакциям, приносят неожиданные и далеко – по экспоненте – идущие последствия. Экспоненциальный темп развития технологий в эпоху персонализированной медицины, когда любой человек может получить полную карту своей ДНК за относительно скромную сумму, невероятно ускорился – вместе с другими инновациями. Эта революция в исследовании генома способна дать беспрецедентное представление о нашем здоровье и его особенностях у каждого, если – как мы увидим в следующей главе – математика, лежащая в основе современной медицины, сможет идти в ногу со временем.

Глава 2

Чувствительность, специфичность[48] и альтернативные варианты: почему нужна математика в медицине

Увидев в моем электронном почтовом ящике непрочитанное письмо, я сразу ощутил всплеск адреналина. Он начался у меня в животе и пошел вниз по рукам. Пальцы задрожали. Дыхание перехватило. Пульс колотился в висках. Я открыл сообщение и, пропустив вводную часть, сразу же нажал на ссылку «Просмотр результатов». Открылось окно браузера, я вошел в систему и нажал на раздел «Генетические факторы риска». Просканировав список, я выдохнул с облегчением: «Болезнь Паркинсона – генетических вариантов не обнаружено», «BRCA1/BRCA2[49]8 – генетических вариантов не обнаружено», «Возрастная макулярная дегенерация – генетических вариантов не обнаружено». Пока я прокручивал список болезней, к которым не был генетически предрасположен, мое беспокойство утихало. Когда же я добрался до нижней части списка «генетических вариантов не обнаружено», мои глаза вернулись к одной пропущенной мной записи, которая осталась на периферии: «Болезнь Альцгеймера – повышенный риск».

Начиная писать эту книгу, я думал, что было бы интересно исследовать математику, лежащую в основе генетических тестов. Так что я обратился в 23andMe [50], самую, пожалуй, известную компанию в области индивидуальной геномики [51]. Пройти подобный тест самому – разве не лучший способ понять результаты исследования генома? Компания послала мне пробирку (обошлось это недешево), куда надо было собрать два миллилитра слюны. Запечатанную пробирку я отправил обратно; 23andMe обещала более 90 отчетов о моих генетических признаках, состоянии здоровья и даже моей родословной. В течение следующих нескольких месяцев я не задумывался над этим, поскольку особенно не рассчитывал на какие-то невероятные откровения и открытия. Однако, когда пришло письмо, меня внезапно осенило, что всего в паре кликов лежит полная карта моего будущего здоровья. И вот я сижу перед монитором, лицом к лицу с тем, что угрожает мне весьма неприятными последствиями.

Чтобы лучше понять, что такое «повышенный риск», я скачал полный 14-страничный отчет о моем риске Альцгеймера. Я весьма поверхностно представлял, что такое болезнь Альцгеймера, и хотел узнать больше. Первое предложение отчета только усилило мое беспокойство: «Болезнь Альцгеймера характеризуется потерей памяти, снижением когнитивных способностей и личностными изменениями». Читая дальше, я обнаружил, что в 23andMe обнаружили вариант epsilon-4 (ε4) в одной из двух копий гена аполипопротеина E (APOE). Первая количественная информация в докладе информировала меня, что «…в среднем у человека европейского происхождения с этим генетическим вариантом вероятность развития болезни Альцгеймера с поздним началом к 75 годам составляет 4–7 %, а к 85 годам – 20–23 %».

Эти цифры явно несли некий абстрактный смысл, мне было трудно их интерпретировать. Прежде всего я хотел получить ответы на три вопроса. Во-первых, могу ли я предпринять что-то конкретное в связи с новообретенным угрожающим «диагнозом»? Во-вторых, насколько серьезно мое положение в сравнении со среднестатистическим человеком? Наконец, насколько я могу доверять цифрам, которые предоставили мне в 23andMe? Листая отчет, я наткнулся на информацию, которая ответила на мой первый вопрос: «В настоящее время известного способа профилактики или лечения болезни Альцгеймера не существует». Чтобы найти ответы на другие вопросы, мне нужно было изучить отчет тщательнее. Мой интерес к математической интерпретации генетических тестов внезапно стал намного более насущным и личным.

По мере того как медицина становится все более сопряженной с числами дисциплиной, математические формулы все чаще обеспечивают беспристрастную основу для принятия ключевых решений, будь то назначение определенного вида лечения или, на более личном уровне, выбор образа жизни. В данной главе мы рассмотрим эти формулы, чтобы выяснить, имеют ли они надежную научную основу или же просто устаревшая нумерология, которую необходимо проигнорировать и более к ней не возвращаться. По иронии судьбы в поиске более совершенных методов анализа мы будем опираться на математические приемы многовековой давности.

По мере развития технологий для диагностики нас все чаще оценивают с медицинской точки зрения. Мы изучим удивительное влияние ложноположительных результатов на наиболее распространенные программы медосмотров и разберемся, как тесты могут быть одновременно высокоточными и в то же время очень неточными. Мы столкнемся с дилеммами, возникающими при использовании таких инструментов, как тесты на беременность, которые дают и ложноположительные, и ложноотрицательные результаты, и посмотрим, как можно эффективно использовать эти неправильные результаты в различных диагностических контекстах.

Определение геномной последовательности, носимые технологии [52] и достижения в области искусственного интеллекта привели нас на порог эпохи персонализированной медицины. Пока мы делаем первые несмелые шаги в новой эре здравоохранения, я буду по-новому интерпретировать результаты собственного ДНК-теста, чтобы понять, как на самом деле выглядят мои шансы на развитие болезни Альцгеймера, и определить, выдержит ли проверку ультрамодная математическая методология, используемая для интерпретации индивидуальных генетических тестов.

Каковы шансы?

В 2007 году 23andMe, названная в честь 23 пар хромосом, составляющих типичную человеческую ДНК, стала первой компанией, предложившей персональный анализ ДНК с целью установления родословной клиента. В следующем году, благодаря инвестициям от Google в размере 4 миллионов долларов, 23andMe выпустила на рынок слюнный тест, с помощью которого можно было оценить предрасположенность к почти 100 различным заболеваниям – от непереносимости алкоголя до мерцательной аритмии. Их список генетических признаков был настолько исчерпывающим, а результаты анализов имели настолько мощный трансформационный потенциал, что журнал «Тайм» присвоил тесту статус «изобретения года».

Но музыка для 23andMe играла недолго. В 2010 году Управление по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США (FDA) уведомило компанию, занимающуюся персональной геномикой, что их тесты считаются медицинскими приборами и поэтому требуют федеральной сертификации. В 2013 году FDA выпустила в адрес 23andMe, которая так и не получила нужного сертификата, предписание приостановить продажу индивидуальных тестов с указаниями предрасположенностей к заболеваниям до тех пор, пока точность этих тестов не будет подтверждена. Клиенты 23andMe подали коллективный иск на нее, утверждая, что были введены в заблуждение относительно того, какую информацию может предоставлять им компания-профайлер [53]. В разгар этих неприятностей, в декабре 2014 года 23andMe запустили свой сервис в области здравоохранения в Великобритании. Учитывая эти противоречия, я задумался о том, какие результаты анализа своей ДНК я получил бы, отправь я им образец еще тогда.

Читая об опыте 33-летнего веб-разработчика Мэтта Фендера в «Нью-Йорк Таймс», я лишь утвердился в своих сомнениях. Искренний «ботаник» и последователь активно расширяющегося сообщества озабоченных собственным здоровьем [54]. Фендер был идеальным клиентом 23andMe. Получив данные своего профиля, он отправил их для расшифровки в другую организацию. Расшифровка принесла Фендеру положительный результат на PSEN1-мутацию. Мутация белка PSEN1 (пресенилин-1) может служить признаком предрасположенности к ранней болезни Альцгеймера с «полной пенетрантностью», что означает, каждый носитель этой мутации заболеет без вариантов и никаких шансов избежать этой участи у него нет. Неудивительно, что Фендер был встревожен мыслью о потере способности абстрактно мыслить, решать задачи и хранить целостные воспоминания. Диагноз сокращал срок его осмысленной жизни по крайней мере на 30 лет.

Эта мысль не выходила у него из головы, и он решил перепроверить диагноз. В истории его семьи случаев болезни Альцгеймера не было, и Фендер не сумел убедить генетиков провести контрольный тест. Вместо этого он решил воспользоваться схожим сервисом проверки генотипа «на дому». Он отправил еще одну пробирку со своей слюной – на сей раз в компанию Ancestry.com – и стал ждать результатов. Через пять недель он получил отрицательный результат на PSEN1. Фендер слегка воспрял духом, но озадачился и растерялся даже сильнее, чем прежде. В конце концов он сумел убедить врача дать ему направление в клинику, где провели контрольный анализ и подтвердили отрицательный результат от Ancestry.com.

Технология секвенирования, используемая в 23andMe и Ancestry.com, допускает лишь 0,1 % ошибок и кажется невероятно надежной. Однако при проверке почти миллиона генетических вариантов стоит помнить, что даже при такой точности примерно 1000 результатов будут неверными. Неудивительно (хотя, конечно, и тревожно), что результаты, полученные двумя независимыми компаниями, могут отличаться. Большее, пожалуй, беспокойство вызывает очевидное отсутствие поддержки клиента после проведения анализа. Запросив услугу секвенирования на дому, человек оказывается лицом к лицу с результатами этого анализа в одиночку, практически в полной медицинской изоляции.

Со временем 23andMe получила одобрение FDA на проведение генетических тестов (в значительно сокращенном диапазоне) и в 2017 году возобновила свою деятельность в США. В том году их домашний набор для анализа ДНК стал одним из самых продаваемых товаров на Amazon в «черную пятницу»[55]. Несмотря на мои собственные опасения (или, возможно, как раз из-за них), я заказал набор и отправил образец своей слюны на тестирование.

Почти в каждой клетке человеческого тела находится ядро, содержащее копию нашей ДНК – так называемую «Книгу жизни». Мы наследуем эти длинные, извилистые цепочки аминокислот в 23 парах хромосом, по одной от каждого из наших родителей. Каждая хромосома в паре содержит копии тех же генов, что и ее партнер, последовательности которых похожи, но не обязательно точно совпадают. Например, есть два основных варианта связанного с болезнью Альцгеймера гена аполипопротеина (APOE), который может обнаружить тест 23andMe. Эти варианты называют Е3 и Е4. Вариант Е4 связан с повышенным риском позднего Альцгеймера. Поскольку хромосом две, вы можете иметь либо одну копию Е4 (и одну копию Е3), две копии Е4 (и ни одной копии Е3) или ни одной копии Е4 (и две копии Е3). Количество копий называют вашим генотипом. Две копии Е3 – наиболее распространенный вариант генотипа и базовый показатель, по отношению к которому оценивается вероятность болезни Альцгеймера. Чем больше у вас копий Е4, тем выше риск ее развития.

Но насколько он высок? Учитывая, что 23andMe обнаружили, что я обладаю определенным генотипом, каков мой прогнозируемый риск – вероятность развития болезни? Прежде чем делать какие-то выводы, я должен был убедиться, что их математический анализ проведен на надежной основе.

Лучший способ разобраться с прогнозируемым риском болезни Альцгеймера – продольное исследование, для которого отбирается огромное количество лиц, представляющих население в целом, устанавливается их генотип, а затем их регулярно проверяют, чтобы узнать, у кого развивается эта болезнь. С помощью этих репрезентативных данных можно сравнить риск получить болезнь Альцгеймера для данного генотипа с риском по популяции в целом – так называемым относительным риском. Обычно, однако, такое масштабное исследование обходится непомерно дорого из-за большого количества участников (особенно при редких заболеваниях), которых надо обследовать, и сроков, в течение которых их необходимо наблюдать.

Более распространенным, но менее надежным является метод анализа серии контролируемых случаев. Для такого анализа отбираются несколько человек, уже страдающих болезнью Альцгеймера, а также ряд «контрольных случаев» – людей со сходными жизненными обстоятельствами, но не больных. (В третьей главе мы увидим, почему тщательный контроль жизненных обстоятельств имеет большое значение). В отличие от продольного исследования, в котором участники отбираются независимо от статуса заболевания, в этом случае внимание исследователей сосредоточено на носителях заболевания, поэтому такой анализ не дает оценку заболеваемости среди населения в целом. В результате прогноз относительного риска получается искаженным. Тем не менее эти испытания позволяют точно рассчитать соотношения рисков, которые не требуют знать общую распространенность заболевания среди населения.

Те, кто бывал на собачьих бегах или скачках, могут вспомнить, что вероятность победы в забеге часто выражается в коэффициентах. Аутсайдер может иметь коэффициент 5 к 1. Это означает, что в пяти из шести идентичных забегов это животное, скорее всего, проиграет, а выиграет лишь в одном. Вероятность его победы составляет 1 к 6. Естественный способ описывать шансы против – задавать соотношение вероятности того, что событие не произойдет, и вероятности того, что оно произойдет (в данном случае 5/6 к 1/6, или, проще, 5 к 1). Фаворит гонки, напротив, может иметь коэффициент 2 к 1. В спортивном тотализаторе принято всегда ставить на первое место большее число, поэтому необходимо различать коэффициенты «на» и «против». Коэффициент «на», обратный коэффициенту «против», выражает отношение вероятности того, что событие произойдет, к вероятности того, что оно не произойдет. При коэффициенте 2 к 1 можно ожидать, что фаворит в трех забегах выиграет два раза и проиграет один. Таким образом, вероятность того, что фаворит выиграет, составляет 2 из 3 или 2/3, а вероятность того, что он проиграет, составляет 1/3, что и дает коэффициент 2/3 к 1/3 или, проще, 2 к 1.

Комментаторы и букмекеры порой говорят о «фаворите с высокой котировкой» – как правило, когда речь идет о забегах с небольшим количеством лошадей. Этот жаргонизм – тавтология. Любая лошадь с положительным коэффициентом (выше единицы) котировок является фаворитом по определению, поскольку в любом забеге математически может быть только одна лошадь, которая с большей вероятностью выиграет, чем проиграет. В забеге же с большим количеством лошадей вероятность выиграть ниже. Так, в самых известных скачках Великобритании Grand National участвуют 40 лошадей. Даже победитель 2018 года, Tiger Roll, считавшийся неоспоримым фаворитом в 2019 году (в конце концов он и выиграл), имел шансы 4 к 1 «против». Поскольку большинство лошадей вряд ли выиграют большинство забегов, коэффициенты на лошадей, начинающиеся с высокого числа, как правило, это коэффициенты «против» – если прямо не указано иное.

В медицинских сценариях все наоборот. Шансы обычно выражаются в виде коэффициента «за» – вероятности того, что событие произойдет, относительно вероятности того, что оно не произойдет, а поскольку мы обычно говорим о заболеваниях с уровнем распространения среди популяции ниже 50 %, первым обычно называется меньшее число.

Чтобы посмотреть, как вычислить медицинские шансы и желаемое соотношение шансов, рассмотрим гипотетическое исследование конкретного контролируемого случая о влиянии единственного варианта Е4 (как в моем профиле ДНК) на вероятность развития болезни Альцгеймера к 85 годам. Результаты представим в табл. 1. Шансы развития болезни Альцгеймера к 85 годам в случае с одной копией варианта Е4 в генотипе (как и у меня) представляют собой количество людей с болезнью (100), деленное на количество людей без болезни (335), то есть 100 к 335 или, в виде дроби, 100/335. По той же логике, с учетом данных из второй строки таблицы, шансы развития болезни к 85 годам у обладающих распространенным генотипом с двумя копиями варианта Е3 составляют 79 к 956, или 79/956. Таким образом, соотношение шансов – это сравнение шансов на развитие болезни у человека с заданным генотипом (например, одна копия варианта Е4 и одна копия варианта Е3) с шансами развития болезни у человека с наиболее распространенным генотипом (две копии варианта Е3). Для гипотетических показателей, приведенных в табл. 1, соотношение шансов составляет 100/335, деленное на 79/956, что дает 3,61. Крайне важно, что соотношение шансов не требует от нас знать уровень распространения болезни в популяции в целом, поэтому его можно легко вычислить на основе анализа конкретных случаев.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 1. Результаты гипотетического тематического исследования о влиянии варианта одной копии Е4 на развитие болезни Альцгеймера к 85 годам


Показатель соотношения шансов сам по себе не дает информации о значении относительного риска (вероятности получения заболевания для генотипа Е3/Е4 относительно вероятности получения заболевания для генотипа Е3/Е3), но, объединив его с общим популяционным риском заболевания и известными частотами генотипов [56], можно определить вероятность заболевания для данного генотипа. Этот расчет очень непрост. Более того, не существует даже однозначно определенного способа его сделать. Я попытался воспроизвести тот же показатель риска развития поздней болезни Альцгеймера, что обнаружил в присланном отчете, используя тот же метод, что и в 23andMe, и данные, взятые непосредственно из отчета или из документов, которые они цитировали [57]. (Если вам интересно, при расчете мне предстояло найти вероятность развития заболевания, решив систему из трех взаимосвязанных уравнений для трех неизвестных условных вероятностей при помощи нелинейной программы поиска решений – как раз в таких задачках я люблю покопаться в процессе своей повседневной работы). Я обнаружил небольшие, но потенциально очень значимые расхождения между моими результатами и результатами 23andMe. Мои расчеты подсказывали, что к выкладкам 23andMe стоит отнестись с некоторым скептицизмом.

Наткнувшись на исследование 2014 года, в котором сравнивались методы расчета рисков, применявшиеся в трех ведущих персональных геномных компаниях, включая 23andMe [58], я укрепился в своих сомнениях относительно точности их результатов. Авторы обнаружили, что разные подходы к оценке общепопуляционного риска, частот генотипов и разные формулы, используемые при расчетах, вкупе способствовали значительному расхождению итоговых значений прогнозируемых рисков у различных компаний. Когда прогнозируемые риски использовались для распределения людей в группы повышенного, пониженного или стандартного риска, расхождения становились еще более очевидными. Исследование показало, что по крайней мере две из трех компаний относили 65 % всех лиц, протестированных на рак простаты, к противоположным категориям риска (повышенной или пониженной). Почти в двух третях случаев одна компания могла сообщить человеку, что он здоров, в то время как другая компания информировала бы его, что у него повышенный риск развития рака простаты.

Оставляя в стороне возможность ошибки самих генетических тестов, я получил ответ на свой третий вопрос: несовершенство математического подхода к оценке риска, представляемой в индивидуальных отчетах о личном геноме, заставляет воспринимать эти отчеты с некоторым скепсисом.

Момент истины

Наборы для индивидуального анализа ДНК – далеко не единственные инструменты здравоохранения, оказавшиеся в нашем распоряжении. Сегодняшние телефонные приложения могут отслеживать частоту сердечных сокращений или оценивать аэробное состояние; домашние тесты обещают определить все что угодно, начиная от аллергии и артериального давления и заканчивая проблемами со щитовидной железой или даже ВИЧ-инфекции. Но задолго до появления дорогих индивидуальных ДНК-тестов и телефонных приложений, которые измеряют вашу концентрацию или следят за вашим прессом, появился самый дешевый, простой в подсчете и, безусловно, низкотехнологичный персональный диагностический инструмент: индекс массы тела (ИМТ). ИМТ рассчитывается путем деления своей массы в килограммах на квадрат роста в метрах.

Для учета и диагностики любой с ИМТ ниже 18,5 классифицируется как имеющий «недостаточный вес». В диапазон «нормального веса» входит ИМТ от 18,5 до 24,5, а «избыточного веса» – от 24,5 до 30. «Ожирение» определяется при ИМТ выше 30. Ожирение может быть причиной примерно 23 % смертей в США, хотя точно оценить его влияние сложно. Однако эта тенденция в несколько меньшей степени прослеживается по всему миру. В Европе ожирение как причина преждевременной смертности уступает только курению. Ожирение среди взрослых и детей растет почти в каждой стране, и за последние 30 лет его распространенность удвоилась. Людей, страдающих ожирением, предупреждают о риске таких угрожающих жизни заболеваний, как диабет II типа, инсульт, ишемическая болезнь сердца и некоторые виды рака, а также о повышенном шансе возникновения психологических проблем, таких как депрессия. Сегодня в мире больше людей умирает от избыточного веса, чем от недостатка в весе.

Учитывая последствия для здоровья, связанные с ожирением или даже избыточным весом, можно было бы предположить, что система измерения, используемая для диагностики этих состояний – ИМТ, – будет иметь мощную теоретическую и экспериментальную основу. К сожалению, это далеко от истины. ИМТ «изобрел» в 1835 году бельгиец Адольф Кетле, известный астроном, статистик, социолог и математик, но никак не врач [59]. На основе довольно шатких математических построений Кетле сделал вывод, что «вес взрослых людей разного роста приблизительно равен квадрату длины тела». Примечательно, однако, что Кетле вывел эту статистику из усредненных данных о населении в целом и не подразумевал, что соотношение будет верным для любого отдельно взятого человека. Он также не предполагал, что выведенное им соотношение, которое станет известным как «индекс Кетле», станет использоваться для определения избыточности или недостаточности веса у людей – и более того, для определения состояния их здоровья. Такое применение его изысканиям было предложено только в 1972 году. В ответ на беспрецедентный уровень ожирения американский физиолог Ансель Киз (который позже установит связь между насыщенными жирами и сердечно-сосудистыми заболеваниями) провел исследование, чтобы найти наилучший показатель лишнего веса [60]. Он пришел к тому же отношению массы к квадрату роста, что и Кетле, и утверждал, что эта мера будет хорошим индикатором ожирения в популяции.

Теоретически люди с избыточным весом имеют бóльшую массу, чем можно предположить по их росту, и, следовательно, более высокий индекс массы тела. Люди с недостаточным весом, соответственно, имеют более низкий ИМТ. Формула Киза была очень простой и быстро приобрела популярность. По мере того как человечество толстело, а пагубные последствия для здоровья все более решительно и однозначно ассоциировались с ожирением, эпидемиологи стали использовать ИМТ для отслеживания факторов риска, связанных с избыточным весом. В 1980-х годах Всемирная организация здравоохранения, Национальная служба здравоохранения Великобритании и Национальные институты здравоохранения США официально приняли индекс ИМТ как единственный показатель степени ожирения для всех людей. Страховые компании по обе стороны Атлантики в настоящее время регулярно используют ИМТ для определения размера страховых взносов и даже для решения, будут ли они страховать человека вообще.

Люди с лишним весом и вправду обычно имеют более высокий индекс массы тела, однако, что неудивительно, такой упрощенный подход вовсе не является универсальным способом определения. Основная проблема с ИМТ в том, что он не может отличить мышцы от жира. Это важно, потому что избыток телесного жира является хорошим предсказателем кардиометаболического риска. А вот индекс массы тела – нет. Если бы определение ожирения основывалось на высоком процентном содержании телесного жира, то от 15 до 35 % мужчин, которых ИМТ не относит к группе страдающих от ожирения, были бы классифицированы как в пациенты с ожирением [61]. Так, «толстые худышки»[62] – люди с небольшой мышечной массой, но высоким уровнем телесного жира – имеют, соответственно, нормальный индекс массы тела. Но при этом они попадают в «невидимую» для ИМТ категорию людей «нормального веса с ожирением». Недавнее перекрестное исследование 40 тысяч человек показало, что 30 % людей с ИМТ в нормальном диапазоне страдают кардиометаболитическим синдромом. Похоже, что кризис ожирения может быть гораздо хуже, чем предполагают данные по индексу массы тела. Тем не менее оказывается, что ИМТ, определяя ожирение, ошибается в обе стороны. То же исследование показало, что до половины людей, которые по индексу массы тела попадают в группу с избыточным весом, и более четверти людей, страдающих, согласно показателю ИМТ, от ожирения, на деле здоровы с точки зрения метаболизма.

Некорректно проведенная классификация искажает общие данные об уровне ожирения по всему населению. Однако, возможно, еще более тревожные последствия ошибочной диагностики на основе индекса массы тела заключаются в том, что зачисление здоровых людей в категорию страдающих от избыточного веса или ожирения может пагубно отразиться на их психике[63]. В подростковом возрасте журналистка и писательница Ребекка Рид столкнулась с расстройствами пищевого поведения. Она вспоминает, что сигналом к отчаянной борьбе с лишним весом стал урок биологии, на котором ее научили измерять ИМТ. Прежде Ребекка была вполне довольна своим телом, но данные индекса массы тела определили ее в категорию людей с избыточным весом. Ребекка стала просто одержима ИМТ. Она села на строгую диету и занялась физическими упражнениями, в результате чего всего за несколько недель сбросила 10 фунтов. В какой-то момент, пытаясь ограничить себя всего 400 калориями в день, она потеряла сознание в одиночестве в своей спальне. Слезая с диеты, она наказывала себя перееданием, а затем вызывала рвоту, чтобы компенсировать это. Известие, что она попала в категорию людей с лишним весом, прозвучало, как вспоминает Ребекка, не мягким стимулом к тому, чтобы подтянуть физическую форму, а «вгоняющей в панику сиреной». По иронии судьбы, людей, восстанавливающихся после расстройств пищевого поведения, ИМТ обычно классифицируют как «выздоровевших» – вне зависимости от их реальной физической формы и размеров – тогда, когда этот показатель достигает 19, то есть оказывается в пределах «здорового» диапазона. Сделав невероятно трудный шаг, признав, что у них есть проблема, и обратившись за помощью, некоторые люди, страдающие расстройствами пищевого поведения, оказываются лишенными поддержки на основании того, что их индекс массы тела указывает, будто они «здоровы».

Очевидно, что индекс массы тела не является точным индикатором состояния здоровья ни на одном из концов шкалы. Вместо этого было бы полезно знать процентное содержания жира в организме, которое самым тесным образом связано с кардиометаболическими последствиями для здоровья. Для этого нам необходимо заимствовать идею 2000-летней давности из древнего города-государства Сиракузы на острове Сицилия.

Примерно в 250 году до нашей эры царь Сиракуз Гиерон II обратился к выдающемуся математику древности Архимеду, жившему там же, с просьбой помочь решить спорный вопрос. Король поручил ювелиру сделать для себя корону из чистого золота. Получив готовую корону, Гиерон, наслышанный о не самой безупречной репутации ювелира, заподозрил, что мастер обманул его, использовав сплав золота и какого-то другого, более дешевого и более легкого металла, чтобы присвоить образовавшийся «излишек». Архимеду поручили выяснить, смошенничал ли ювелир при этом ему запретили брать пробу металла или каким-то иным образом портить корону.

Прославленный математик понял, что для решения проблемы ему необходимо будет рассчитать плотность короны. Если корона окажется менее плотной, чем чистое золото, значит, ювелир обманул. Плотность чистого золота он вычислил легко, подсчитав объем золотого бруска правильной формы, а затем взвесив его, чтобы получить массу. Деление массы на объем давало плотность. Пока все шло хорошо. Если бы Архимед мог просто повторить ту же процедуру с короной, он просто сравнил бы две плотности. Взвесить корону было просто, но трудности возникли при попытке определить ее объем – корона имела сложную, неправильную форму. Эта проблема поставила Архимеда в тупик на некоторое время. Как-то он решил пойти в баню. Войдя в наполненную до краев ванну, он заметил, что часть воды выплеснулась. Погрузившись в ванну, он понял, что объем воды, перелившейся за край полностью заполненной ванны, будет равен погруженному в воду объему его тела, которое тоже имело неправильную форму. Он мгновенно ощутил, что наткнулся на метод определения объема, а следовательно, и плотности короны. Витрувий рассказывает, что Архимед был так рад своему открытию, что выскочил из ванны и побежал голым и мокрым по улице с криком «Эврика!» («Нашел!») – таков был его момент истины.

Даже сегодня архимедов метод «вытеснения» применяется для расчета объема объектов неправильной формы. Если вы подумываете о том, чтобы погрузиться в здоровый образ жизни, метод Архимеда поможет вам вычислить, какой объем смузи вы получите, перетерев в блендере набор овощей и фруктов неправильной формы. Или же, вдохнув полной грудью и выдохнув как можно сильнее в пустой герметичный мешок, затем запечатав его и погрузив в воду, при помощи архимедова принципа вы можете оценить, какой стала емкость ваших легких после нескольких недель тренировок по новой программе.

К сожалению, несмотря на полезность метода вытеснения, описанного в популярном пересказе истории, вряд ли Архимед на самом деле решал эту проблему таким образом. Для этого объем вытесненной короной воды надо было измерять с точностью, которая по тем временам была недостижима. Скорее всего, Архимед использовал схожую идею из гидростатики, которая позже станет известна как принцип Архимеда.

Этот принцип гласит, что объект, помещенный в текучую среду (жидкость или газ), подвергается воздействию выталкивающей силы, эквивалентной весу жидкости, которую он вытесняет. Иными словами, чем погруженный объект больше, тем больше жидкости он вытесняет и, следовательно, тем большему воздействию выталкивающей силы, компенсирующей его вес, он подвергается. Это объясняет, почему огромные грузовые суда не тонут, если совокупный вес корабля и его груза меньше, чем вес воды, которую они вытесняют. Этот принцип также тесно связан с таким качеством, как плотность – отношение массы предмета к его объему. Объект, плотность которого больше плотности воды, весит больше воды, которую он вытесняет, поэтому выталкивающей силы не хватит для того, чтобы поддерживать его на плаву, противодействуя его весу, – и этот объект утонет.

В этих рамках задача Архимеда сводилась к тому, чтобы уравновесить на простых рычажных весах корону на одной чашке и исходную массу чистого золота на другой. На воздухе весы были бы сбалансированы. Однако, если эти весы погрузить в воду, на фальшивую корону выталкивающая сила воздействовала бы сильнее (в силу того что по объему та превосходила бы равную ей массу более плотного золота и, следовательно, вытесняла бы больше воды), так что чашка с фальшивой короной всплывала бы выше, чем чаша с золотом.

Именно этот принцип Архимеда используется при точном подсчете процентного содержания жира в организме. Человек сначала взвешивается в нормальных условиях, а затем – полностью погруженным в воду, на стуле, прикрепленном к набору весов. Разницу в весе на воздухе и под водой можно использовать для подсчета выталкивающей силы, действующей на человека под водой, что, в свою очередь, позволяет определить объем погруженного в воду тела, учитывая, что плотность воды известна. Затем на основе полученного значения общего объема тела с учетом данных о плотности жировых и нежировых тканей человеческого организма определяется процентное содержание жира в организме, что в итоге обеспечивает основу для более точной оценки рисков для здоровья.

Уравнение Бога

ИМТ – всего лишь один из множества различных математических инструментов, которые повседневно используются в современной медицинской практике. Их спектр простирается от простых дробей для расчета доз медикаментов до сложных алгоритмов реконструкции изображений, полученных с помощью компьютерной томографии. В британском здравоохранении существует, пожалуй, одна формула, которая выделяется на фоне всех остальных своей неоднозначностью, важностью и далеко идущими последствиями. «Уравнение Бога» диктует, какие новые лекарства будет оплачивать Национальная служба здравоохранения Великобритании: оно буквально определяет, кто будет жить, а кто умрет. Если ваш ребенок неизлечимо болен, вы можете считать, что цена, которую нужно заплатить за то, чтобы дать вам еще немного времени рядом с вашим малышом, не имеет значения. «Уравнение Бога» утверждает обратное.

В ноябре 2016 года скорая доставила в детскую больницу Шеффилда 14-месячного Руди, сына Даниэлы и Джона Элс. Его подключили к аппарату искусственного дыхания, а доктора сказали Даниэле и Джону, что Руди может не пережить эту ночь. Причиной смертельной опасности была обычная легочная инфекция, с которой большинство детей легко справляются. Большинство детей, однако, не страдают от спинальной мышечной атрофии (СМА).

Когда Руди было шесть месяцев, а врачи никак не могли выяснить, что с ним не так, Даниэла и Джон смогли диагностировать СМА у своего сына, узнав, что двоюродный брат Джона страдал тем же расстройством. Ожидаемая продолжительность жизни с тем типом прогрессирующей мышечной атрофии, что был у Руди, составляет всего два года. К счастью, существует препарат Spinraza, разработанный компанией Biogen, который может остановить и даже обратить вспять некоторые из самых тяжелых эффектов СМА. Этот препарат способен продлить жизнь и облегчить страдания тех, кто, как и Руди, страдает этим заболеванием. Однако в Англии в 2016 году, когда Руди боролся за свою жизнь в больнице, он был доступен только за плату.

Теоретически в США, как только Управление по контролю качества продуктов и медикаментов одобряет препарат для продажи, он становится доступным для пациентов. Spinraza был одобрен Управлением в декабре 2016 года. На практике большинство страховых компаний ведут список «предварительно утвержденных» дорогостоящих или потенциально опасных лекарств. Для каждого назначения в этом списке оговаривается ряд условий, которые должны быть выполнены, прежде чем препарат будет предоставлен конкретному пациенту. Spinraza входит в список предварительно утвержденных препаратов каждой страховой компании. Конечно, доступ к медицинскому обслуживанию в США также зависит от возможности позволить себе медицинскую страховку. В 2017 году 12,2 % американцев не были застрахованы, и США остаются единственной промышленно развитой страной, не имеющей всеобщего медицинского страхования.

В Англии же, напротив, здравоохранение доступно для всех. Медицинские услуги бесплатны – Национальная система здравоохранения финансируется в основном за счет общего налогообложения. Безопасность и эффективность применения лекарств в Англии обеспечивают Европейское агентство лекарственных средств (EAЛС) и Управление по контролю лекарств и медицинских препаратов Великобритании. В мае 2017 года ЕАЛС одобрило Spinraza для использования. Однако, поскольку бюджет НСЗ Великобритании ограничен, она не может санкционировать применение любого нового препарата, который появляется на рынке. Ради выделения денег на какой-то препарат придется, допустим, сократить ассигнования на социальную помощь, пожертвовать новым диагностическим или лечебным оборудованием для онкологических больных или допустить сокращение персонала в отделениях по уходу за новорожденными. Отвечает за принятие таких непростых решений Национальный институт охраны здоровья и совершенствования медицинской помощи Великобритании (NICE). Когда речь идет о лекарственных препаратах, NICE обеспечивает объективность своих решений, исходя из давно зарекомендовавшей себя формулы.

«Уравнение Бога» пытается сбалансировать объем дополнительного «лечебного эффекта» от препарата с объемом дополнительных расходов, которых его назначение потребует от Национальной системы здравоохранения. Оценка первого фактора – очень трудная задача. Как можно сравнить преимущества медикаментов, снижающих частоту сердечных заболеваний, например, с преимуществами медикаментов, продлевающих жизнь больному раком?

NICE использует общий эталонный показатель, известный как год жизни с поправкой на качество [64], или QALY. При сравнении нового лечения с существующим QALY учитывает не только то, насколько лекарство может продлить жизнь, но и качество жизни, которое оно обеспечивает. Один QALY может дать лекарство от рака, которое продлевает жизнь на два года, но сохраняет пациенту только 50 % здоровья, или операцию по замене коленного сустава, которая сама по себе оставшуюся 10-летнюю ожидаемую продолжительность жизни пациента не увеличивает, но улучшает ее качество на 10 %. Успешное лечение рака яичек может принести много единиц QALY, так как у молодых пациентов (как правило, именно им показаны такие операции) резко увеличивается продолжительность жизни без снижения ее качества.

Вычислив надежный показатель QALY, новую методику лечения и прежнюю можно будет сравнить по разнице в QALY, которую они предлагают, и разнице в их стоимости. Если показатель QALY уменьшается, то новая методика будет немедленно отклонена. Если показатель QALY увеличивается, а стоимость уменьшается, то для одобрения более эффективной и более дешевой новой процедуры не нужно большого ума. Однако если, как это чаще всего бывает, растут и показатель QALY, и стоимость лечения, NICE приходится делать нелегкий выбор. В этих случаях коэффициент эффективности дополнительных затрат (КЭДЗ) составляет отношения роста QALY к росту затрат. КЭДЗ показывает, насколько увеличатся затраты на каждую дополнительную единицу QALY, которую обещает новое лекарство. Обычно Национальный институт охраны здоровья и совершенствования медицинской помощи устанавливает пороговое значение максимального коэффициента КЭДЗ для одобрения ассигнований в диапазоне от 20 000 до 30 000 фунтов стерлингов за один QALY.

В августе 2018 года страдающие СМА и их семьи, включая Даниэлу, Джона и Руди, с нетерпением ждали решения NICE – войдет ли Spinraza в реестр доступных лекарств Национальной системы здравоохранения. NICE признала, что Spinraza «обеспечивает важный лечебный эффект» для пациентов с СМА. Результаты улучшения качества жизни также были чрезвычайно положительными. Ожидаемый показатель QALY этого препарата составил 5,29. Дополнительные расходы, однако, достигли невероятного значения в 2 160 048 фунтов; в итоге коэффициент КЭДЗ для Spinraza превысил значение 400 000 фунтов за один QALY, что было намного, намного выше порога NICE. Несмотря на убедительные свидетельства тех, кто был поражен этим недугом, и их опекунов, «уравнение Бога» постулировало, что допустить использование Spinraza в Национальной системе здравоохранения было невозможно.

К счастью для семьи Элсов, Руди оказался записан в программу расширенного доступа корпорации Biogen, которая позволяет младенцам с СМА 1 типа получать этот препарат. В феврале 2019 года он получил свою десятую инъекцию, и в настоящее время этот вполне цветущий трехлетний карапуз уже давно пережил те годы, что отпущены тем страдающим спинальной мышечной атрофией первого типа, кто не имеет доступа к данному лекарству. Однако NICE так и не включил Spinraza, спасающий и продлевающий жизнь препарат, в реестр одобренных для Национальной системы здравоохранения Великобритании лекарств.

Ложная тревога

«Уравнение Бога» можно рассматривать как попытку передать жизненно важные решения от субъективных людей объективной математической формулы. Эта точка зрения эксплуатирует видимую беспристрастность и объективность математики, пренебрегая тем, что субъективность уже сыграла свою роль на ранних этапах процесса принятия решений, замаскировавшись под заключения о качестве жизни и пороговых показателях эффективности затрат. Более подробно мы поговорим о мнимой беспристрастности математики в шестой главе, когда будем рассматривать применение алгоритмической оптимизации в повседневной жизни.

Математику использует не только закулисная бюрократия, которая оказывает влияние на решения, зачастую принимаемые в недрах британской системы здравоохранения кулуарно, – математика применяется и на передовой, в больницах для спасения жизней. Так, одной из особенно важных проблем, где влияние математики ощущается все сильнее, является снижение количества ложных сигналов тревоги в отделении интенсивной терапии.

Ложной обычно считается тревога, вызванная причиной, отличной от ожидаемой. Ошеломляющие 98 % всех сигналов тревоги в США причисляют к ложным. В связи с этим возникает вопрос: «Зачем вообще устанавливать сигнализацию?» Привыкая к ложным ее срабатываниям, мы все менее склонны расследовать их причины.

Мы свыклись не только с охранной сигнализацией. Когда срабатывает пожарная сигнализация, мы обычно уже открыли окно и соскребаем подгоревшую корочку с наших тостов. Услышав автомобильную сигнализацию с улицы, лишь единицы встанут с дивана, чтобы посмотреть, что там творится. Когда сигнализация становится скорее помехой, чем помощью, и когда мы перестаем доверять ее предупреждениям, наступает состояние, называемое утомлением от сигнализации. Это проблема, потому как получается, что разумнее не иметь сигнализации вообще, чем оказаться в ситуации, когда сигнализация становится настолько рутинной, что ее просто игнорируют или полностью отключают. Это высокой ценой на собственном опыте выяснила семья Уильямсов.

Бóльшую часть учебного года в средней школе Микаэла Уильямс провела, мечтая стать модельером. Уже некоторое время она страдала от частых, затяжных и мучительных болей в горле. Несмотря на то что при удалении миндалин подростки более подвержены осложнениям, чем дети, Микаэла и ее семья приняли решение сделать операцию, чтобы улучшить качество ее жизни. Через три дня после семнадцатилетия Микаэла пришла на амбулаторную процедуру в местном хирургическом центре. После рутинной операции, занявшей меньше часа, ее отвезли в послеоперационную палату, а матери сказали, что операция прошла успешно и что она сможет забрать дочь домой позже в тот же день. Чтобы облегчить послеоперационное восстановление и снять дискомфорт, Михаэле дали фентанил, мощное опиоидное болеутоляющее средство. Среди известных, но относительно редких побочных эффектов фентанила есть дыхательная недостаточность. Перед тем как отправиться к другим пациентам, медсестра на всякий случай подключила Микаэлу к монитору, фиксирующему ее жизненные показатели. Микаэла лежала, огороженная ширмами, но монитор мгновенно предупредил бы медсестру о любом ухудшении состояния Микаэлы.

Предупредил бы – если бы звук монитора не был отключен.

Ухаживая за несколькими пациентами в послеоперационной палате, медсестры постоянно отвлекались на ложные срабатывания мониторов. Эти досадные мелочи мешали медсестрам эффективно выполнять свою работу. Им приходилось бросать одного пациента посреди процедуры ради того, чтобы сбросить сигнал тревоги у другого – это не только отнимало у них драгоценное время, но и нарушало их концентрацию. Поэтому медсестры приняли простое решение, позволяющее им не отвлекаться. В послеоперационной палате регулярно приглушали или даже полностью отключали звук мониторов, чтобы избежать постоянных ложных тревог.

Вскоре после того, как вокруг нее задернули занавески, Микаэла под действием фентанила начала задыхаться. Тревожная лампочка, сигнализирующая о гиповентиляции [65], отчаянно мигала, но через занавески свет был не виден, а звуковой сигнал был заглушен. Уровень кислорода у Микаэлы продолжал падать, у нее началось неконтролируемое возбуждение нейронов, спровоцировавшее хаотическую электрическую бурю, которая нанесла непоправимый ущерб ее мозгу. К моменту следующей проверки, через 25 минут после введения фентанила, ее мозг был поврежден настолько, что шансов на выживание не оставалось. 15 дней спустя Микаэла умерла.

Наблюдение за жизненными показателями таких пациентов, как Микаэла, которые восстанавливаются после операции или оказываются в палате интенсивной терапии, с помощью автоматических систем, отслеживающих все – от частоты сердечных сокращений и кровяного давления до уровня кислорода в крови и внутричерепного давления, – безусловно, идет на пользу. Обычно настройки этих мониторов подразумевают срабатывание сигнала тревоги в том случае, если отслеживаемый параметр выходит за пределы заданного диапазона. Однако примерно 85 % случаев срабатывания автоматических систем слежения за состоянием пациентов в отделениях интенсивной терапии оказываются ложными [66].

Такие высокие показатели ложных тревог обусловлены двумя факторами. Во-первых, по очевидным причинам, сигнал тревоги в отделениях интенсивной терапии настроен на срабатывание по малейшему поводу: порог намеренно устанавливают предельно близко к нормальным физиологическим показателям, чтобы гарантированно засечь даже малейшие аномалии. Во-вторых, сигнал тревоги срабатывает не на устойчивое отклонение показателя, а в тот момент, когда отслеживаемый параметр пересекает заданный уровень. В итоге, например, малейшего – даже на мгновение – скачка артериального давления достаточно для срабатывания сигнала тревоги. Хотя этот скачок может быть признаком опасной гипертонии, он вполне может быть вызван естественными изменениями или шумами в измерительной аппаратуре. Однако, если артериальное давление останется высоким надолго, мы вряд ли спишем это на погрешность измерения. К счастью, у математики есть простой способ решить проблему.

Решение называется фильтрацией. Это процесс, при котором сигнал в заданной точке заменяется на усредненный по соседним точкам. Это звучит сложно, но мы постоянно сталкиваемся с отфильтрованными данными. Когда климатологи утверждают, что «мы только что пережили самый теплый год за все время измерений», они не сравнивают данные о температуре по дням. Вместо этого они могут усреднять данные по всем дням года, сглаживая колебания дневных температур, что облегчает сравнение.

Фильтрация имеет тенденцию сглаживать сигналы, делая пики менее выраженными. Необходимая при съемке с помощью цифрового фотоаппарата в полумраке долгая экспозиция часто приводит к появлению так называемого «зерна». Иногда на темных участках изображения появляются яркие пиксели, и наоборот. Поскольку интенсивность пикселей на снимке представлена в цифровом виде, с помощью фильтрации можно заменить значения каждого пикселя на среднее значение соседних, что позволяет отфильтровать шумы и получить более «гладкое» изображение.

При фильтрации можно использовать самые разные виды усреднений. Лучше всего нам знакомо выведение среднего арифметического значения. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа заданного множества и поделить полученную сумму на количество этих чисел. Если бы, например, мы хотели найти средний рост Белоснежки и семи гномов, мы сложили бы рост каждого из них и разделили на восемь. При этом рост Белоснежки – пиковый на фоне остального множества – заметно скажется на результате подсчета, исказив его в сторону увеличения. Более репрезентативное среднее значение – медиана. Чтобы найти медианный рост упомянутой компании, мы выстроим гномов и Белоснежку в ряд по росту (Белоснежку первой, Простака в конце) и возьмем за базовое значение рост того, кто стоит в середине ряда. Поскольку в нем восемь персонажей (четное число), средним не оказывается никто. Так что за медиану мы примем среднее арифметическое роста двоих средних (Ворчуна и Сони). Используя медиану, мы можем отбросить рост Белоснежки, который настолько смещал значение среднего арифметического. По той же причине медиана часто используется при представлении данных о среднем доходе. Как видно из рисунка 4, высокая заработная плата очень обеспеченных людей в нашем обществе имеет тенденцию искажать среднее значение – с этой идеей мы снова столкнемся в следующей главе, обсуждая, как математика может сбивать с толку в зале суда. Медиана дает нам лучшее представление о возможном «стандартном» располагаемом доходе семьи, чем среднее арифметическое. Конечно, можно утверждать, что при таких подсчетах не следует пренебрегать ростом Белоснежки или доходами высокооплачиваемых людей, ведь они так же истинны, как и любые другие данные из множества. Может, и так, но суть в том, что ни медиана, ни среднее арифметическое не являются истинными ни в каком объективном смысле. Просто различные виды усреднений применяются для разных целей.

ДОМОХОЗЯЙСТВА (ТЫС.)

При фильтрации зернистого цифрового изображения мы хотим удалить эффекты побочных значений пикселей. При усреднении по соседним значениям пикселей средняя фильтрация будет корректировать, но не полностью удалять эти экстремальные значения. И наоборот, при медианной фильтрации крайние шумовые значения пикселей эффективно игнорируются.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 4. Распределение домохозяйств Великобритании с заданным располагаемым (после уплаты налогов) доходом (с шагом £1000) в 2017 году. Медианное значение (£ 27 310) можно считать лучшим отображением «стандартного» располагаемого дохода домохозяйства, чем среднее арифметическое (£32 676)


По той же причине медианная фильтрация все чаще используется в мониторах отделений интенсивной терапии для предотвращения ложных тревог [67]. На основе медианного значения, высчитываемого по ряду последовательных показаний, задается условие для срабатывания сигнала тревоги – включаться только тогда, когда пороговые значения нарушаются в течение продолжительного (хотя и все еще короткого) времени, а не при одноразовым всплеске или падении отслеживаемого параметра. Медианная фильтрация может снизить частоту ложных срабатываний в мониторах интенсивной терапии на целых 60 %, не ставя под угрозу безопасность пациента [68].

Ложные тревоги – это подкатегория ошибок, известных как ложные срабатывания (а также ложноположительные результаты). Как следует из названия, они возникают, когда проверка подтверждает наличие определенного состояния или признака при его фактическом отсутствии. Как правило, ложное срабатывание встречается в бинарных тестах, предполагающих два ответа: положительный или отрицательный. В контексте медицинских тестов ложноположительные результаты приводят к тому, что здоровым людям говорят, что они больны. В зале суда ложноположительным результатом является обвинительное заключение, выносимое невиновному за преступление, которое он не совершал. (Со многими такими жертвами мы встретимся в следующей главе).

Бинарный тест может принести ошибочные результаты двояким образом. Возможные результаты такого теста (два верных и два неверных) представлены в табл. 2. Помимо ложноположительных результатов, существуют и ложноотрицательные.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 2. Четыре возможных исхода бинарного теста


В контексте медицинской диагностики можно предположить, что ложноотрицательные результаты потенциально более вредоносны, поскольку они говорят пациентам, что у них нет той болезни, на которую они проверяются, тогда как на самом деле у них она есть. С некоторыми невольными жертвами ложноотрицательных диагнозов мы встретимся позже в этой главе. Ложноположительные результаты могут также иметь удивительные и серьезные последствия, но по совершенно другим причинам.

На большом экране[69]

Возьмем, к примеру, скрининг болезней. Скрининг – это массовое тестирование на конкретное заболевание людей, у которых нет симптомов, но принадлежащих к группе высокого риска. Так в Великобритании женщины старше 50 лет регулярно проходят обследование молочных желез, так как подвержены повышенному риску развития рака молочной железы. И случаи ложноположительных результатов в программах медицинского скрининга сегодня стали предметом бурных дискуссий.

Доля невыявленного рака молочной железы у женщин в Великобритании может составлять около 0,2 %. Это означает, что в любой момент на каждые 10 тысяч женщин в стране, у которых рак молочной железы не диагностирован, может приходиться до 20 жертв заболевания. На первый взгляд, это немного, но только потому, что в большинстве случаев рак молочной железы обнаруживается быстро. Фактически рак молочной железы диагностируется у каждой восьмой женщины в течение ее жизни. В Великобритании примерно каждой десятой из этих женщин диагноз ставится с опозданием (на третьей или четвертой стадии). Поздний диагноз значительно снижает шансы на выживание в долгосрочной перспективе, что подтверждает жизненно важное значение регулярной маммографии, особенно для женщин, относящихся к уязвимым возрастным категориям. Однако у таких профилактических обследований существует математическая проблема, о которой большинство людей не знает.

Каз Дэниелс – мать троих детей из Нортхемптона. В 2010 году в возрасте 50 лет она в первый раз прошла профилактическую маммографию. Через неделю после процедуры она получила письмо с просьбой пройти дополнительное обследование через два дня. Срочность вызова, разумеется, ошеломляла. Следующие два дня она не находила себе места от волнения, не могла ни спать, ни есть, содрогаясь от мрачных перспектив в случае положительного диагноза.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 5. Из 10 000 женщин старше 50 лет, прошедших тестирование, 36 будут верно определены как положительные, а 996 – как положительные, несмотря на отсутствие заболевания


Большинство проходящих маммографию считают это обследование достаточно точным способом обнаружить рак молочной железы. Действительно, в случае развившегося рака, обследование обнаружит недуг девять раз из десяти. Примерно с такой же точностью обследование верно обнаружит отсутствие рака [70]. Зная эту статистику и получив положительный результат маммографии, Каз посчитала, что она, вероятно, больна раком. Однако простой математический довод показывает, что на самом деле все наоборот.

Распространенность невыявленного рака груди у женщин старше 50 лет – тех, кого приглашают на плановое обследование, – несколько выше, чем у женщин в целом; ее можно оценить примерно в 0,4 %. Результаты обследования для 10 тысяч женщин такого возраста представлены на рис. 5. В среднем только у 40 из них будет рак груди, а 9960 – нет. Однако каждая десятая, или 996 женщин, не страдающих этим недугом, получит ложноположительный диагноз. С учетом 36 истинно положительных диагнозов это означает, что положительный результат теста будет правильным только в 36 из 1032 случаев, или в 3,48 % случаев. Пропорция истинно положительных результатов обследования называется точностью теста. Из 1032 женщин, получивших положительный результат, только 36 действительно больны раком груди. Иными словами, даже при положительном результате маммографии в подавляющем большинстве случаев рака груди у вас нет. Несмотря на то что тест кажется достаточно точным, низкая распространенность заболевания среди населения предопределяет высокую степень его погрешности.

Бедная Каз этого не знала – как и многие другие женщины, которые проходят такие обследования. На самом деле многие врачи не в состоянии интерпретировать положительные результаты маммографии. В 2007 году группе из 160 гинекологов была предоставлена следующая информация о точности маммографии и распространенности рака молочной железы среди населения [71].

– Вероятность заболеть раком груди у женщин составляет 1 %.

– Фактически существующий рак груди будет обнаружен с вероятностью 90 %.

– При отсутствии рака груди вероятность положительного результата теста составляет 9 %.

Затем врачам предложили выбрать, какой из приведенных ниже вариантов ответа наилучшим образом характеризует шансы на то, что у пациентки с положительной маммографией на самом деле рак груди.

A. Вероятность того, что у нее рак груди, составляет около 81 %.

B. Из 10 женщин с положительной маммографией около 9 имеют рак груди.

C. Из 10 женщин с положительным результатом маммографии рак груди есть только у 1.

D. Вероятность того, что у нее рак груди, составляет около 1 %.

Самым популярным ответом среди гинекологов был A – что положительный результат маммографии будет верным в 81 % случаев (около восьми раз из десяти). Они правы? Мы можем проверить их ответ, рассмотрев обновленное дерево решений на рис. 6. При 1 % фоновой распространенности, из 10 000 случайно выбранных женщин в среднем 100 будут иметь рак груди. У 90 из них маммография корректно обнаружит заболевание. Из 9900 женщин, у которых нет рака, 891 получит ложноположительный диагноз. Из 981 женщины с положительным диагнозом только 90 – или примерно 9 % – действительно будут больны раком. Массовая переоценка истинной величины гинекологами вызывает беспокойство. Правильный ответ «C» выбрала примерно пятая часть респондентов – этот результат хуже, чем если бы все врачи просто выбрали из четырех вариантов наугад.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 6. Из 10 000 гипотетических женщин в вопросе с несколькими вариантами ответа 90 будут правильно определены как положительные, а 891 – как положительные, несмотря на то что у них нет заболевания


В нашем случае повторные обследования, которые провела Каз, показали, что заболевания у нее нет – как и следовало ожидать. Однако переживания, которые ей пришлось вынести, типичны для большинства женщин, получающих положительный результат маммографии. При повторных маммографиях, как предписано большинством скрининговых программ, шансы получить ложноположительный результат возрастают. Если предположить, что ложноположительные результаты возникают с одинаковой вероятностью 10 % (или 0,1) в каждом обследовании, то правильный диагноз истинного отрицательного результата дается с вероятностью 90 % (или 0,9). После семи независимых тестов вероятность ни разу не получить ложноположительный результат (перемножить 0,9 шесть раз, или 0,97) падает ниже половины (примерно до 0,47). Иными словами, требуется всего семь маммограмм, прежде чем вероятность получить ложноположительный результат превысит вероятность его не получить. Поскольку женщины после 50 лет проходят маммографии каждые три года, каждая из них скорее всего получит хотя бы один ложноположительный результат в течение своей жизни.

Иллюзия достоверности

Конечно, столь частые ложноположительные результаты вызывают вопросы о соотношении затрат и результатов программ скрининга. Высокая частота ложноположительных результатов может иметь пагубные психологические последствия и привести к тому, что пациенты будут откладывать или отменять предстоящие маммографии. Однако проблемы скрининга выходят за рамки только ложноположительных результатов. В The BMJ[72] Мюир Грей, бывший директор Британской национальной программы скрининга, признался: «Все программы скрининга вредны; некоторые из них – полезны, а некоторые приносят больше пользы, чем вреда при разумных затратах»[73].

Скрининг, в частности, может привести к феномену гипердиагностики. Хотя скрининг молочной железы выявляет больше раковых заболеваний, многие из них настолько малы или развиваются так медленно, что никогда не превратятся в реальную угрозу для здоровья женщины; останься они незамеченными, они не вызвали бы никаких проблем. Тем не менее слово на букву «Р» вызывает у большинства обычных людей такой смертельный страх, что многие – часто по совету врачей – готовы даже без реальной необходимости пойти на болезненное лечение или инвазивную операцию.

Похожие дебаты ведутся и вокруг других программ массового скрининга, включая мазок на рак шейки матки (болезнь, к которой мы вернемся в седьмой главе, когда рассмотрим экономическую эффективность и паритет программ вакцинации), анализ на ПСА[74] для обнаружения рака предстательной железы и скрининги на рак легких. Поэтому разницу между скринингом и диагностическим обследованием важно понимать. Процесс скрининга чем-то напоминает поиск работы. Первоначальное заявление о приеме на работу позволяет работодателю эффективно составить шорт-лист кандидатов на собеседование по нескольким ключевым характеристикам. Так и скрининги предназначены для широкого, неселективного охвата населения с целью выявить людей, у которых еще не проявились симптомы. Как правило, эти обследования не очень точны, но с их помощью можно без особенных затрат проверить множество человек. Работодатели используют более ресурсоемкие и информативные методы, обращаясь в рекрутинговые центры и проводя собеседования, чтобы выбрать наилучших кандидатов. Аналогичным образом после выявления при помощи скрининга среди населения потенциальных жертв болезней, можно проводить уже более дорогостоящие, но более точные диагностические обследования для подтверждения или отклонения первоначальных результатов скрининга. Вы же не считаете, что приглашение на собеседование с потенциальным работодателем означает автоматическое получение работы. Точно так же вы не должны предполагать, что у вас есть болезнь, только на основании положительного результата скрининга. Когда распространенность заболевания низка, скрининг даст гораздо больше ложноположительных результатов, чем истинных.

Проблемы, вызванные ложноположительными результатами медицинских скринингов, в некоторой степени связаны с нашим некритичным отношением к точности медицинских обследований. Это явление часто называют иллюзией достоверности. Мы настолько отчаянно нуждаемся в окончательном – том или ином – ответе, особенно в медицинских вопросах, что забываем относиться к полученным результатам с должным скептицизмом.

В 2006 году 1000 взрослых респондентов в Германии отвечали на вопрос, дают ли медицинские обследования абсолютно достоверные результаты [75]. Хотя 56 % респондентов верно отметили, что результаты маммографии имеют некоторую погрешность, подавляющее большинство считало, что тесты ДНК, анализ отпечатков пальцев и тесты на ВИЧ являются 100 % достоверными, но это далеко не так.

В январе 2013 года журналист Марк Стерн провел неделю в постели с лихорадкой. Он записался на прием к своему новому врачу, который решил, что лучше всего будет сделать анализ крови. Через несколько недель, после курса антибиотиков, Марк почувствовал себя лучше. Он был один в своей квартире в Вашингтоне, когда зазвонил телефон. На другом конце линии был его врач с результатами анализов. Вскоре выяснилось, что к такому разговору Марк был совершенно не готов.

«Результат вашего иммуноферментного анализа [76] оказался положительным, – доктор сразу перешел к делу. – Вам стоит предполагать, что у вас ВИЧ». Марк, ни сном, ни духом не ведавший, что его врач провел иммуноферментный анализ на ВИЧ (или следующий за ним анализ вестерн-блот[77]), оказался перед ужасающим фактом. Данные анализа и совет врача не оставляли ему другого выбора, кроме как примириться с шокирующим диагнозом: ВИЧ-инфицированный. Перед тем как закончить звонок, врач предложил Марку прийти на следующий день для проведения контрольного анализа.

Той ночью Марк и его парень пересмотрели свои предыдущие отрицательные тесты на ВИЧ за последние месяцы и попытались вспомнить все события за прошедший период, которые могли привести к заражению. Храня друг другу верность и практикуя безопасный секс, они не могли представить себе такую возможность. Тем труднее им было заснуть в ту ночь.

На следующее утро, паникующий, растерянный и измученный недосыпом Марк явился на обследование. Когда врач брал кровь из его руки, чтобы отправить ее на контрольный анализ РНК, он подтвердил свою убежденность в том, что Марк ВИЧ-инфицирован, и предложил Марку пройти на месте быстрый иммуноферментный анализ, чтобы убедиться в этом. Следующие 20 минут ожидания, пока будут готовы результаты теста, были самыми длинными в жизни Марка. Он думал о том, что делать дальше, какой будет его жизнь с ВИЧ. Конечно, ВИЧ уже не был однозначным смертным приговором, как прежде, но Марк знал, что этот диагноз заставит его пересмотреть и переосмыслить многие аспекты своей жизни – и не в последнюю очередь то, как он заразился.

Мучительное ожидание закончилось – и красная линия в окне результатов теста так не появилась. Лучик надежды просиял сквозь облака, немного успокоив мятущийся разум Марка. Тест был отрицательным. Две недели спустя Марк получил результаты более точного теста РНК – также отрицательные. Следующий иммуноферментный анализ окончательно развеял тучи: его врач наконец убедился, что Марк не заражен ВИЧ-инфекцией.

По правде говоря, результаты первых анализов Марка – иммуноферментного ИФА и вестерн-блота – были неоднозначными. Его тест на ИФА показал повышенный уровень антител, что служит признаком положительного результата. Однако в то время анализ ИФА давал около 0,3 % ложноположительных результатов [78]. Вестерн-блот – более точный анализ, предназначенный для выявления таких ложноположительных результатов, – вернулся с результатами, указывающими на лабораторную ошибку. Однако врач Марка, никогда прежде с такими ошибками не встречавшийся, неверно истолковал результаты. Его диагноз, возможно, был предвзятым, поскольку врач знал, что Марк был геем, что относило его в категорию высокого риска. В свою очередь, Марк, ослепленный иллюзией уверенности, безоговорочно доверял суждениям врача и точности анализов.

Два анализа лучше, чем один

Многие плохо понимают концепцию достоверности бинарных тестов. Если отталкиваться от тех, у кого нет искомого заболевания (это, как правило, подавляющее большинство населения), достоверность теста можно определить как долю тех, кто обоснованно попал в категорию здоровых, получив истинно отрицательный результат. Чем выше доля истинно отрицательных (и, следовательно, чем ниже процент ложноположительных результатов), тем достовернее тест. Такая доля истинно отрицательных называется специфичностью теста. Если тест специфичен на 100 %, то положительный результат получат только те, у кого действительно есть заболевание, – ложноположительных результатов не будет.

Но даже абсолютно специфичные тесты не гарантируют выявление всех, у кого есть болезнь. Конечно, достоверность тестов можно рассматривать как раз относительно таких людей. Будь вы на их месте, разве не были бы уверены в том, что главный показатель точности обследования – надежное выявление вашей болезни с первого раза? Так что, возможно, достоверность теста можно было бы определять, исходя из пропорции истинно положительных результатов – доли верно определенных носителей болезни. Такая пропорция известна как чувствительность теста. Тест со 100 % чувствительностью правильно предупредил бы всех пострадавших об их состоянии.

Точность же теста определяется как отношение количества истинно положительных результатов к общему количеству положительных результатов – как истинных, так и ложных. Низкая точность скрининга рака груди – всего 3,48 % истинно положительных результатов из всех положительных – удивила нас ранее в этой главе. Термином же «достоверность» обычно обозначают результат деления общего количества истинно положительных и истинно отрицательных результатов на общее количество тестируемых. Это логично, поскольку полученный результат показывает, насколько часто тест дает верный ответ, так или иначе.

Действительный уровень ошибок иммуноферментного теста на ВИЧ, который не прошел Марк Стерн, определить сложно. Тем не менее большинство исследований сходятся на том, что его специфичность составляет около 99,7 %, а чувствительность приближается к 100 %. Отрицательный результат теста означает, что реципиент почти наверняка не заражен ВИЧ, но в среднем 3 человека из каждых 1000 здоровых получат ложноположительный диагноз. В Великобритании распространенность ВИЧ составляет всего 0,16 %. Таким образом, из 1 000 000 случайно выбранных граждан Великобритании (рис. 7), в среднем 1600 будут ВИЧ-положительными, а 998 400 – нет. Из 998 400 ВИЧ-отрицательных пациентов, проходящих тест ИФА, даже со специфичностью 99,7 %, 2995 получат неверные положительные диагнозы. Этих ложноположительных результатов почти в два раза больше, чем 1600 истинно положительных. Как и в случае со скринингом рака молочной железы, поскольку распространенность ВИЧ низкая, а анализу ИФА до специфичности в 100 % не хватает совсем немного, точность теста будет довольно высокой – разделив количество тех, кто был верно определен как положительный, на количество всех, определенных как положительные, мы получим чуть более одной трети. Достоверность теста, однако, чрезвычайно высока. Он дает 997 005 правильных результатов (положительных или отрицательных) для каждого 1 000 000 протестированных людей – достоверность более 99,7 %. Даже очень достоверные тесты могут быть пугающе неточными.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 7. Из 1 000 000 граждан Великобритании, проходящих тест ИФА, 1600 будут правильно определены как ВИЧ-положительные, а 2995 – как ВИЧ-положительные, несмотря на то что у них нет этого заболевания


Один из простых способов снизить погрешность теста – просто провести второй тест. Поэтому первый тест на многие заболевания (как мы видели на примере обследования для выявление рака груди) – это скрининг с низкой специфичностью. Он предназначен для того, чтобы при минимальных затратах выявить как можно больше потенциальных случаев, пропуская при этом как можно меньше. Второй тест, как правило, является диагностическим и будет иметь гораздо более высокую специфичность, что исключит большинство ложноположительных результатов. Даже если тест с более высокой специфичностью недоступен, повтор одного и того же теста на всех пациентах с положительными результатами может значительно снизить погрешность. В случае с тестом ИФА первая попытка эффективно повышает распространенность ВИЧ-инфекции среди тех, кто был протестирован повторно, с 0,16 % до примерно 34,8 % – такова точность первого теста. При повторном тесте, как показано на древе принятия решений на рис. 8, большинство исходных ложноположительных результатов опровергаются благодаря низкой точности теста, в то время как истинные ВИЧ-положительные люди опять верно идентифицируются как таковые. Погрешность снижается до 1600/1609, что составляет примерно 0,6 %.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 8. Из 4595 положительных результатов на первом тесте 1600 истинных положительных результатов все равно будут идентифицированы как таковые, но количество ложных срабатываний сократится до 9

Тест, обладающий абсолютной чувствительностью и абсолютной специфичностью – то есть такой, который идентифицирует всех людей, у которых есть болезнь, и только их, – теоретически возможен. Такой тест может быть действительно признан 100 % точным.

Более того, известны и примеры таких тестов. В декабре 2016 года международная команда исследователей разработала анализ крови на болезнь Крейтцфельдта – Якоба [79]. При контрольном испытании анализ верно выявил фатальное дегенеративное расстройство мозга (вызванное, как считается, употреблением в пищу говядины, полученной от животных, инфицированных коровьим бешенством) у всех 32 пациентов, которые имели эту болезнь (абсолютная чувствительность), без ложноположительных результатов (абсолютная специфичность) из 391 пациента контрольной группы.

Жертвовать чувствительностью ради специфичности (и наоборот) не обязательно, но на практике обычно происходит именно так. Ложноположительные и ложноотрицательные результаты обычно имеют отрицательную корреляцию: чем меньше ложноположительных результатов, тем больше ложноотрицательных, и наоборот. На практике эффективные тесты находят пороговый уровень, при котором можно провести грань между полной специфичностью и полной чувствительностью; баланс устанавливается между двумя крайними точками, как можно ближе к обеим.

Практическая необходимость такого компромисса объясняется тем, что обследования обычно направлены на поиск признаков и последствий болезни, а не на поиск самой болезни. Тест, который ошибочно определил, что Марк Стерн ВИЧ-инфицирован, не проверяет на наличие вируса ВИЧ. Скорее, он выявляет антитела, которые вырабатываются иммунной системой организма в попытке бороться с вирусом. Однако высокая концентрация антител, потенциально связанных с ВИЧ-инфекцией, может быть вызвана чем-то безобидным – той же прививкой против гриппа. Аналогичным образом большинство тестов на беременность в домашних условиях не выявляют наличие жизнеспособного эмбриона, растущего в утробе матери. Обычно эти тесты выявляют повышенный уровень гормона HCG, вырабатываемого после имплантации эмбриона. Такие косвенные индикаторы часто называют суррогатными маркерами. Тесты в ряде случаев дают неверный результат, так как положительную реакцию могут спровоцировать маркеры, подобные суррогатным.

Так, диагностические обследования на болезнь Крейтцфельдта – Якоба, как правило, основаны на сканировании мозга и биопсии, измеряющих потенциальное воздействие на мозг дефектных белков, которые являются основной причиной заболевания. К сожалению, характеристики, оцениваемые этими тестами, схожи с характеристиками у людей, страдающих слабоумием, что затрудняет диагностику. Вместо того чтобы искать слегка отличающиеся симптомы, которые можно было бы перепутать с симптомами других заболеваний, новый анализ крови на болезнь Крейтцфельдта – Якоба выявляет инфекционные белки, которые всегда вызывают заболевание. Вот почему тест может быть настолько убедительным: если найдены дефектные белки, то у этого человека есть болезнь, если нет, то он здоров. При тестировании на первопричину заболевания, а не на косвенный симптом, все оказывается проще простого.

Другая распространенная причина провала косвенных тестов возникает тогда, когда сам суррогатный маркер вызван не тем явлением, которое мы надеялись обнаружить. Анне Ховард было всего 20 лет, когда однажды утром в июне 2016 года она проснулась, чувствуя недомогание. Несмотря на то, что она и вот уже девять месяцев ее парень Колин не пытались завести ребенка, на всякий случай она решила сделать тест на беременность. С удивлением она смотрела, как на тесте, словно по волшебству, медленно проявляется вторая полоска. Этого никто из них не планировал, но, убедив себя в том, что из них выйдут хорошие родители, Колин и Анна решили оставить малыша и даже начали выбирать имя.

Через восемь недель после начала беременности у Анны началось кровотечение. Лечащий врач направил ее в больницу на УЗИ, чтобы убедиться, что с ребенком все в порядке. После УЗИ врачи сообщили Анне, что у нее выкидыш. Они сказали ей вернуться на следующий день для дальнейших подтверждающих анализов. На следующий день, однако, гормональный тест, не сильно отличающийся от домашнего теста на беременность, показал, что уровень HCG, «гормона беременности», все еще достаточно высок, чтобы показать жизнеспособность беременности. На этом основании врачи сообщили Анне, что диагностированный выкидыш – ложная тревога.

Неделю спустя у Анны снова началось кровотечение, уже с острой болью, поэтому она вернулась в больницу. На этот раз, опасаясь внематочной беременности, врачи провели обследование репродуктивного тракта Анны с помощью оптоволоконной камеры. К счастью, они не обнаружили никаких признаков того, что плод расположился не в том месте, но то, что росло в утробе Анны, не было плодом. Вместо здорового ребенка у Анны в матке росло гестационное трофобластическое новообразование – раковая опухоль. Опухоль увеличивалась примерно с той же скоростью, что и плод, и вырабатывала гормон HCG, служащий косвенным индикатором беременности, обманывая тесты, Анну и медиков, которые считали, что опасный для жизни рак – это нормальный здоровый ребенок.

Несмотря на то что такие опухоли, как у Анны, встречаются редко, другие виды опухолей также способны обмануть тесты на беременность и дать ложноположительный результат, производя суррогатный индикатор HCG. Так, по данным Доверительного фонда по борьбе с раком у подростков [80], тесты на беременность используются для диагностики рака яичек, по крайней мере в течение последнего десятилетия. На деле при таких тестах обнаружить опухоль яичек удается лишь изредка. Однако сам факт, что любой положительный результат теста на беременность в этом случае будет заведомо ложноположительным, свидетельствует в пользу того, что повышенный уровень гормона HCG вызван ростом опухоли.

Тесты на беременность изначально могут неверно срабатывать (что в некоторых случаях весьма полезно). Однако уровень гормона HCG в моче может быть настолько низким, что эти тесты способны давать и ложноотрицательные результаты. Ложноотрицательные результаты тестов на беременность хотя и менее распространены, чем ложноположительные, могут иметь значительные негативные последствия для будущих матерей. В одном случае хирургическое вмешательство, на которое женщина никогда не согласилась бы, зная о беременности, закончилось выкидышем [81]. У другой женщины анализ мочи не показал внематочную беременность, что привело к разрыву фаллопиевой трубы и опасной для жизни потери крови [82].

В большинстве случаев, как только беременность надежно идентифицирована (в Великобритании, как правило, на 12-й неделе), мы отказываемся от косвенных гормональных маркеров в пользу ультразвукового сканирования, которое непосредственно демонстрирует наличие развивающегося плода в утробе матери. Однако цель УЗИ редко заключается в установлении беременности – скорее, в проверке нормального развития плода. Одно из исследований, которое проводится на этом этапе, – УЗИ воротниковой зоны. Оно предназначено для выявления сердечно-сосудистых нарушений у развивающегося плода, которые обычно связаны с хромосомными нарушениями, такими как синдром Патау, синдром Эдвардса и синдром Дауна. У большинства людей ДНК состоит из 23 пронумерованных пар хромосом. В случае тех трех нарушений, выявить которые призвано УЗИ воротниковой зоны, одна из пар имеет дополнительную хромосому, что делает из пары трио. Это явление называется трисомия.

УЗИ воротниковой зоны значительно сложнее бинарного теста. Оно не предсказывает абсолютно, есть ли у нерожденного ребенка синдром Дауна. Скорее, оно дает будущим родителям оценку риска развития заболевания. Тем не менее по результатам УЗИ беременности четко делятся на группы высокого и низкого риска, и родителям при передаче результатов теста сообщают, в какую категорию попадает эмбрион. Если нерожденный ребенок попадает в категорию низкого риска (вероятность развития синдрома Дауна ниже 1 к 150), то дальнейшее тестирование не предлагается, но если он попадает в категорию высокого риска, то часто предлагается более точный амниоцентез. Жидкость, содержащая клетки кожи плода, с помощью иглы забирается из околоплодного мешка. Прокол матки и околоплодного мешка сопряжен с риском: в 5–10 случаях на 1000 беременностей, проверяемых с помощью амниоцентеза, впоследствии происходит выкидыш. Однако повышенная специфичность теста делает риск амниоцентеза приемлемым для многих будущих родителей. Тест может быть более точным, чем УЗИ, так как он однозначно обнаруживает лишнюю хромосому в ДНК ребенка (извлеченную из клеток кожи плода), а не косвенный маркер. Он обнуляет ложноположительные результаты первого теста и предоставляет родителям с истинно положительными время для принятия обоснованного решения, сохранять ли беременность. Через сито этого теста проскальзывают ложноотрицательные результаты – родителям сообщают, что их будущий ребенок относится к категории с низким риском развития синдрома Дауна и не предлагают дальнейшее тестирование.

Флора Уотсон и Энди Баррелл столкнулись именно с этим. Еще в 2002 году, проведя в панике четыре недели своей второй беременности, Флора решила оплатить сравнительно новое исследование воротниковой зоны, назначенное в частном порядке на десятой неделе беременности. После УЗИ Флоре сообщили, что у нее крайне низкие шансы родить ребенка с синдромом Дауна. Фактически вероятность рождения ребенка с синдромом Дауна сравнили с вероятностью выиграть в лотерею – около 1 к 14 миллионам. Это обнадеживало куда больше, чем большинство родителей могло бы ожидать от подобных тестов. Флора была довольна тем, что ей не нужно проходить потенциально рискованную процедуру амниоцентеза, чтобы подтвердить то, что уже показало УЗИ воротниковой зоны. Теперь она могла счастливо сосредоточиться на подготовке к рождению своего второго ребенка.

Однако за пять недель до ожидаемой даты родов Флора заметила, что что-то не так. Ее нерожденный ребенок двигался все меньше и меньше. Три недели спустя она была в больнице, рожая Кристофера. Роды прошли быстро, и всего через полчаса после ее прибытия в больницу, Кристофер появился на свет – но он был весь скорченный, лилового цвета. В первый момент Флора подумала, что он мертв. Медсестры заверили ее и Энди, что Кристофер вполне живой, но следующая новость изменила будущее их семьи.

У Кристофера был синдром Дауна. Услышав об этом, Энди бросился вон из палаты, а Флора разрыдалась. Долгожданный праздник превратился едва ли не в поминки по потерянному «здоровому ребенку». Флора вспоминала, что следующие сутки она «просто не могла прикоснуться к нему или видеть его рядом с собой». Поэтому в первую ночь своей жизни Кристофер остался один, на попечении медсестер роддома. Когда остальные члены семьи приехали на встречу с новорожденным, все стало еще хуже. Отец Энди, которому уже приходилось растить ребенка с задержкой в развитии, уговаривал их оставить Кристофера в больнице. Мать Флоры даже не посмотрела на него.

Жизнь, которая ждала Флору и Энди, когда они привезли Кристофера домой, сильно отличалась от той, которую они предвкушали все прежние месяцы, положившись на результаты УЗИ воротниковой зоны. В итоге вся семья примирилась с состоянием Кристофера, но тяготы, связанные с уходом за ребенком-инвалидом, в конце концов сказались. Постоянный дефицит времени и усталость подточили их отношения, и Флора и Энди расстались. Флора уверена, что она не прервала бы беременность, если бы знала о синдроме Дауна у Кристофера заранее. Однако она все еще злится, что у нее не было времени, чтобы приспособиться и подготовиться к состоянию своего сына – подобные жалобы мы вновь услышим в шестой главе, обсуждая опасности автоматической алгоритмической диагностики. Возможно, рождение Кристофера и не привело бы к распаду семьи, если бы не ложноотрицательный результат теста.

Нравится нам это или нет, но ложноположительные и ложноотрицательные результаты неизбежны. Математика и современные технологии могут помочь решить некоторые из этих проблем, предоставляя нам самые современные методы вроде той же фильтрации сигналов, но другие проблемы мы должны научиться решать сами. Нам необходимо помнить, что профилактические скрининги – не диагностические обследования, и к их результатам надо относиться с известной долей сомнения. Это не значит, что мы должны полностью игнорировать положительный результат скрининга, но не стоит паниковать, не дождавшись результатов более точных анализов. То же самое относится и к индивидуальным генетическим тестам. Разные компании могут относить нас к разным категориям риска, и все они могут ошибаться. Опыт Мэтта Фендера, столкнувшегося с потенциально опасным для жизни диагнозом болезни Альцгеймера, подсказывает, что второй тест может дать более точный ответ.

Для некоторых тестов более точная версия недоступна. В таких случаях следует помнить, что даже повтор одного и того же теста может значительно повысить точность его результатов. Не стоит бояться запросить заключение у другого специалиста. Даже доктора, которые считаются признанными экспертами, не всегда досконально разбираются в тонкостях математики, несмотря на ауру уверенности, которой они окружены. Прежде чем начать паниковать по поводу результатов единственного теста, выясните его чувствительность и специфичность, а также подсчитайте вероятность погрешности. Оспорьте мнимую достоверность и верните себе право на интерпретацию. Как мы увидим в следующей главе, настойчивые сомнения в правоте авторитетных фигур, особенно тех, кто эксплуатирует законы математики, многим позволяли остаться на верной стороне закона – правда, некоторых при этом доводили до тюрьмы.

Глава 3

Математические законы: расследование роли математики в юриспруденции

Салли Кларк зашла в спальню своего коттеджа, где несколько минут назад ее муж Стив оставил спящим их малыша Гарри, которому едва стукнуло восемь недель. Она закричала. Бездыханный Гарри обмяк в своем детском кресле-качалке, его лицо посинело. Несмотря на попытки реанимировать ребенка, ни ее мужу, ни бригаде скорой помощи это не удалось. Через час с небольшим врачи констатировали смерть. Ужасная трагедия для любой матери первенца. Но Салли Кларк она постигла уже во второй раз.

Чуть более года назад Стив вышел из их дома в утопающем в зелени манчестерском пригороде Уилмслоу – его ожидал корпоративный рождественский ужин. В тот вечер Салли сама уложила их 11-недельного сына Кристофера спать в кроватку-корзинку. Примерно через два часа, обнаружив посеревшего Кристофера без сознания, она вызвала скорую помощь. Несмотря на все усилия врачей, Кристофер так и не проснулся. Вскрытие, проведенное тремя днями позже, объяснило его смерть инфекцией нижних дыхательных путей.

Однако после смерти Гарри результаты вскрытия Кристофера были пересмотрены. Порез губы и синяки на ногах, первоначально списанные на результаты отчаянной реанимации, получили более зловещее толкование. При повторном анализе сохраненных образцов тканей Кристофера патологоанатом, приняв во внимание следы предсмертного легочного кровотечения, пропущенные при первом обследовании, предположил, что причиной смерти было удушение.

Вскрытие Гарри показало следы кровоизлияния в сетчатку, повреждения позвоночника и разрывы в тканях головного мозга – ключевые признаки того, что Гарри могли затрясти до смерти. Сличив результаты двух вскрытий, полиция сочла, что у них достаточно оснований для ареста Салли и Стива Кларк. Королевская уголовная прокуратура решила не предъявлять обвинения Стиву (поскольку на момент смерти Кристофера его не было на месте преступления), но Салли обвинили в убийстве обоих ее сыновей. В последовавшем за этим судебном процессе была допущена не одна, а четыре математические ошибки – в результате произошло то, что часто называют крупнейшей судебной ошибкой Британии. Рассказывая историю Салли, мы обсудим порой трагические, но уже ставшие тривиальными судебные ошибки, которые возникают вследствие ошибок математических. По ходу дела мы познакомимся с участниками подобных драм: преступником, чей обвинительный приговор был отменен на основании математической формальности; судьей, чье слабое знание математики могло поспособствовать освобождению Аманды Нокс, печально известной американской студентки, обвиненной в убийстве. Но для начала давайте разберем дело французского офицера, сосланного на каторгу за преступление, которого он не совершал.

Дело Дрейфуса

Математика в зале суда имеет долгую и не самую славную историю. Первое примечательное злоупотребление математикой произошло в связи с политическим скандалом, который разделил Французскую Республику на два лагеря и прогремел по всему миру как «дело Дрейфуса». В 1894 году французская уборщица – она же сотрудник контрразведки, работавшая под прикрытием в немецком посольстве в Париже, – нашла выброшенную записку. Ее автор предлагал немцам купить французские военные секреты по сходной цене. Находка спровоцировала лихорадочный поиск «крота» среди высшего офицерства французской армии. Французская «охота на ведьм» окончилась арестом артиллерийского офицера, эльзасского еврея, капитана Альфреда Дрейфуса.

В процессе военного трибунала, отмахнувшись от вердикта эксперта-почерковеда [83], усомнившегося в виновности Дрейфуса, французские власти обратились к главе парижского «Бюро по установлению личности» Альфонсу Бертильону [84], который никогда не был специалистом по почерковедению. Бертильон в довольно невнятном заключении путано утверждал, что Дрейфус намеренно исказил свой почерк, дабы создать ложное впечатление, что кто-то попытался подделать записку. В доказательство Бертильон представил замысловатый математический анализ, основанный на ряде сходств отдельных штрихов пера в повторяющихся многосложных словах в записке. Он утверждал, что вероятность сходства между штрихами в начале или в конце любой пары повторяющихся слов составляет 1/5. Далее он подсчитал, что вероятность четырех совпадений, обнаруженных им среди двадцати шести начал и окончаний тринадцати повторяющихся многосложных слов, составляла 1/5 в кубе, что давало ничтожное соотношение 16 к 10 000, и сделал вывод, что случайное появление таких сходств было крайне маловероятным. Бертильон предположил, что это сходство «вероятнее всего, стало результатом тщательных и целенаправленных действий, что выдает преднамеренность – возможно, шифр»[85]. Его аргументации было достаточно, чтобы убедить или, по крайней мере, озадачить семь присяжных. Дрейфус был осужден и приговорен к пожизненному заключению в одиночной камере в пустынной исправительной колонии на острове Дьявола, в нескольких милях от побережья Французской Гвианы.

Математические выкладки Бертильона были настолько туманны, что ни команда защиты Дрейфуса, ни присутствующий в суде правительственный комиссар не поняли ни одного из его аргументов. Скорее всего, судьи пребывали в таком же замешательстве, но псевдоматематическая риторика настолько их запугала, что они не решились ничего возразить. Лишь Анри Пуанкаре, один из самых выдающихся математиков XIX века (с ним мы снова встретимся в шестой главе, когда столкнемся с его «задачей на миллион долларов»), удалось разобраться в хитросплетениях бертильоновских формул. Через десять с лишним лет после того, как Дрейфусу был вынесен приговор, Пуанкаре привлекли к делу, и он быстро обнаружил ошибку в расчетах Бертильона. Вместо того чтобы вычислить вероятность четырех совпадений в списке из 26 начал и окончаний в тринадцати повторяющихся словах, Бертильон вычислил вероятность четырех совпадений в четырех словах, что, естественно, гораздо менее вероятно.

По аналогии представьте себе проверку результатов стрельбы по ростовым мишеням в тире. Следы десяти попаданий в голову или грудь мишени могут «подсказать», что огонь вел меткий стрелок. Однако те же десять попаданий по результатам серии в сто или – тем более – тысячу выстрелов производят уже совсем иное впечатление. То же самое было и с анализом Бертильона. Четыре совпадения из четырех вариантов действительно очень маловероятны, но в случае корректной выборки из 26 начал и концов слов, которые анализировал Бертильон, общее количество разных комбинаций составит уже 14 950 вариантов. Реальная вероятность тех четырех совпадений, которые выделил Бертильон, составляет примерно 18 к 100, что в 100 с лишним раз больше числа, которое он предъявил суду. Учитывая, что Бертильон с таким же успехом нашел бы пять, шесть, семь и более совпадений, пересчитанная вероятность нахождения четырех и более совпадений составит примерно восемь к десяти. Выходит, что найти совпадения, число которых Бертильон посчитал «необычным», можно с гораздо большей вероятностью, чем не найти их. Продемонстрировав ошибочность вычислений Бертильона и утверждая, что даже попытка применить теорию вероятности к такому вопросу была неправомерной, Пуанкаре смог опровергнуть некорректные результаты почерковедческого анализа и тем самым оправдать Дрейфуса [86]. После четырех лет невыносимых страданий на острове Дьявола и еще семи лет жизни в позоре во Франции Дрейфус наконец был освобожден в 1906 году и повышен в звании до майора французской армии. Его честь была восстановлена, и он продолжил благородную службу своей стране на полях Первой мировой войны, отличившись на передовой в Вердене.

Дело Дрейфуса демонстрирует как силу математически подкрепленных аргументов, так и легкость, с которой ими можно злоупотреблять. Мы вернемся к этой теме несколько раз в следующих главах: люди склонны принимать математические формулировки на веру, с умным видом соглашаясь с ними и не требуя дальнейших объяснений из почтения к их мудрому автору. Флер тайны, окружающий многие математические выкладки, делает их порой загадочно непонятными и – зачастую незаслуженно – невероятно убедительными. Их очень редко пытаются оспорить. Математическая формула создает иллюзию достоверности (мы сталкивались с этим явлением в предыдущей главе, обсуждая причины, по которым люди принимают результаты медицинских тестов безоговорочно), обезоруживающую потенциальных скептиков. Но мы так и не извлекли уроков ни из дела Дрейфуса, ни и из многих других математических ошибок правосудия, накопившихся на протяжении всей истории. И в этом состоит трагедия – в результате невинные жертвы вновь и вновь попадают в тот же порочный круг.

Виновен, пока не доказано обратное?

Так же, как и в случае с медицинскими тестами, который мы рассматривали в прошлой главе, закон часто заставляет выбирать одно из двух: прав человек или нет; истина это или ложь; виновен подозреваемый или не виновен. Суды многих западных демократий придерживаются принципа презумпции невиновности – бремя доказывания должно лежать на обвинителе, а не на обвиняемом. От презумпции виновности отказались почти все страны, поскольку эта практика неизбежно производит больше ложноположительных и меньше ложноотрицательных результатов. Однако и сегодня в некоторых странах юридические практики склоняются скорее к презумпции виновности, чем невиновности. В японской системе уголовного правосудия, например, доля обвинительных приговоров составляет 99,9 %, причем большинство из них подтверждаются признанием вины [87]. Для сравнения: в 2017–2018 годах в уголовном суде Великобритании доля обвинительных приговоров составляла 80 %. Высокая доля обвинительных приговоров в Японии впечатляет – как и эффективность полиции, ведь арестованный оказывается виновным в 999 с лишним случаях из 1000. Но насколько это вероятно?

Такой высокий процент обвинительных приговоров частично объясняется жесткими методами допроса, которые практикуют японские следователи. Им разрешено задерживать подозреваемых на срок до трех дней без предъявления обвинения, они могут допрашивать подозреваемых в отсутствие адвоката и не обязаны записывать допросы. Такое в порядке вещей. Эти жесткие методы обусловлены спецификой японской правовой системы, в которой установление мотива через признание вины служит одной из важнейших предпосылок вынесения обвинительного приговора. Ситуацию усугубляет давление, которое начальство оказывает на следователей, требуя от них сначала получить признательные показания, а улики и прочие доказательства расследования – уже потом. Задача дознавателя облегчается тем, что многие подозреваемые-японцы, похоже, готовы давать признательные показания, чтобы избежать позора, который навлечет на их близких громкое судебное разбирательство. О том, насколько широко распространена в японской системе правосудия практика самооговоров, свидетельствуют недавний пример ареста по подозрению в злонамеренных интернет-угрозах четверых невиновных. Прежде чем в своих злодеяниях сознался подлинный преступник, двоих из подозреваемых вынудили свидетельствовать против себя.

Но Япония в своей приверженности к репрессивно-обвинительным практикам правосудия остается заметным исключением. В большинстве стран мира принцип презумпции невиновности укоренился настолько, что он зафиксирован во Всеобщей декларации прав человека Организации Объединенных Наций в качестве одной из международных правовых норм. Английский судья и политик XVIII века Уильям Блэкстоун даже дошел до количественной оценки этого принципа, заявив: «Лучше десять виновных избегнут наказания, чем пострадает один невиновный». Такая точка зрения ставит нас на сторону ложноотрицательных результатов, и мы готовы оправдать по суду тех, кто вполне мог совершить преступление, но чья вина не доказана. И даже если свидетельства вины есть, если они не могут в полной мере (на юридическом языке – «до отсутствия обоснованных сомнений») убедить присяжных или судей в виновности подсудимого, тот часто покидает зал суда безнаказанным. В шотландских судах существует третий тип приговора, снижающий долю ложноотрицательных вердиктов – хотя бы номинально. Когда судья или присяжные недостаточно убеждены в невиновности обвиняемого, чтобы объявить его невиновным, они оправдывают его «за недоказанностью обвинения». И этот формально оправдательный приговор нельзя назвать некорректным.

73 миллиона к одному

Во время суда над Салли Кларк противоречивые доказательства мешали присяжным принять однозначное решение. Салли твердила, что она не убивала своих детей. Патологоанатом Министерства внутренних дел и свидетель-эксперт обвинения, доктор Алан Уильямс, утверждал обратное. Медицинская экспертиза, которую он представил, была запутанной и слишком сложной для присяжных. Во время подготовки к судебному процессу независимые эксперты легко дискредитировали разрывы в тканях мозга, повреждения позвоночника и кровоизлияния в сетчатку, которые Уильямс первоначально «обнаружил» при вскрытии Гарри. В результате обвинение изменило позицию и попыталось убедить присяжных в том, что Гарри задушили, а не затрясли до смерти, как утверждалось первоначально. Даже Уильямс передумал. Экспертно-медицинские заключения были исключительно туманны и неоднозначны.

Ожесточенная борьба между защитой и обвинением вокруг косвенных улик, связанных с этими двумя смертями, запутала ситуацию еще сильнее. Обвинение изображало Салли тщеславной и эгоистичной карьеристкой, раздраженной тем, как изменились ее образ жизни и ее тело после рождения детей. Женщиной, которая так отчаянно стремилась вернуться к своей прежней, бездетной жизни, что убила своих малышей. Почему же тогда, возражала защита, она так быстро родила второго ребенка? И почему она вновь забеременела и родила третьего, пока шла подготовка к суду? Защита утверждала, что Салли была явно опечалена смертью своего первого сына. Сторона обвинения пыталась использовать аргумент в свою пользу, намекая, что в таком демонстративном горе было что-то подозрительное. Врач, впервые увидевший Кристофера, когда тот приехал в больницу, возразил, что в отчаянии Салли не было ничего необычного – это естественная реакция на потерю первенца. Стороны перебрасывались аргументами, как воланчиком в бадминтоне, и у присяжных голова шла кругом.

Среди этой путаницы в дело вступил свидетель-эксперт, профессор сэр Рой Мидоу. В то время как патологи спорили о степени «легочного кровотечения» и «субдуральных гематом», Мидоу вел присяжных от подводных скал замешательства к спокойным водам вердикта, на яркий свет маяка статистики. Он оперировал единственным показателем, постулировавшим, что вероятность синдрома внезапной детской смерти (СВДС, который также часто называют смертью в колыбели) у двух подряд детей из обеспеченной семьи составляет 1 на 73 миллиона. Для многих присяжных это оказалась самая важная информация, которую они извлекли из процесса: 73 миллиона было слишком большим числом, чтобы его игнорировать.

В 1989 году под редакцией Мидоу, уже тогда известного британского педиатра, вышла книга «Азбука жестокого обращения с детьми». В ней был постулат, который позже назвали «законом Мидоу»: «Одна внезапная детская смерть – трагедия, две – уже повод для подозрений, а три – убийство, пока не будет доказано обратное»[88]. Однако эта бойкая сентенция основана на фундаментальном непонимании природы вероятности. С помощью такого же ложного представления о вероятности – разнице между зависимыми и независимыми событиями – Мидоу ввел в заблуждение и присяжных в случае с Салли Кларк.

Ошибка независимости

Два события считаются зависимыми, если знание о том, что произошло одно из них, влияет на вероятность происхождения другого. В противном случае они независимы. Для расчета вероятности того, что произойдет комбинация нескольких событий, обычно перемножают вероятности происхождения каждого из них. Так, шанс, что случайно выбранный из населения человек является женщиной, составляет ½. Как показано в табл. 3, из 1000 человек в среднем 500 будут женщинами. Вероятность того, что у случайно выбранного человека из числа всего населения коэффициент IQ будет больше 110 баллов, составляет ¼ (таким образом, из 1000 человек такой результат покажут 250 – см. таблицу 3). Чтобы выяснить вероятность того, что произвольно выбранная женщина обладает IQ выше 110, мы перемножаем вероятности ½ и ¼, что дает вероятность 1/8 (и соответствует количеству 125 (1000/8) человек в подгруппе женщин с высоким IQ в табл. 3). Это прекрасный пример такой методологии, поскольку показатель IQ и половая принадлежность абсолютно независимы: наличие определенного IQ ничего не говорит о вашем поле, а принадлежность к определенному полу ничего не говорит о вашем IQ.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 3. Распределение 1000 человек по показателю IQ и половой принадлежности


Распространенность аутизма в Великобритании составляет примерно 1 на 100[89], или, соответственно, 10 на 1000. Действуя по описанной выше логике, можно предположить, что для определения вероятности того, что произвольно взятая женщина будет страдать аутизмом, надо просто перемножить две вероятности (1/2 и 1/100), что в итоге даст 1/200, то есть распространенность составит 5 случаев на 1000 человек. Однако аутизм и пол не являются независимыми вероятностями. При анализе 1000 случайно выбранных людей в популяции, как показано в табл. 4, мы увидим, что вероятность аутизма у мужчин в четыре раза выше (8 на 500), чем у женщин (2 на 500). Только 1 из 5 человек, страдающих аутизмом, будет женщиной [90]. Нам нужна эта дополнительная информация, чтобы корректно вычислить вероятность того, что случайно выбранный человек в популяции будет и женщиной, и аутистом одновременно. Верное значение этой вероятности составит 2/1000, а не 5/1000, что мы получили бы, ошибочно предположив независимость отдельных вероятностей. Пример демонстрирует, как легко совершить серьезные ошибки, опираясь на неверные предположения о независимости событий.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 4. Распределение 1000 человек по половой принадлежности и наличию аутизма


В своих показаниях Мидоу рассматривал смерти детей Салли Кларк в результате СВДС как отдельные вероятностные события. В вычислениях он опирался на данные тогда еще не опубликованного доклада о синдроме внезапной детской смерти, для которого ему предложили написать предисловие[91]. В докладе на материале английской статистики было изучено 363 случая СВДС, пришедшихся на общее число в 473 родившихся живыми младенцев за трехлетний период. Наряду с общей частотой внезапной детской смертности по всему населению доклад представил распределение данных по возрасту матерей, доходам домохозяйств, а также по тому, курил ли кто-либо из членов семьи. В обеспеченных некурящих семьях с матерью старше 26 лет – таких как семья Кларк – на каждые 8543 живорожденных приходился всего один случай СВДС.

Первой ошибкой Мидоу было предположение, что случаи синдрома внезапной детской смерти являются полностью независимыми событиями. Эта ложная посылка позволила ему при расчете вероятности того, что смерть двух детей в одной семье будет вызвана СВДС, просто перемножить число 8543 на самое себя. В результате он получил, что вероятность такого события составит примерно 1 на каждые 73 миллиона удачных родов. Пытаясь обосновать свои предположения, он даже заявил: «Нет никаких доказательств того, что “смерти в колыбели” происходят в семьях серийно, зато серийному жестокому обращению с детьми доказательств множество». С этой цифрой на руках он предположил, что при уровне рождаемости в Великобритании, составляющем около 700 тысяч человек в год, две подряд «смерти в колыбели» можно было бы ожидать примерно раз в 100 лет.

Его допущение было исключительно некорректным. Известно много факторов повышения риска СВДС. В их число входят курение, преждевременные роды и даже сон в одной постели с родителями. В 2001 году исследователи Манчестерского университета выделили генетические маркеры, связанные с регулированием иммунной системы, которые также повышают риск СВДС[92]. С тех пор обнаружили множество других генетических факторов, также увеличивающих вероятность СВДС[93]. У родных братьев и сестер много общих генов – соответственно, риск развития СВДС у них выше. Если от СВДС умирает один ребенок, то вполне вероятно, что в семье действуют какие-то сопутствующие факторы риска. Следовательно, вероятность второй смерти в такой семье будет выше, чем в среднем по населению. В действительности считается, что в Великобритании ежегодно происходит хотя бы один случай СВДС у второго ребенка.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 9. Древо решений для поиска вероятности выбора черных или белых шариков. Для вычисления вероятности выбора черного или белого шарика при каждой попытке следуйте за соответствующими ветвями древа и умножайте вероятности на каждом шаге. Так, вероятность вытащить черный шарик с первой попытки составляет 1/100. При второй попытке мы выбираем из того же мешка, который мы выбрали при первой попытке. Вероятности каждой комбинации из двух вариантов показаны справа от пунктирной линии


Давайте смоделируем ситуацию, в которой мы сможем вычислить аналог вероятности смерти от СВДС. Возьмем десять мешочков с мраморными шариками. В девяти таких мешочках по десять белых шариков. В десятом же – девять белых и один черный. Эти стартовые условия представлены слева на рис. 9. На первом шаге вы выбираете произвольный мешок, а в нем – произвольный шарик. Поскольку шариков всего 100 и выбор любого из них одинаково возможен, вероятность выбора черного шарика на первом шаге составляет 1 из 100. На втором шаге вы возвращаете шарик обратно в тот же мешочек и вытаскиваете из него же еще один, игнорируя остальные мешочки. Если на первом шаге вы вытянули черный шарик, то вы знаете, что и во второй раз выбираете из набора, в котором этот шарик точно есть. Это значительно повышает вероятность выбора черного шарика – до 1 из 10, а не 1 из 100. В этом сценарии выбор двух черных шариков подряд (с вероятностью 1 к 1000) намного более вероятен, чем при простом перемножении исходной вероятности выбора одного черного шарика на саму себя (что даст вероятность удачного исхода в 1 к 10 000). В случае с вероятностью смерти второго ребенка от СВДС, если первый умер от этого синдрома, математика аналогична – вероятность растет.

При реальном расчете угрозы СВДС факторы риска для каждой семьи не выбираются случайным образом из всего их многообразия; они уже заданы заранее – можно утверждать, что с самого начала вы либо выбираете из мешочка с черным шариком в нем, либо из другого, в котором черного шарика заведомо нет. Эта альтернативная интерпретация проиллюстрирована в виде двух деревьев принятия решений на рис. 10. Если вам достался мешочек с черным шариком в обоих случаях, то вероятность выбора двух черных шариков возрастает до 1 к 100. Таким образом очевидно, что простое перемножение общепопуляционного фактора фонового риска развития СВДС на самого себя при вычислении вероятности развития СВДС для конкретного случая – некорректный прием.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 10. Два альтернативных древа принятия решений, где мешочек, из которого вы выбираете, жестко задан заранее для обеих попыток выбора. Для каждого древа вероятность выпадения каждой из двухвариантных комбинаций выбора показаны справа от пунктирной линии. Очевидно, что если мы выбираем из мешочка, где черного шарика нет, то единственная возможность – это выпадение двух белых шариков

Тенденциозный подход Мидоу, опиравшегося на общий показатель 1 случай смерти от СВДС на 8543 случая живорождения, имел и другие слабые места. Отчет, из которого он выбрал этот показатель, предлагал и другую, гораздо более высокую общепопуляционную оценку риска – 1 к 1303 (этот показатель был рассчитан без разделения данных по социально-экономическим факторам). Мидоу решил не использовать эту альтернативную оценку. Вместо того, сделав особый акцент на условиях жизни семьи Кларк, Мидоу вывел значение, согласно которому вероятность даже одного случая СВДС выглядела гораздо ниже (а поскольку он безосновательно проигнорировал зависимость между серийными смертями от СВДС, повторная смерть от этого синдрома выглядела еще менее вероятной), пренебрегая теми факторами, которые делали его гораздо более вероятным. Так, он проигнорировал тот факт, что оба ребенка Салли были мальчиками и что СВДС у мальчиков развивается почти в два раза чаще, чем у девочек. Учет этого фактора подорвал бы позиции обвинения, показав более высокую вероятность серийной смерти от СВДС. В этом свете шанс, что Салли убила двух своих детей, представляется соразмерно ниже.

Хотя тенденциозный подбор стороной обвинения статистических данных сам по себе мог бы считаться неэтичным или даже заведомо ложным, подобная практика порождает куда более серьезную проблему. Классификация данных в докладе, на который опирался Мидоу, была проведена, чтобы выявить категории населения, наиболее подверженные высоким рискам и более эффективно использовать ограниченные ресурсы системы здравоохранения. Она никогда не предназначалась для того, чтобы делать выводы о риске развития СВДС в каждом конкретном случае – даже в этих группах повышенного риска. Доклад представлял собой самое общее исследование почти полумиллиона родов в Великобритании, а при таком исследовании индивидуальные обстоятельства каждых родов детально изучить невозможно (да и цели такой обычно не ставится). Дело же Салли Кларк, напротив, было чрезвычайно подробным расследованием конкретного случая. Обвинение выбрало только те аспекты биографии Салли и Стива, которые подходили под нарисованную в отчете картину, и, без учета других факторов, решило использовать эту конструкцию для определения степени риска развития СВДС у детей четы Кларк. Однако такой подход основан на ложном допущении о том, что индивидуальные характеристики тождественны характеристикам населения. Это классический пример так называемой экологической ошибки.

Экологическая ошибка

Один из видов экологической ошибки – это поверхностное допущение, что обо всей разнообразной популяции можно судить по одному статистическому параметру. Так, в Великобритании в 2010 году средняя ожидаемая продолжительность жизни женщин составляла 83 года, а мужчин – всего 79 лет. Общая ожидаемая продолжительность жизни населения, таким образом, составила 81 год. Но утверждение, что любая случайно выбранная женщина будет жить дольше, чем любой случайно выбранный мужчина, сделанное на основании того, что средняя ожидаемая продолжительность жизни у женщин выше, чем у мужчин, и будет типичным примером экологической ошибки. Этот тип ошибки имеет собственное (очень подходящее) название – абстрактное обобщение. Другая распространенная экологическая ошибка – утверждение, что «мы все живем дольше», основанное на поверхностной интерпретации данных об увеличении общей продолжительности жизни. Им часто злоупотребляют ленивые журналисты. Говорить, что все будут жить дольше, чем ожидалось прежде, нельзя. Очевидно, что в лучшем случае это наивные предположения.

Однако экологические ошибки могут быть и менее очевидными. Как ни удивительно, при средней продолжительности жизни в 78,8 года большинство британских мужчин проживет дольше, чем при общей продолжительности жизни населения 81 год. На первый взгляд утверждение кажется противоречивым, но на самом деле это связано со спецификой использования статистических методов для обобщения данных. Небольшое, но значимое количество людей, умирающих молодыми, снижает средний возраст смерти (обычно за общую продолжительность жизни принимают сумму возрастов всех людей на момент смерти каждого, деленную на общее число людей). Как ни странно, эти ранние смерти опускают среднее значение продолжительности жизни намного ниже медианного (возраста, который не переживают столько же людей, сколько и переживают его). Медианный возраст смерти мужчин в Великобритании составляет 82 года, то есть до этих лет доживет как минимум половина из них. В данном случае представленная сводная статистика – средняя продолжительность жизни в 78,8 года – является исключительно недостоверной характеристикой мужской половины британцев.

Гауссова кривая, или кривая нормального распределения, с помощью которой можно описывать самые разные обыденные наборы данных – от роста до показателей IQ, – выглядит как гармоничная симметричная кривая, в которой половина данных лежит на одной стороне среднего значения, а половина – на другой. Это означает, что среднее и медианное – среднее значение распределения данных – значение характеристик, которые подчиняются этому распределению, склонны совпадать. Привыкнув к тому, что эту замечательную кривую можно использовать для описания реальных событий и явлений, многие из нас предполагают, что понятие «среднего» является хорошим маркером «середины» набора данных. Столкновение же с распределениями, где среднее значение не совпадает с медианным, может нас ошарашить. Распределение возраста смерти британских мужчин, показанное на рис. 11, явно далеко от симметрии. Поэтому подобные распределения обычно называют «смещенными» или «асимметричными».


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 11. Возрастная зависимость числа смертей в год у мужчин в Великобритании следует искаженному распределению. Средний возраст смерти составляет чуть менее 79 лет, в то время как медианный возраст – 82 года


Как мы видели в предыдущей главе (где познакомились с медианой, обсуждая способы предотвратить ложные срабатывания сигнала тревоги), распределение доходов домохозяйств – это еще один статистический показатель, медианное значение которого сильно отличается от среднестатистического. Распределение доходов домохозяйств в Великобритании, показанное на рис. 4, также асимметрично; та кривая очень напоминает изломанную и зеркально отображенную версию кривой на рис. 11. Большинство домохозяйств Великобритании имеют низкий располагаемый доход, но есть небольшое, но статистически значимое число богатых, которое искажает симметрию распределения. В 2014 году недельные доходы двух третей британцев были ниже «среднего» уровня.

Поначалу еще более удивительным примером кажется старая загадка: «Каков шанс на то, что у следующего человека, которого вы встретите на улице, ног будет больше, чем в среднем у людей?» Ответ: «Почти наверняка». Соль в том, что одноногих или вовсе безногих калек очень немного, но они и обеспечивают некоторое снижение среднего количества ног в пересчете на все население. Так что каждый, у кого две ноги, имеет больше ног, чем все население в среднем. Этот пример показывает, насколько смехотворны попытки оценивать индивидуальные качества, исходя из усредненных показателей по всей популяции.

Очевидно, что использование некорректного усреднения для описания популяции может привести к экологическим ошибкам. Еще один тип экологической ошибки, известный как парадокс Симпсона, возникает, когда мы пытаемся взять среднее значение из двух и более разнородных групп данных. Парадокс Симпсона проявляется в самых разных областях – от оценки состояния экономики [94] до интерпретации социально-демографических электоральных профилей [95] и, что, возможно, наиболее важно, в разработке лекарств [96]. Представьте себе, например, что мы отвечаем за контролируемое испытание нового препарата для снижения давления «Фантастикол». На исследование записалось 2000 добровольцев обоих полов, причем количество мужчин и женщин получилось равным. В целях контроля мы разделили их на две группы по 1000 человек. Пациенты в группе А получат «Фантастикол», а пациенты в группе Б – плацебо. В конце исследования выяснилось, что у 56 % (560 из 1000) человек, получавших препарат, артериальное давление снизилось, а в группе получавших плацебо этот эффект наблюдался только у 35 % (350 из 1000) добровольцев (см. таблицу 5). Похоже, что «Фантастикол» действительно работает.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 5. «Фантастикол», похоже, оказывает в целом более существенный благоприятный эффект, чем плацебо


Для правильной адресации препарата важно знать особенности его воздействия с учетом половой принадлежности пациента. Следовательно, нам нужно понять, как наш препарат действует на мужчин и женщин по отдельности, поэтому мы перераспределяем наши статистические данные соответственно. Эта более подробная разбивка приведена в табл. 6. Анализ результатов оказывается несколько неожиданным. У мужчин из группы Б, принимавших плацебо, артериальное давление понизилось у 25 % (200 из 800 в группе Б), а вот у мужчин из группы А, принимавших «Фантастикол», такой же благотворный эффект наблюдался лишь в 20 % случаев (40 из 200). Среди женщин очевидна та же тенденция: в группе Б давление понизилось в 75 % случаях (150 из 200), а в группе А – только в 65 % случаев (520 из 800). Для обоих полов доля тех, на ком плацебо сказался благотворнее, чем «Фантастикол», оказывается выше. В этом свете новый препарат уже кажется менее эффективным, чем плацебо. Как может быть, что при разбиении данных на группы и их стратификации исследование рассказывает одну историю, а при объединении групп – противоположную, и какая из этих историй правдива?


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 6. При распределении испытуемых по половой принадлежности выясняется, что вне зависимости от пола эффект от приема плацебо выше, чем от приема «Фантастикола»


Отвечает за эту путаницу так называемая смешанная переменная, она же – искажающий фактор. В нашем случае такой переменной величиной является пол. Оказывается, что пол очень важен для результата. В ходе исследования давление у женщин улучшалось по естественным причинам чаще, чем у мужчин. Поскольку разделение по половому признаку в группах было разным (800 женщин и 200 мужчин в группе А и 200 женщин и 800 мужчин в группе Б), на общий результат группы А значительное положительное влияние оказало естественное улучшение давления у женщин, в результате чего «Фантастикол» показался более эффективным, чем плацебо. Несмотря на то что в исследовании принимало участие равное количество мужчин и женщин, неравномерность их распределения по группам привела к тому, что первоначальный высокий результат применения «Фантастикола» в 56 %, взятый по среднему значению в группе А и отраженный в таб. 5, при сопоставлении с результатом его применения с учетом пола (20 % улучшений для мужчин и 65 % для женщин) не подтвердился. Нельзя просто брать и выводить среднеарифметическое из разнородных средних значений[97].


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 7. При равномерном распределении мужчин и женщин по группам пропорции благотворного воздействия различных препаратов на мужчин и женщин остаются теми же, что и в табл. 6


Выведение среднеарифметического из средних значений допустимо только в том случае, если мы уверены, что учли все возможное влияние смешанных переменных. Знай мы заранее, что пол является одной из таких переменных, то мы понимали бы, что результаты необходимо разделять по половой принадлежности, чтобы получить истинную картину эффективности «Фантастикола». Мы могли пойти и другим путем – собрав в группах равное количество мужчин и женщин, как показано в табл. 7. Показатели улучшения для мужчин и женщин, принимающих «Фантастикол» или плацебо, остаются такими же, как и в табл. 6. Однако, когда результаты объединены в табл. 8 и мы смотрим на показатели улучшения для «Фантастикола» (42,5 % улучшения), становится ясно, что препарат не лучше, а хуже, чем плацебо (50 % улучшения). Конечно, в нашем случае на результат могут влиять и другие смешанные переменные, которые мы не учли, – возраст, например, или иные социально-демографические факторы.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 8. Теперь, когда мы учли (и устранили) влияние смешанной переменной в виде пола, очевидно, что «Фантастикол» оказывается менее эффективен, чем плацебо


Экологические ошибки и проблема контроля смешанных переменных серьезно затрудняют задачу тех, кто разрабатывает и проводит клинические испытания (мы видели это во второй главе и еще увидим в четвертой – но по иной причине), но их негативное влияние проявляется и в других областях медицины. В 1960-х и 1970-х годах у детей, матери которых курили во время беременности, наблюдалось любопытное явление. Дети от курящих матерей, рожденные с низким весом, имели значительно меньше шансов умереть в первый год жизни, чем дети, рожденные некурящими матерями. Низкий вес при рождении долгое время ассоциировался с более высокой младенческой смертностью, но было похоже, что курение во время беременности обеспечивает некоторую защиту младенцам, рожденным с низким весом [98]. На самом деле это было совсем не так [99]. Парадокс возник из-за смешанной переменной.

Хотя более низкий вес при рождении и связан с повышенной младенческой смертностью, он не является ее причиной. Как правило, оба этих явления вызваны каким-то иным неблагоприятным состоянием, которое и является смешанной переменной. Как курение, так и другие нездоровые привычки, и неблагоприятные условия жизни могут повлиять на вес ребенка при рождении и привести к росту младенческой смертности, но они делают это в разной степени. Курение родителей приводит к тому, что многие дети, в остальном совершенно здоровые, рождаются с пониженным весом. Другие причины недовеса при рождении, как правило, несут более серьезную угрозу для здоровья ребенка, что приводит к более высоким показателям младенческой смертности в этих случаях. В итоге комбинация того, что у курящих матерей дети с недовесом рождаются гораздо чаще, и того, что смертность у таких детей лишь незначительно выше, приводит к тому, что в первый год жизни эти дети умирают реже, чем те, что родились с низким весом из-за некоторых более опасных для жизни заболеваний.

Экологическая ошибка Мидоу, своевольно зачислившего Кларков в категорию семей, где риск развития СВДС низок, сделала смерть их двух детей в глазах присяжных гораздо более подозрительной, чем она выглядела бы, если бы присяжные исходили из других, более высоких показателей этого риска. Даже отсылка к значению общего уровня СВДС в данном случае была бы экологической ошибкой. Конечно, общепопуляционный показатель менее предвзят, и поэтому использование его в ситуации, когда на карту была поставлена свобода женщины, можно допустить. Но положение усугубило ошибочное допущение, что серийные смерти от СВДС – статистически независимые события.

Ошибка прокурора

Мидоу, однако, продолжал блуждать в лабиринтах статистики. Ему позволили допустить еще более грубую ошибку. Впрочем, огрехи такого рода встречаются в судопроизводстве настолько часто, что заслужили собственное имя – ошибка прокурора. Доводы строятся на допущении, что если подозреваемый действительно невиновен, то появление определенных доказательств или свидетельств против него крайне маловероятно. Из чего прокурор делает заключение – неоправданное – о том, что наличие таких свидетельств или обстоятельств делает вину подозреваемого весьма вероятной.

Для Салли Кларк таким допущением стало утверждение, что вероятность двух детских смертей подряд составляет всего 1 на 73 миллиона. Но этот логический конструкт не принимает во внимание иные возможные альтернативные сценарии, в которых подозреваемая невиновна – например, смерть детей Салли по естественным причинам. В рамках этой логики игнорируется и возможность того, что версия обвинения (двойное убийство младенца в случае Салли), может оказаться столь же – если не более – маловероятной, как и версия невиновности подозреваемого.

Чтобы объяснить проблемы, возникающие вследствие ошибки прокурора, давайте представим, что мы расследуем преступление. Единственное доказательство, которое у нас есть, – это часть регистрационного номера автомобиля, принадлежащего – возможно – преступнику, которого видели уезжающим с места преступления. Для целей нашего расследования примем, что все номера автомобилей состоят из семи цифр в диапазоне от 0 до 9. Каждая из цифр этого диапазона может оказаться на любой позиции в номере автомобиля, что дает всего 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10, то есть 107, или 10 миллионов) таких номерных знаков. Очевидец, сообщивший о номере автомобиля, запомнил первые пять цифр в нем, но не смог разобрать последние две. Зная эти первые пять цифр, мы можем сузить круг поиска, поскольку нам придется выбирать из гораздо меньшего количества автомобилей. Для каждой из этих двух неизвестных цифр существует десять вариантов, что дает всего 100 (10 × 10) возможных номеров с известными первыми пятью цифрами.

Найден подозреваемый, первые пять цифр номерного знака машины которого совпадают с пятью цифрами, которые запомнил свидетель. Если подозреваемый невиновен, то из десяти миллионов автомобилей остаются лишь 99 тех, первые пять цифр номера которых совпадают с нужной нам комбинацией. Таким образом, вероятность, что замеченный свидетелем номерной знак принадлежал невиновному, составляет 99/10 000 000 (чуть меньше ста к десяти миллионам), то есть меньше одного к ста тысячам (1/100 000). Такая низкая вероятность того, что свидетель увидел бы именно этот номерной знак, если подозреваемый невиновен, в подавляющем большинстве случаев свидетельствует о виновности подозреваемого. Однако, приняв этот довод, мы совершаем ошибку прокурора.

Вероятность того, что найденная улика (увиденный набор цифр номера) указывает все же на невиновного человека, не равна вероятности того, что подозреваемый невиновен, несмотря на имеющиеся против него свидетельства (тот самый набор цифр). Напомним, что 99 из 100 автомобилей, которые соответствуют описанию свидетеля, не принадлежат подозреваемому. Подозреваемый – всего лишь 1 из 100 человек, которые ездят на такой машине. Таким образом, вероятность вины подозреваемого, учитывая его номерной знак, составляет всего 1/100, что совсем немного. Разумеется, наличие других улик, связывающих подозреваемого с районом преступления или исключающих другие автомобили из рассмотрения, повысит вероятность его вины. Однако, исходя из одного-единственного доказательства, наиболее вероятный вывод должен состоять в том, что подозреваемый невиновен.

Ошибка прокурора эффективна только тогда, когда шансы на признание невиновности крайне малы, в противном случае некорректная логика легко опровергается. Например, представьте себе расследование кражи со взломом в Лондоне. Группа крови подозреваемого соответствует группе крови преступника, обнаруженной на месте преступления, но других улик не имеется. Такую группу крови имеет лишь 10 % населения. Таким образом, вероятность найти кровь этой группы на месте преступления, если обвиняемый невиновен (то есть преступление совершил кто-то другой с той же группой крови), составляет 10 %. Ошибкой прокурора в данном случае является вывод, что в свете «доказательств крови» вероятность невиновности подозреваемого также составляет лишь 10 % – иными словами, что вероятность вины составляет 90 %. Очевидно, в десятимиллионном Лондоне примерно миллион других людей (10 % от общего числа населения) с той же группой крови, что найдена на месте преступления. Получается, что вероятность вины подозреваемого, определяемая исключительно на основании «кровавых улик», составляет буквально один на миллион. Несмотря на то, что обладатели этой группы крови встречаются достаточно редко (ее имеет лишь каждый десятый), общее количество людей с такой группой крови настолько велико, что улика сама по себе очень мало говорит о виновности или невиновности подозреваемого, чья группа крови совпадает с группой найденной.

В приведенном выше примере ошибка была достаточно очевидной. Определять вероятность невиновности в столь низкую величину в 10 %, руководствуясь исключительно распределением групп крови в большой популяции, абсурдно. Однако в случае с Салли Кларк цифры были достаточно малы, чтобы присяжные, не обученные статистическим хитростям, не заподозрили ошибки. Вполне вероятно, Мидоу и сам не понимал, что совершает ошибку, заявляя, что «…шансы на естественную смерть детей в этих обстоятельствах очень, очень невелики – 1 на 73 миллиона».

Такое заявление могло подтолкнуть несведущих в статистике присяжных примерно к такому выводу: «Смерть двух младенцев от естественных причин чрезвычайно редка; следовательно, вероятность того, что причина смерти двух младенцев в этой семье была неестественной, чрезвычайно высока».

Мидоу усугубил это заблуждение, поместив соотношение «1 к 73 миллионам» в очень яркий, но крайне сомнительный контекст. Он утверждал, что шансы на вторую подряд смерть от СВДС в одной семье равны шансам выиграть четыре раза подряд на скачках Grand National на аутсайдере с коэффициентом 80 к 1. Это сделало шанс на признание невиновности в двух детских смертях очень маловероятным, и присяжным осталось заключить, что Салли, скорее всего, убила двух своих детей.

Смерть двух детей от СВДС подряд крайне маловероятна. Однако само по себе это не дает полезной информации о том, насколько вероятно, что Салли убила своих детей. Более того, трактовка стороны обвинения представляется еще менее вероятной. Двойное убийство младенцев фиксируется от 10 до 100 раз реже, чем две смерти подряд от СВДС[100]. С учетом этих данных вероятность вины Салли составляет всего 1 из 100 даже до рассмотрения любых других смягчающих обстоятельств. Однако присяжным не сообщили данные о том, насколько часто происходят двойные убийства младенцев – так что они не могли сравнивать. Защита Салли даже не попыталась оспорить статистические выкладки Мидоу.

После двухдневного обсуждения 9 ноября 1999 года присяжные признали Салли виновной, осудив ее большинством в 10 голосов против 2. Сообщалось, что один из присяжных признался другу, что на их решение наибольшее влияние оказала статистика Мидоу. Салли была приговорена к пожизненному заключению. После оглашения приговора Салли оглянулась на мужа, а тот едва слышно произнес: «Я люблю тебя». Он был ее главным защитником, он не переставал бороться за нее все время ее заключения, которое она назвала «адом на земле». Когда ее уводили, она оглядела присутственный зал и тихо ответила ему: «Я люблю тебя».

Пресса немедленно устроила пляски на костях. Daily Mail сокрушалась: «Коммивояжерка, движимая выпивкой и отчаянием, убила своих детей», а Daily Telegraph извещала: «Убийца детей была одинокой пьяньчужкой». Публичная репутация Салли была разрушена, но тюремные перспективы дочери полицейского, приговоренной за убийство собственных детей, выглядели просто инфернальными.

Салли провела год в тюрьме, вдали от мужа и новорожденного сына. Ее единственным утешением были письма, которые она получала от незнакомцев, считавших ее невиновной. Стив тоже не верил в виновность жены. После почти 12 месяцев напряженной работы, они наконец были готовы снова предстать перед судьями в апелляционном суде. Главным основанием для апелляции была неточность статистических выкладок. Эксперты-статистики объяснили судьям суть экологической ошибки при определении степени риска развития СВДС в семье Кларков, ошибочность предположения Мидоу о том, что серийные случаи детской смертности являются независимыми явлениями, и, соответственно, некорректность примененной им формулы подсчета вероятности такой смерти в случае Кларков, а также суть ошибки следователя, к которой сторона обвинения подтолкнула присяжных.

Судьи апелляционного суда вроде бы поняли все эти аргументы и приняли их во внимание. В своем заключении они согласились с тем, что статистика Мидоу не точна, но утверждали, что эти выкладки и должны были быть приблизительными. Судьи посчитали, что ошибка прокурора была настолько очевидна, что адвокат Салли должен был на нее указать. Отсутствие же возражений со стороны адвоката судьи восприняли как доказательство, что эта ошибочность очевидна для всех:

«Совершенно очевидно, что заявление “в семьях с двумя младенцами шанс, что оба действительно умрут в результате СВДС, составляет 1 на 73 миллиона” означает не то же самое, что “если в семье умерли два младенца подряд, то шанс, что обе эти смерти являются необъяснимыми и не сопровождались никакими подозрительными обстоятельствами, составляет 1 на 73 миллиона”. Для того чтобы это понять, не требуется лепить на ситуацию ярлык “ошибка прокурора”».

Судьи пришли к выводу, что роль статистических доказательств в судебном разбирательстве была настолько незначительной, что с их помощью никак нельзя было ввести присяжных в заблуждение. Статистика в глазах судей апелляционного суда оказалась вовсе не последним прибежищем в урагане противоречивых медицинских доказательств, а лишь каплей в море, своего рода интермедией – поэтому от всех приведенных аргументов судьи просто отмахнулись. Приговор Салли был оставлен без изменений, и в тот же вечер ее отправили обратно в тюрьму.

Суд над Салли Кларк – вовсе не единственный процесс, в котором вероятность была неправильно использована и неверно понята. В 1990 году жертвой все той же ошибки прокурора стал Эндрю Дин, обвиненный в изнасиловании трех женщин в его родном Манчестере на северо-западе Англии. Он был признан виновным и приговорен к 16 годам тюремного заключения. В ходе судебного разбирательства адвокат обвинения Говард Бентам представил результаты анализа ДНК из спермы, найденной на одной из жертв. Бентам утверждал, что ДНК из образца крови Дина совпадает с ДНК из образца спермы. Когда он спросил свидетеля-эксперта: «Значит, вероятность того, что это какой-то другой человек, а не Эндрю Дин, составляет один на три миллиона?», тот ответил утвердительно. А потом добавил: «Я заключил, что сперма принадлежит Эндрю Дину». Даже судья в своем заключении заявил, что соотношение одного к трем миллионам «выражает почти несомненный факт».

На деле это соотношение следует трактовать как вероятность того, что профиль ДНК случайно выбранного из всего населения человека будет совпадать с профилем ДНК спермы, найденной на месте преступления. Учитывая, что на тот момент в Великобритании насчитывалось около 30 миллионов мужчин, таких совпадений можно было ожидать у десятерых из них, что резко увеличивало вероятность невиновности Дина – с почти невозможной при соотношении один к трем миллионам до весьма вероятной при соотношении девять к десяти. Конечно, не все из 30 миллионов мужчин в Великобритании были возможными подозреваемыми. Однако даже если ограничиться семью миллионами мужчин, живущих в пределах часа езды от центра Манчестера, мы все равно сможем ожидать, что по крайней мере еще один мужчина соответствует профилю, что делало шансы на виновность или невиновность Дина равновероятными: один к одному. Ошибка прокурора привела к тому, что присяжные посчитали виновность Дина в миллионы раз более вероятной, чем это предполагали улики.

На самом деле даже результаты анализа ДНК, которые связывали Дина с преступлениями, были не столь убедительными, как утверждал эксперт. Во время апелляционных слушаний было показано, что ДНК Дина и ДНК, найденная на месте преступления, совсем не настолько схожи, как предполагалось изначально. Вместо одного к трем миллионам шанс случайного совпадения с кем-то, кроме Дина, на деле составлял примерно 1 к 2500, что значительно повышает вероятность невиновности Дина. В сочетании с более чем тремя миллионами мужчин, находившихся неподалеку от места преступления, это дает свыше 1000 других потенциально подходящих человек, так что вероятность вины Дина, исходя из анализа ДНК, оказывается менее 1 к 1000. Новая трактовка судебно-медицинских доказательств и признание, что и прежний судья, и свидетель-эксперт совершили ошибку прокурора, привели к отмене приговора Дину.

Нокс и нож

Еще одним делом, в котором трактовка результатов анализа ДНК вместе с вычислением вероятностей сыграли ключевую роль, был случай убийства британской студентки Мередит Керчер. В 2007 году в итальянском городе Перуджа Керчер зарезали ножом в квартире, где она жила вместе со своей подругой – студенткой по обмену Амандой Нокс. Два года спустя, в 2009 году, Нокс и ее итальянский экс-бойфренд Рафаэле Соллесито были единогласным решением присяжных осуждены за убийство Керчер. Решающим доказательством обвинения стал нож, размер и форма которого соответствовали некоторым ранам, нанесенным Керчер. Нож был найден на кухне Соллесито, а на его рукоятке обнаружена ДНК Нокс, связывающая и Соллесито, и Нокс с орудием убийства. На лезвии ножа был обнаружен образец другой ДНК – совсем небольшой, всего лишь несколько клеток. Выделенный из этих клеток профиль ДНК совпал с профилем жертвы.

В 2011 году Нокс и Соллесито подали апелляцию на свои длительные тюремные приговоры. Адвокаты защиты сосредоточились в первую очередь на дискредитации единственного доказательства, которое физически связывало Нокс и Соллесито с убийством, – следы ДНК на ноже.

Почти у каждого (за исключением однояйцовых близнецов) есть собственный уникальный геном – последовательность азотистых оснований аденина (А), гуанина (G), тимина (Т) и цитозина (С), характерных для длинных цепочек ДНК в каждой клетке. Если сосчитать и сохранить каждую из примерно трех миллиардов пар оснований в геноме человека, то полученная последовательность стала бы поистине уникальным идентификационным кодом[101]. Однако в суде (и в базах данных ДНК) используется (и хранится) отнюдь не полный профиль генома. Когда речь об использовании профилей ДНК зашла впервые, создание полного профиля генома требовало обработки слишком большого объема данных, занимало слишком много времени и стоило баснословно дорого. Для сравнения двух профилей также требовалось чересчур много времени, так что оно было нецелесообразно.

Вместо этого профиль ДНК формируется путем анализа 13 конкретных участков ДНК человека. Эти участки называются локусами. Поскольку мы наследуем по одной хромосоме в каждой паре от каждого из наших родителей, с каждым локусом связано по две области ДНК. Каждая из этих областей частично состоит из короткого тандемного повтора – небольшого, многократно повторяющегося сегмента ДНК. У каждого человека количество повторений в конкретном локусе специфично. Фактически эти 13 локусов выбраны именно из-за такого разнообразия числа повторяющихся сегментов – количество различных комбинаций таких повторов по 13 локусам астрономически велико. Таким образом профиль ДНК – это всего лишь перечень повторов в каждом локусе, который можно считать по диаграмме, известной как электрофореграмма. Электрофореграмма представляет собой необработанную последовательность ДНК и немного похожа на показания сейсмометра (прибора, используемого для измерения силы землетрясений), где на фоне низкоуровневого шума в определенных позициях, соответствующих каждому из локусов профиля ДНК, выделяются характерные пики. Электрофореграмма для образца с лезвия ножа показана на рис. 12.

Создание индивидуальной электрофореграммы можно сравнить с записью результатов двух последовательных серий бросков тринадцати 18-гранных кубиков. Идеальное совпадение двух случайно выбранных профилей ДНК можно сравнить с выпадением одной и той же последовательности значений на гранях кубиков. В идеальных условиях вероятность совпадения профилей двух случайно выбранных, не связанных между собой человек составляет менее одного на сто триллионов, что, по сути, делает профиль ДНК уникальным идентификатором. Точное совпадение пиков на двух электрофореграммах дает основание заключить, что они принадлежат одному и тому же человеку.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 12. Электрофореграмма из образца ДНК (предположительно принадлежавшего Мередит Керчер) с лезвия ножа. Маркированы пики, соответствующие 13 локусам, используемым в стандартном профиле ДНК. В некоторых случаях виден только один пик, что указывает на то, что владелец образца унаследовал от родителей одинаковое количество повторов для этого локуса. Верхнее число в каждой графе дает количество повторений сегмента ДНК. Нижнее число показывает силу сигнала, отображенную высотой пика. Сила сигнала большинства пиков ниже требуемого минимума в 50


Иногда совпадения ДНК могут быть неоднозначными, так как в силу возраста или качества образца ДНК профиль удается восстановить лишь частично, так что сигнал удается получить не в каждом локусе. Частичные профили, разумеется, надежного совпадения профиля ДНК не дают. Бывает также, что фоновый шум, возникающий во время анализа образца, заглушает сигнал, поступающий на электрофореграмму – особенно часто такая ситуация происходит с небольшими образцами. Поэтому анализ должен опираться на общепринятые стандарты уровня сигнала в профиле ДНК. Это и была единственная надежда адвокатов Нокс.

Во время первоначального судебного разбирательства доктор Патриция Стефанони, главный технический директор отдела судебно-генетической экспертизы полиции Рима, решила, что из-за крошечного размера образца ДНК, оставшегося на лезвии ножа, этот образец не надо разделять на две части – чтобы получить достаточно сильный сигнал профиль, ей был необходим весь имеющийся в распоряжении материал. Это прямо противоречило принятым нормам проведения экспертизы: второй образец нужен для того, чтобы перепроверить профиль, если тот получится слабым или сомнительным. Но ее решение оставило экспертизу без контрольного образца. Как было отмечено во время предварительного разбирательства, электрофореграмма имела четкие пики во всех нужных местах и невероятно близко соответствовала профилю Керчер. Однако, как видно из пронумерованных граф на рис. 12, большинство пиков в профиле значительно ниже даже самых либеральных стандартов. Пренебрежение нормативными процедурами при создании профиля, которое продемонстрировала Стефанони, позволило команде защиты на апелляции дискредитировать доказательства, построенные на основе следов ДНК с лезвия ножа.

В ответ обвинение попросило провести повторное тестирование небольшого количества клеток, пропущенных при первоначальном сборе мазка, но обнаруженных независимыми судебно-медицинскими экспертами, чтобы подтвердить результаты первого теста. Однако председательствующий судья Клаудио Хеллман отклонил это ходатайство.

3 октября 2011 года присяжные, среди которых были и эксперты, и простые судебные заседатели [102], удалились на совещание, чтобы вынести свой вердикт. Они совещались необычно долго, атмосфера в зале суда постепенно накалялась, и к выходу присяжных присутствующие уже едва сдерживали эмоции. Несмотря на подробный разбор доказательств, никто не знал, куда качнется маятник. Когда вердикт был зачитан, Нокс рухнула на стул и разрыдалась от радости и облегчения. Присяжные сняли с нее обвинение в убийстве. В мотивационной части вердикта, объясняя отказ от тестирования второго образца ДНК, судья Хеллман заявил, что «сумма двух результатов, оба из которых ненадежны вследствие нарушения научных принципов проведения экспертизы, не может дать достоверного результата». Но Лейла Шнепс и Корали Колмез, авторы вышедшей в 2013 году книги «Процесс над математикой: как в зале суда используют цифры и злоупотребляют ими»[103], предполагают, что судья Хеллман ошибался: иногда два ненадежных теста лучше, чем один [104].

Чтобы понять их аргументы, давайте снова представим себе, что вместо анализа ДНК мы бросаем игральный кубик, желая определить, стандартный он или шулерский, со смещенным центром тяжести. В первом случае шестерка должна выпадать один раз из шести, а на кости, у которой одна сторона тяжелее, в 50 % случаев, как нам заранее известно. Мы хотим подойти к ситуации непредвзято, поэтому еще до начала тестов допускаем, что каждый из этих сценариев одинаково вероятен.

Начнем наш тест, бросив кубик 60 раз подряд. Если кубик стандартный, то шестерка должна в среднем выпасть шесть раз. Если кубик со смещенным центром тяжести, то шестерка выпадет в среднем 30 раз. Выпадение 30 и более шестерок в ходе бросков дает нам веские основания полагать, что кубик утяжелен, поскольку такой результат в случае бросков стандартного кубика крайне маловероятен. Аналогичным образом, если шестерка выпадет 10 или меньше раз, мы будем уверены, что имеем дело со стандартной костью. Если шестерка выпадает в диапазоне от 10 до 30 раз, то мы сможем вычислить вероятность того, что этот кубик утяжелен, сравнив шанс получить такой результат с кубиком со смещенным центром тяжести с шансом получить аналогичный результат со стандартным кубиком.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 13. Результаты двух независимых серий бросков. В первом тесте шестерка выпала 21 раз из 60, а во втором – только 20 раз. Кажется, что второй тест подрывает результат первого


Во время теста мы фиксируем результаты бросков – итог показан в верхней половине рисунка 13: шестерка выпала всего 21 раз. Вероятность такого результата при бросках стандартного кубика невелика – всего 0,000297. С кубиком со смещенным центром тяжести вероятность получить 21 шестерку тоже довольно мала – 0,00693, но она все же в 20 с лишним раз выше, чем со стандартным кубиком. 21 шестерка скорее выпадет при бросках утяжеленного, чем стандартного кубика. Мы можем найти общую вероятность выпадения 21 шестерки в обоих сценариях, сложив соответствующие вероятности и получив 0,00722. Доля этой вероятности, которую обеспечивает утяжеленная игральная кость, составляет 0,00693/0,00722, что дает 0,96. Таким образом, вероятность, что мы бросали утяжеленный кубик, равна 96 %. Достаточно убедительно, но, возможно, этого не хватит для того, чтобы осудить убийцу.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 9. Вероятность выпадения разного количества шестерок в каждом из тестов со стандартными костями (столбец 1) и костями со смещенным центром тяжести (столбец 2). Общая вероятность для обоих сценариев (столбец 3) и вероятность того, что у кубика смещен центр тяжести (столбец 4)


Для верности проведем второй тест, бросив кубик еще 60 раз. На этот раз, как показано в нижней половине рисунка 13, выпало только 20 шестерок. Как видно из таблицы 9, вероятность получить такой результат со стандартным кубиком составляет 0,000780, а со смещенным центром тяжести – 0,00364, что примерно в пять раз выше. Хотя это и не сильно отличается от результатов первого теста, но тот же расчет дает чуть менее убедительные 82-процентные шансы на то, что кубик утяжелен. Похоже, второй тест поставил под сомнение результаты первого. Во всяком случае, второй тест никоим образом не позволяет нам без сомнений убедиться, что мы имеем дело с шулерским кубиком.

Однако при объединении результатов, как показано на рис. 14, мы сможем проанализировать уже 120 бросков кубика. Если кубик стандартный, то при 120 бросках шестерка в среднем должна выпадать 20 раз. Но она выпала 41 раз. Вероятность такого результата в серии из 120 бросков для стандартного кубика составляет всего 0,00000155; а вот вероятность получить такой результат с кубиком со смещенным центром тяжести в 100 с лишним раз выше. Она составляет 0,000168. Итого, с учетом количества выпавших шестерок вероятность, что мы имеем дело с шулерским кубиком, превышает 99 %.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 14. При объединении результатов тестов мы получаем 41 шестерку при 120 бросках. Это говорит о высочайшей вероятности того, что кубик шулерский


Как ни странно, сочетание двух не самых убедительных проверок дает гораздо более надежный результат, чем любой из этих тестов по отдельности. Аналогичный метод часто используется в научной практике систематических обзоров. Систематические обзоры в медицине, например, анализируют несколько клинических тестов, каждый из которых сам по себе не содержит исчерпывающей оценки эффективности того или иного вида лечения из-за немногочисленности тестируемых. Однако при объединении результатов нескольких независимых исследований часто можно сделать статистически значимые выводы о степени эффективности медицинского вмешательства. Пожалуй, наиболее известным применением систематических обзоров является анализ альтернативных лекарственных средств (в следующей главе мы покажем, что мнимые положительные эффекты от их применения зачастую вызваны математическими артефактами [105]), крупномасштабные клинические испытания которых финансируются скудно. Объединив результаты нескольких, казалось бы, неоднозначных тестов, систематические обзоры опровергали такие альтернативные методы лечения, как клюквенная терапия инфекций мочевыводящих путей [106] или использование витамина С для предотвращения простуды [107].

Утверждая, что сочетание пары потенциально неоднозначных ДНК-тестов могло бы дать более убедительные доказательства связи между ДНК Керчер и ножом на кухне Соллесито, Шнепс и Колмез исходят из той же логики. Решение судьи Хеллмана лишило суд возможности рассмотреть эти свидетельства, отняв таким образом у мира возможность понять, какое влияние они могли бы оказать на исход судебного разбирательства.

Ослепленные математикой

Астрономически малые вероятности, которые можно рассчитать на основе полного образца ДНК, кажутся очень убедительными статистическими данными, но нельзя позволять, чтобы эти очень большие или очень малые числа затуманивали наш рассудок в зале суда. Необходимо скрупулезно учитывать обстоятельства, при которых эти расчеты велись, и помнить, что простое упоминание крайне малого числа само по себе – вне контекста и без правильной интерпретации – не доказывает вину или невиновность подозреваемого.

Один из таких поучительных примеров – сконструированное Роем Мидоу в деле Салли Кларк соотношение «1 к 73 миллионам». Сочетание некорректного домысла о независимости двух факторов (предположения, что смерть одного ребенка от СВДС не сказывается на вероятности смерти второго ребенка от СВДС) и экологической ошибки (своевольного определения Кларков в категорию семей с пониженным риском на основе тенденциозной выборки демографических данных) привело к тому, что соотношение оказалась намного меньше, чем дóлжно. Проблему усугубила такая манера подачи информации, а также то, что любой присяжный в трезвом уме заключил бы: вероятность «1 к 73 миллионам» – это вероятность невиновности Салли. Это, конечно, неверная интерпретация, поскольку данное соотношение означает лишь вероятность существования иного объяснения смерти младенцев. Так что к некорректному допущению и экологической ошибке добавилась и ошибка прокурора – ведь присяжные признали Салли виновной, основываясь в немалой степени на выкладках Мидоу.

Критично относясь к доказательствам вины на основе крайне малых вероятностей альтернативных сценариев, мы должны также критично воспринимать опровержения этих цифр как доказательство чьей-либо невиновности. Репутация Эндрю Дина была разрушена из-за «ошибки прокурора», в результате которой вероятность его вины, основанная только на результатах анализа ДНК, казалась гораздо более высокой, чем была. В своей апелляции защита Дина настаивала на том, что корректный показатель вероятности совпадения ДНК составляет 1 к 2500, что делало его одним из тысяч подозреваемых с потенциально совпадающим ДНК вблизи места преступления. Однако представление о том, что это делает доказательства, основанные на анализе ДНК, фактически бесполезными, в равной степени ошибочно и известно, как «ошибка адвоката». ДНК-доказательствами не стоит пренебрегать; их следует рассматривать наряду и вместе с другими свидетельствами, изобличающими или реабилитирующими подозреваемого. Приговор Дину признали недостаточно обоснованным отчасти из-за того, что присяжных могла ввести в заблуждение ошибка прокурора. Однако на повторном слушании дела Дин признал свою вину и был осужден за изнасилование.

Точно так же Шнепс и Колмез приводят убедительный математический аргумент в пользу того, что свободу Аманде Нокс, скорее всего, принес именно отказ судьи Хеллмана от повторного анализа ДНК. В 2013 году оправдательный приговор по апелляции Нокс был отменен, и судья распорядился провести повторное тестирование образца ДНК, найденного позже. Было установлено, что ДНК принадлежит, по сути, самой Нокс, а не Керчер. В ходе последней апелляции, поданной в 2015 году, суду были представлены доказательства того, что само приобщение ножа к делу и его экспертиза были серьезно скомпрометированы. Многочисленные нарушения были допущены при изъятии ножа; нож сначала поместили в незапечатанный конверт, а затем – в нестерилизованную картонную коробку; полицейские не были одеты в соответствующую защитную одежду; более того, один из офицеров полиции был в квартире Керчер в тот день еще до того, как нож попал к нему в руки. Также сложно было исключить загрязнения материала в лаборатории, поскольку еще до анализа предполагаемого орудия убийства там проверяли по меньшей мере 20 образцов ДНК Керчер. Если бы оригинальная ДНК, найденная на ноже, действительно попала туда в результате загрязнения, то никакие повторные тесты не изменили бы того факта, что ДНК принадлежала Керчер, и не объяснили бы, как она оказалась на ноже. Фактически, будь в распоряжении экспертов больше неполных образцов ДНК, повторное тестирование могло бы предоставить куда больше ложных свидетельств в пользу виновности Нокс.

Завороженные тонкостями аккуратных математических выкладок, сложного вычисления или запоминающейся цифрой, мы часто пренебрегаем ключевым вопросом: актуально ли это вычисление вообще?

В случае Салли Кларк наибольшее влияние на присяжных оказали статистические выкладки Роя Мидоу о вероятности двух подряд случаев гибели младенцев от СВДС в одной семье. При более тщательном анализе мы можем задаться вопросом, зачем вообще понадобилась эта статистика? Во время процесса никто не утверждал, что причиной смерти обоих детей Кларков был СВДС. Патологоанатом, проводивший вскрытие Кристофера, зафиксировал, что тот умер от инфекции нижних дыхательных путей. Это совсем не то же самое, что смерть, вызванная СВДС, которая на деле диагностируется тогда, когда все остальные диагнозы исключены. Защита утверждала, что смерть обоих младенцев была вызвана естественными причинами. Обвинение утверждало, что они были убиты. Но ни та, ни другая сторона даже не упоминала СВДС в качестве возможной причины гибели. Выкладки Мидоу, претендующие на то, чтобы описать вероятность смерти двух малолетних детей в одной и той же семье, не имели никакого отношения к делу. Тем не менее именно они, похоже, подвели присяжных к заключению, что Салли убила своих сыновей.

Во время второй апелляции, в январе 2003 года, адвокаты Салли представили новые доказательства, которые были обнаружены уже после вынесения ей обвинительного приговора. Результаты вскрытия Гарри, второго сына Салли, ясно указывали на наличие бактерии Staphylococcus aureus в спинномозговой жидкости. По мнению экспертов, эта инфекция с большой долей вероятности привела к возникновению бактериального менингита, который и стал причиной смерти Гарри. Новых микробиологических свидетельств было вполне достаточно для того, чтобы признать приговор Салли несостоятельным, но судьи апелляционного суда заявили, что очевидное злоупотребление статистическими данными в ходе первоначального судебного разбирательства уже должно было стать достаточным основанием для удовлетворения первой апелляции.

29 января 2003 года Салли вышла на свободу. Она вернулась к Стиву и их третьему сыну, которому к тому времени было четыре года. В заявлении, сделанном после освобождения, она говорила о том, что ей наконец разрешили оплакивать смерть своих детей, о том, как важно для нее вернуться к мужу, снова стать матерью для своего маленького мальчика, снова жить полноценной семейной жизнью. Но даже искренний восторг от воссоединения с семьей не смог компенсировать те годы, что она провела в тюрьме по ложному обвинению в убийстве самых близких ей людей. В марте 2007 года она умерла в своем доме от алкогольного отравления, так и не оправившись от последствий несправедливого приговора.

Опыт, полученный в зале суда, пригодится и в других сферах нашей жизни. Как мы увидим в следующей главе, критически стоит воспринимать и кричащие цифры в медийных заголовках, и назойливые рекламные призывы, и сплетни, передающиеся из уст в уста. На деле заинтересованная в манипулировании цифрами сторона может обнаружиться везде – то есть практически любые утверждения стоит воспринимать со здравым скепсисом и требовать подробных объяснений. Любой, кто уверен в достоверности своих выкладок, будет рад их предоставить. В математике и статистике путаются порой даже хорошо обученные математики, поэтому стоит обращаться к опыту профессиональных специалистов в конкретных областях, современным Пуанкаре, которые могут дать экспертное заключение. Любой стоящий математик будет рад помочь. Но еще важнее загодя задаться вопросом, а нужна ли математика для решения данной конкретной задачи, прежде чем нырять с головой в цифровой омут.

В судах все шире пользуются количественными формами доказывания, поэтому математические аргументы играют незаменимую роль в некоторых областях современной системы правосудия. Но, попав не в те руки, математика может воспрепятствовать совершению честного суда, лишая ни в чем не повинных людей средств к существованию, а в экстремальных случаях – и жизни.

Глава 4

Не верь правде. Разоблачение статистики СМИ

«Не верь правде» – Don’t Believe the Truth – так назывался шестой студийный альбом манчестерской рок-группы Oasis. В 1990-х годах, когда я рос в Манчестере, я сходил по ним с ума. Я не пропускал ни одного их выступления в городе и сразу после выхода альбома в 2005 году пошел на их концерт на манчестерский стадион, где играет мой любимый футбольный клуб «Манчестер Сити». Подростком я постоянно ходил на концерты в разные клубы Манчестера – Apollo, Night and Day, Roadhouse, а когда выступал кто-то покруче – в спорткомплекс «Манчестер Арена».

К 2017 году Oasis уже давно распался, а я уехал из Манчестера и тамошние концерты уже более десяти лет обходились без меня, но многие музыкальные площадки, завсегдатаем которых я был, все еще гремели. 22 мая того же года, примерно в половине десятого вечера Ариана Гранде закончила свое выступление в «Манчестер Арене». Зрители – в основном подростки и дети помладше – устремились в фойе, где их ждали родители. Посреди толпы застыл 23-летний Салман Абеди. На его плечах висел рюкзак с самодельной бомбой, начиненной гайками и болтами. В 22:31 он взорвал ее. Жертвами террориста-смертника стали 22 невинных человека. Еще сотни были ранены. Это был самый страшный теракт на британской земле после взрывов в Лондонском метро 2005 года, которые унесли жизни 52 человек.

Во время теракта я не был в Манчестере, меня даже не было в стране. Я находился в командировке в Мехико. Из-за шестичасовой разницы по времени для меня это был разгар рабочего дня, и я следил за чередой сообщений о происшествии, пока большинство британцев спали, не ведая о трагедии. Но даже за пять с лишним тысяч миль от теракта я переживал его как нечто очень личное. Этот взрыв потряс и ужаснул меня много больше, чем все прежние теракты – ведь в свое время и я проходил по тому самому фойе. Несколько дней подряд после этого я читал все, что мог, о нападении и о реакции на него жителей моего родного города. Особенно привлекла мое внимание статья в Daily Star, озаглавленная «Исламские боевики приурочили атаку в “Манчестер Арене” к годовщине убийства Ли Ригби [108]». Автор статьи обращал особое внимание читателей на твит Себастьяна Горки [109], на тот момент заместителя помощника президента США Дональда Трампа: «Взрыв в Манчестере произошел в 4-ю годовщину публичного убийства Королевского стрелка Ли Ригби. Дата имеет особенное значение для исламских боевиков».

Горка заметил, что два теракта пришлись на одну и ту же дату. 22 мая 2013 года солдата британской армии зарезали два гражданина Великобритании нигерийского происхождения, перешедших в ислам из христианства. А 22 мая 2017 года посреди толпы людей, не имевших никакого отношения к политике, свою бомбу пустил в ход террорист-смертник ливийского происхождения, всегда исповедовавший ислам. Горка в своем твиттере предположил, что теракт в «Манчестер Арене» был тщательно спланирован и целенаправленно проведен в годовщину убийства Ли Ригби. Подобное подкрепляло бы идею, что исламистские террористы – хорошо организованная и сплоченная группа, способная нанести удар по желанию в любую выбранную дату. Это, однако, несколько противоречило образу волка-одиночки, как прежде изображали Абеди.

Организованная и дисциплинированная террористическая группа выглядит более угрожающей, чем случайные и разрозненные атаки, за которыми не просматривается централизованное руководство. Возможно, подогревая страх перед исламским терроризмом, Горка пытался поддержать крайне спорный указ президента Трампа «О защите нации от вторжения иностранных террористов в США», запретивший въезд в США многим мусульманам, который в тот момент активно пытались оспорить в суде. Но меня заинтересовало другое – насколько обоснованным было утверждение самого Горки, поднятое Daily Star на щит? Мне представлялась, что такая беспочвенная и экзальтированная риторика как раз идеально служит целям самих террористов. Я задался вопросом, насколько вероятно случайное попадание двух терактов на одну и ту же дату.

Информация, которую мы читаем, видим и слышим, просто переполнена цифрами и числами. Те же крупномасштабные исследования в различных возрастных группах, как образ жизни влияет на наше здоровье, в ХХI веке проводятся все чаще. Параллельно растет количество вычислительных навыков, необходимых для анализа полученных результатов. Во многих случаях в этом нет никакого подвоха – просто статистические данные трудно интерпретировать. Однако существует множество причин, по которым те или иные цифры – или их интерпретации – могут быть кому-то выгодны.

В эпоху фальшивых новостей трудно понять, кому можно доверять. Однако, как ни странно, большинство ведущих СМИ основывают большинство своих статей на фактах. Правдивость и достоверность упоминаются в самом начале (если не в первой же строчке) почти любого кодекса журналистской этики[110]. Стремление к добросовестному изложению информации поддерживается не только моральными обязательствами говорить правду, но и финансовыми стимулами – дела о клевете наносят огромный вред репутации издания и обходятся очень дорого.

Главное, что отличает различные СМИ друг от друга, – интерпретация фактов и их подача. Когда, например, в декабре 2017 года был принят законопроект президента Трампа о налоговой реформе (под двусмысленным названием «Закон о снижении рабочих мест и занятости»), журналист Эд Генри с канала Fox заявил, что это «большой прорыв» и «отчаянно необходимая президенту победа». А вот Лоуренс О’Доннелл на канале MSNBC назвал сенаторов-республиканцев, проголосовавших за этот законопроект, «самым уродливым сборищем свиней у корыта, которое я когда-либо видел в Конгрессе». Джек Тэппер на CNN поинтересовался: «Принимал ли раньше Конгресс подобный крупный законопроект, пользующийся меньшей [общественной] поддержкой?»

Разницу в подходах к этому сюжету и, соответственно, разницу в политических повестках каждого из трех новостных агентств, обнаружить несложно. В речи людей явно отражаются их партийно-политические пристрастия. А вот манипуляции с цифрами менее заметны. Статистику можно подобрать так, чтобы представить определенный взгляд на вещи – и сохранить при этом видимость объективности. Противоречащие выводу цифры просто игнорируются, и за счет выборочного использования данных искажается реальность. Иногда ненадежными оказываются сами исследования. Небольшие, нерепрезентативные или предвзятые выборки в сочетании с наводящими вопросами и выборочным представлением данных – вот рецепт недостоверного статистического исследования. Есть еще более тонкий прием – использовать статистику вне контекста: 300-процентный рост заболеваемости может означать и увеличение количества заболевших с одного пациента до четырех, и с 500 тысяч человек до двух миллионов. Контекст важен. Подвох не в том, что каждая иная интерпретация чисел является ложью сама по себе – напротив, каждая из них представляет собой маленький кусочек правдивой истории, которую кто-то представил в предпочтительном для него свете. Подвох в том, что это не вся правда. Нам остается попытаться собрать воедино истинную историю, стоящую за журналистскими перегибами.

В этой главе мы проанализируем и развенчаем уловки, ловушки и махинации в газетных заголовках, рекламных объявлениях и политической риторике. Более того, мы увидим, что схожие математические манипуляции применяются и там, где им вовсе не место, – при консультировании пациентов и даже в научных статьях. Мы представим простые способы распознать, когда от нас утаивают часть информации. Мы познакомимся с инструментами, которые помогут вскрыть манипуляции со статистикой. И в конце концов выясним, когда мы должны верить «правде».

Парадокс дней рождения

Самыми незаметными и часто эффективными математическими трюками являются те, в которых участие чисел даже не просматривается. Заявив, что «даты имеют особенное значение для исламских боевиков», Горка косвенно предложил читателям оценить шанс того, что два теракта пришлись на одну и ту же дату случайно, дав понять, что сам он считает это очень маловероятным. Реальный же ответ можно выяснить, проведя математический мысленный эксперимент под названием «парадокс дней рождения».

Этот парадокс формулируется так: «Сколько нужно людей, чтобы вероятность того, что хотя бы у двоих из них день рождения придется на одну дату, превысит 50 %?» Обычно, впервые столкнувшись с этим вопросом, люди останавливаются на числе 180, что примерно в два раза меньше количества дней в году. Дело в том, что в такой ситуации мы склонны прикидывать вероятность того, что дата рождения кого-то из «присутствующих» совпадет с нашей. Но 180 – это много. Слишком много. С учетом обоснованного предположения, что дни рождения распределены по дням года примерно равномерно, верный ответ – всего 23 человека. Фокус в том, что нас интересует не сама дата, на которую выпадает день рождения, а только возможные совпадения.

Чтобы понять, почему нужно так мало народа, для начала стоит подсчитать количество пар, которые образуются в комнате, – ведь мы ищем именно пару людей, у которых совпадает день и месяц рождения. Чтобы вычислить, сколько пар могут образовать 23 человека, представьте себе, что все они выстроились в ряд и начали по очереди пожимать друг другу руки. Первый человек пожмет руку 22 другим, второй – 21 человеку (с первым он уже это сделал), третий – 20 и так далее. Наконец, предпоследний человек пожимает руку последнему, а нам остается сложить 22 + 21 + 20 +… + 1. Для 23 человек это относительно просто, но когда людей в комнате будет больше 50, это станет уже несколько более утомительным. Такие суммы – последовательных целых чисел, начиная с единицы, – называются треугольными числами, поскольку их можно представить в виде упорядоченного треугольного массива, как мы это сделали на рис. 15. К счастью, для треугольных чисел есть простая и красивая формула. Для общего числа людей N в комнате число рукопожатий составит N×(N-1)/2. Для 23 человек это дает 23×22/2, или 253 пары. Когда пар так много, вероятность, что, хотя бы у одной из них дата рождения будет совпадать, составит больше 50 % – и это, пожалуй, уже не вызывает удивления.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 15. Количество рукопожатий между 23 людьми. Первый человек пожимает руку 22 другим, второй – 21, и так до тех пор, пока предпоследний не останется один на один с последним человеком, которому он еще не пожимал руку. Общее количество рукопожатий между 23 людьми – это сумма первых 22 целых чисел. Формула для треугольных чисел говорит, что 23 человека могут составить 253 пары


Для проверки проще сначала просчитать вероятность, что дни рождения у всех будут разными. Мы уже использовали такую методику во второй главе, когда вычисляли, сколько маммографий может пройти женщина до того, как вероятность получить ложноположительный диагноз составит более 50 %. У каждой отдельной пары определить вероятность несовпадения дат рождения легко. Первый человек может отмечать свой день рождения в любой из 365 дней в году, а второй – в любой из оставшихся 364 дней. Таким образом, вероятность, что у одной пары людей дата рождения не совпадает, близка к абсолютной и составляет 364/365 (или 99,73 %). Однако поскольку пар всего 253, нам нужно вычислить вероятность того, что ни в одной из оставшихся 252 пар даты рождения тоже не совпадают. Если бы все эти пары были независимы друг от друга, то вероятность несовпадения даты рождения была бы равна результату перемножения вероятности несовпадения даты рождения у одной пары (364/365) на саму себя еще 252 раза, то есть (364/365)253. Хотя результат деления 364 на 365 достаточно близок к единице, при столь многократном перемножении этого числа на себя вероятность, что ни у одной из пар дни рождения не будет совпадать, оказывается 0,4995, что чуть меньше 1/2. Поскольку в нашем случае есть только два вероятных исхода: даты рождения не совпадают ни у одной из пар или даты рождения совпадают у двух или более человек (математики называют такие связанные варианты исчерпывающим множеством), сумма вероятностей этих двух событий должна составлять единицу. Таким образом, вероятность, что у двух или более человек даты рождения совпадают, составляет 0,5005, то есть чуть более 1/2.

В реальности не все пары дней рождения будут независимы друг от друга. Если у человека A дата рождения совпадает с датой рождения человека B, а у того – с датой рождения человека C, то даты рождения в паре A – C тоже совпадают, и, следовательно, не являются независимыми. Если бы они были независимыми, то шанс иметь общую дату рождения у них составлял бы только 1/365. Точный расчет вероятности совпадения с учетом этих зависимостей лишь немногим сложнее, чем при независимых величинах в предыдущем абзаце. При таком расчете мы добавляем людей «в комнату» по одному. Как мы уже установили, для двух человек вероятность несовпадения даты рождения составляет 364/365. Когда к ним добавляется третий, дата рождения каждого из трех может приходиться на любой из оставшихся 363 дней в году (если у кого-то не обнаружится общая дата рождения с кем-то из оставшейся пары). Таким образом, вероятность того, что у трех человек не совпадут даты рождения, составляет (364/365) × (363/365). Четвертому достается уже только 362 дня, поэтому вероятность, что даты рождения не совпадут у четверых, несколько снижается – до (364/365) × (363/365) × (362/365). Этот ряд продолжается до тех пор, пока к вечеринке не присоединится последний, 23-й участник. Его день рождения может выпасть на любой из оставшихся 343 дней. Вероятность того, что ни у кого из 23 человек даты рождения не совпадут, определяется последовательным перемножением:

364/365 × 363/365 × 362/365 ×… ×343/365

Это выражение свидетельствует: точная вероятность, что даты рождения всех 23 человек отличаются (с учетом возможных зависимостей), составляет 0,4927, что чуть меньше 1/2. Используя принцип исчерпывающего множества комбинации величин (утверждающий, что единственными вариантами в нашем случае является либо отсутствие совпадений, либо наличие как минимум одной общей даты рождения), получаем, что вероятность совпадения дат составляет 0,5073, что немного больше 1/2. Если в группе будет 70 человек, количество возможных пар вырастет до 2415. Точный расчет в таком случае дает почти абсолютную вероятность совпадения – 0,999. На рис. 16 показано, как изменяется вероятность того, что два события произойдут в один день, по мере роста числа рассматриваемых независимых событий с одного до ста.

Для несведущего в математике человека такая высокая вероятность может оказаться неожиданной. Я воспользовался этим приемом, чтобы произвести впечатление на моего литературного агента, когда мы в первый раз обсуждали перспективы данной книги. Я поспорил с ним на выпивку, что найду в относительно немноголюдном пабе хотя бы пару человек, даты рождения которых совпадают. Окинув взглядом помещение, он с готовностью принял пари – и даже поднял ставки, предложив оплатить два раунда выпивки, если я смогу найти такую пару; он совсем не верил в такую возможность. Спустя двадцать минут, множества озадаченных взглядов и несколько легких оправданий («Все в порядке, – поясняла моя слегка потрепанная ипостась людям, к которым я приставал с расспросами, – я математик!»), я нашел свою пару именинников, так что выпивка была за счет Криса. Наверное, это было не совсем честно с моей стороны – покупая выпивку первый раз, я уже подсчитал количество посетителей в баре. Их было около 40, и я знал, что с таким числом участников я мог проиграть пари с мизерной вероятностью в 11 %. Я должен был ставить два к одному против Криса, а не наоборот. Разумеется, высокая вероятность совпадений при удивительно малом количестве событий имеет несколько более глубокие последствия, чем небольшой математический розыгрыш простодушной жертвы в баре. В частности, это может помочь нам проверить вывод Горки о том, что исламисты способны наносить удары в любой момент, когда захотят.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 16. Вероятность наступления двух и более событий в один и тот же день возрастает с увеличением количества событий. При наличии 23 событий вероятность совпадения чуть выше 1/2. При наличии 39 независимых событий вероятность того, что в один день произойдут как минимум два из них, возрастает почти до 0,9


За пять лет с апреля 2013 по апрель 2018 года исламистские террористы совершили не менее 39 терактов против западных государств (Европейского союза, Северной Америки или Австралии). На первый взгляд кажется маловероятным, что два из них выпали на одну и ту же дату, если бы их разброс по году был действительно случаен. Однако, поскольку из 39 событий можно составить 741 пару, вероятность, что два из них придутся на одну и ту же дату, очень высока – около 88 %, как показано на рис. 16. С такой высокой вероятностью удивительно было бы, если бы даты двух каких-нибудь терактов не совпали. Конечно, это ничего не говорит о вероятности будущих терактов, но, похоже, Горка серьезно переоценил организационные навыки исламистов.

Та же логика парадокса дней рождения свидетельствует, что к интерпретации ДНК-доказательств, которые так распространены во многих современных уголовных процессах (как было показано в предыдущей главе), следует относиться с изрядной осторожностью. В 2001 году во время поиска в базе данных ДНК штата Аризона, состоящей из 65 493 образцов, ученый обнаружил частичное совпадение между двумя несвязанными профилями. Девять из тринадцати локусов совпали между собой. Для того чтобы оценить масштаб случившегося, стоит учесть, что ожидаемая частота совпадений такого уровня для двух несвязанных лиц составляет примерно 1 на 31 миллион обследованных профилей. Этот громкий случай спровоцировал масштабный поиск других возможных совпадений. Обработав базу данных полностью, эксперты обнаружили 122 пары профилей, совпадающих по девяти и более локусам.

Результаты этого исследования [111] заставили юристов усомниться в уникальности ДНК-идентификаторов; они потребовали провести аналогичные сравнения в других базах данных ДНК по всей территории США, в том числе в национальной базе профилей ДНК, содержащей 11 миллионов образцов. Если в базе данных Аризоны обнаружилось 122 совпадения профилей ДНК всего на 65 тысяч образцов, то можно ли полагаться на ДНК как уникальный идентификатор подозреваемых в стране с населением в 300 миллионов человек?[112] Ведь если вероятностные заключения по результатам анализов ДНК были некорректными, это подрывало достоверность судебных решений, вынесенных на их основаниях по всей стране. Некоторые юристы были настолько в этом уверены, что начали ставить под сомнение достоверность ДНК-доказательств в ходе судебных процессов их подзащитных, основываясь на результатах аризонского исследования.

На деле же, используя формулу для треугольных чисел, мы можем подсчитать, что сравнение каждого из 65 493 образцов в базе данных Аризоны с каждым из них дает в общей сложности более двух миллиардов уникальных пар образцов. С вероятностью совпадения 1 на 31 миллион пар несвязанных профилей мы вполне можем ожидать 68 частичных (то есть при девяти локусах) совпадений. Разницу между ожидаемыми 68 совпадениями и 122, которые были найдены, легко объяснить тем, что в базе данных хранились профили близких родственников. Эти профили имеют значительно больше шансов на частичное совпадение, чем профили тех, кто не связан узами родства. Таким образом, аризонское исследование вовсе не ставит под сомнение достоверность доказательств, полученных на основе анализа ДНК, – напротив, в свете того, что нам открыли треугольные числа, результаты аризонского исследования хорошо согласуются с математикой.

Убедительные числа

В статье Daily Star, рассказавшей о совпадении дат убийства Ли Ригби и взрыва в «Манчестер Арене», вероятность, которую нужно было оценить, чтобы проверить обоснованность заявлений Горки, была скрытой. Большинство рекламодателей используют цифры ровно наоборот – если какие-то данные могут свидетельствовать в пользу их продукта, эти данные старательно выпячивают. Рекламодатели прекрасно знают, что люди, как правило, безоговорочно доверяют цифрам. Числовые данные в рекламе могут быть чрезвычайно убедительными, они придают вес аргументам промоутера. Очевидная непредвзятость статистики, кажется, говорит: «Не надо слепо доверять тому, что мы говорим, – доверьтесь этим объективным и неоспоримым доказательствам». Но эта объективность обманчива.

С 2009 по 2013 год компания L’Oreal рекламировала и продавала линейку «омолаживающих» продуктов Lancome Genifique. Наряду с обычной псевдонаучной чепухой («Молодость в ваших генах. Реактивируйте ее», «Повысьте активность генов и стимулируйте выработку протеинов молодости») рекламные материалы демонстрировали гистограмму, утверждавшую, что всего после семи дней использования этого средства кожа 85 % потребителей приобрела «идеальное сияние», у 82 % – стала «удивительно гладкой», у 91 % – «мягкой, как перышко», а 82 % отметили «общее улучшение вида кожи». Если не обращать внимание на безнадежно расплывчатые описания, то эти цифры звучат чрезвычайно впечатляюще, уверенно подтверждая качество продукта.

Но стоит повнимательнее присмотреться к цифрам, и мы увидим совершенно другую историю. Женщин, принявших участие в исследовании, просили применять Genifique дважды в день, а затем высказать свое отношение к утверждениям вроде: «кожа выглядит более сияющей», «цвет кожи выглядит более ровным» или «кожа по ощущениям стала более мягкой». Степень согласия с подобными утверждениями их просили оценить по девятибалльной шкале – от «полностью не согласна» (единица) до «полностью согласна» (девятка). Их не просили оценить степень сияния, мягкости или гладкости их кожи; они оценивали только степень своего согласия (или несогласия) с тем, что улучшение вообще есть. И уж, конечно, их не просили добавлять к оценкам эпитеты вроде «идеально» или «удивительно».

Результаты опроса показали, что, хотя 82 % женщин согласились (выставив оценку от шести до девяти баллов по девятибалльной шкале), что их кожа выглядит более гладко через семь дней, «полностью согласились» с этим менее 30 %. Точно так же 85 % в целом были согласны с тем, что их кожа выглядит более сияющей, но только 35,5 % согласились с этим полностью. L’Oreal подретушировала результаты собственного исследования, чтобы они выглядели более впечатляющими, чем на самом деле.

Размер фокус-группы – компания опросила всего 34 женщины – вызывал, пожалуй, еще бóльшие сомнения. При таком небольшом количестве участников в достоверности результатов опроса трудно быть уверенным из-за так называемого отклонения малой выборки. Малые размеры выборки, как правило, показывают более существенные отклонения от истинного среднего значения по популяции, чем большие выборки. Проиллюстрируем это мысленным экспериментом с «правильной монетой», на которой строго в половине случаев выпадает орел, в половине – решка. По какой-то причине я хочу убедить окружающих, что монета «предвзята» в пользу решки. Допустим, что для этого достаточно, чтобы монета выпадала решкой по крайней мере в 75 % случаев. Как будут меняться мои шансы убедить их по мере того, как увеличивается размер выборки – количество подбрасываний монеты?

Я могу попытаться обойтись всего одним броском. Если выпадет решка, я буду счастлив; одна решка в одном броске – это больше, чем пороговые 75 %. Такое возможно в половине случаев. Наилучший мой шанс убедить окружающих в своей правоте – сделать всего один бросок, но они могут справедливо возразить, что им требуется больше данных, чтобы быть уверенными, и попросят меня подбросить монету еще раз. При двух бросках мне нужно, чтобы решка выпала дважды – если решка и орел выпадут по разу, вероятность выпадения будет равна только 50 % и мои аргументы не пройдут. Как видно на рис. 17, две решки – это только один из четырех равновероятных результатов при двух бросках правильной монеты, так что я сумею убедить только четверть зрителей. Вероятность того, что монета выпадет решкой по крайней мере в 75 % бросков, быстро уменьшается по мере увеличения размера выборки, как показано на рис. 18. Когда размер выборки дойдет до ста бросков, мои шансы убедить кого-либо в том, что монета «предвзята», упадут до 0,00000009.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 17. Возможные комбинации орлов (H) и решек (T), выпадающие при различном количестве бросков монеты, до четырех бросков включительно. Справа от разделительной линии показаны результаты, когда решки выпадают по крайней мере в 75 % случаях, слева – когда они выпадают реже


По мере увеличения размера выборки уменьшается разброс вокруг среднего значения (в данном случае средним значением будет 50 % решек); становится все труднее убедить кого-то в том, что это неправда. Поэтому достоверность представленных в рекламе L’Oreal результатов, которые были получены на выборке всего 34 человека, не может не вызывать определенные сомнения.

Как правило, рекламные объявления, основанные на результатах «исследований» с небольшой выборки, сообщают о своих достижениях в процентах (82 % имеют удивительно гладкую кожу), а не в сравнительных долях (кожа стала удивительно гладкой у 28 из 34 участников), чтобы скрыть досадно малый размер выборки. При этом совпадение хотя бы двух показателей (как и в рекламе Genifique, где два показателя были одинаковыми: «удивительную гладкость» и «общее улучшение» отметили по 82 % участников) недвусмысленно свидетельствует о ее скромной величине. Более того, у маленькой выборки респондентов и выбор ответов невелик, если производитель хочет убедить потенциальных покупателей, что товар хорош, но опасается переборщить с его расхваливанием (позитивные оценки в диапазоне от 95 до 100 % могут выглядеть подозрительно). При большом размере выборки вероятность того, что на два разных вопрос в одинаково положительные ответы даст равное количество людей, гораздо меньше.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 18. Чем чаще мы подбрасываем настоящую «правильную монету», тем быстрее тают шансы убедить кого-то в том, что она «предвзята» в пользу решки


В 2014 году Федеральная торговая комиссия (ФТК) направила компании L’Oreal предупреждение об использовании недостоверной информации в рекламе линейки продуктов Genifique [113]. ФТК утверждала, что цифры на диаграммах объявлений были «ложными или вводящими в заблуждение» и не подтверждены научными исследованиями. В ответ L’Oreal согласилась прекратить «заявления об этих продуктах, искажающие результаты любых тестов или исследований».

Достоверность исследования продуктов линейки Genifique, по всей видимости, была скомпрометирована не только отклонением малой выборки, но и такими погрешностями отбора, как умышленные ошибки в ответах или пристрастный выбор респондентов. Если L’Oreal набирала участников исследования, например, через объявление на своем сайте, то на это объявление, скорее всего, отреагировали женщины, изначально благосклонно настроенные к продуктам L’Oreal и готовые высоко их оценить (умышленные ошибки в ответах). Или же компания намеренно выбирала для участия в тесте тех женщин, кто и раньше давал хорошие отзывы о продуктах L’Oreal (пристрастный выбор респондентов).

Существуют и еще более сомнительные способы, с помощью которых при опросе, исследовании или политическом обращении можно получить выгодные цифры. Если первое исследование, в котором приняли участие 34 человека, не дает желаемого результата, то почему бы не провести еще одно? Рано или поздно очередная попытка принесет нужные впечатляющие ответы. Или же можно провести более масштабное испытание, выбрав затем наиболее предпочтительные ответы из общей массы. Это называется манипуляцией данными или, менее формально, подтасовкой. Распространенным примером таких махинаций является предвзятое изложение фактов. Ученые, изучающие псевдонаучные явления, такие как альтернативная медицина или экстрасенсорные способности, часто сетуют на необъективность поклонников этих сомнительных практик. Недобросовестные исследователи представляют только положительные результаты (например, отклики лишь о пользе лечения или записи, как «экстрасенс» безошибочно выбирает правильный цвет карты в перетасованной колоде), отбрасывая большинство отрицательных, что делает их выводы неоправданно благоприятными. Как убедились редакторы журнала Literary Digest, при объединении двух или более типов ошибок случайной выборки полученные результаты могут сильно отличаться от ожидаемых при выборке беспристрастной.

Неперевариваемый

В преддверии президентских выборов 1936 года в США редакторы авторитетного ежемесячного журнала Literary Digest решили провести опрос, чтобы предсказать победителя. Кандидатами были действующий президент Франклин Рузвельт и претендент от республиканцев Альфред Лэндон. В Literary Digest гордились тем, что верно предсказывали каждого следующего президента, начиная с 1916 года. Четырьмя годами ранее, в 1932 году, они предсказали, что Рузвельт победит с отрывом в пределах одного процентного пункта [114]. В 1936 году их опрос должен был быть таким же масштабным и дорогостоящим, как и все прежние. В Literary Digest на основе регистрационных записей автомобилей и телефонных справочников был составлен список, куда вошло около десяти миллионов человек (примерно четверть проголосовавшего населения). В августе они разослали бюллетени неофициального опроса общественного мнения всем зарегистрированным и провозгласили со своих страниц: «…исходя из нашего прошлого опыта, страна будет знать фактический исход народного голосования сорока миллионов [избирателей] с точностью до 1 процента» [115].

К 31 октября редакция получила обратно и обработала более 2,4 миллиона бюллетеней. Literary Digest был готов объявить результаты. Заголовок статьи гласил: «Лэндон – 1 293 669; Рузвельт – 972 897»[116]. Согласно Literary Digest, Лэндон должен был победить с большим отрывом: 55 % голосов избирателей против 41 % (третий кандидат, Уильям Лемке, – 4 %) и набрать 370 из 531 голосов выборщиков. Всего четыре дня спустя реальные результаты выборов шокировали редакторов Literary Digest: в Белый дом на второй срок отправился Рузвельт, победив вчистую. Он набрал 60,8 % голосов избирателей, что стало наибольшей долей с 1820 года. Он получил 523 голоса выборщиков против восьми, которыми довольствовался Лэндон. В своем прогнозе Literary Digest ошибся почти на 20 процентных пунктов. Такой разброс результатов можно было бы ожидать при небольшом размере выборки, но в опросе Literary Digest приняли участие 2,4 миллиона человек. Откуда же такая масштабная ошибка при такой огромной выборке?

Причиной ее стала ошибка отбора. Первой проблемой опроса была предвзятость выборки. В 1936 году Америка все еще находилась в тисках Великой депрессии. Владельцы автомобилей и телефонов, скорее всего, принадлежали к наиболее обеспеченным слоям общества. Следовательно, список, составленный Literary Digest, был смещен в сторону избирателей высшего и среднего класса, среди которых преобладали люди правых политических взглядов, не склонные поддерживать Рузвельта. Многие из не столь преуспевающих американцев, которые и составляли ядро его электората, просто не попали в опрос Literary Digest.

Вероятно, еще большее влияние на итоги опроса оказал отказ респондентов от участия в нем. Из десяти миллионов американцев, включенных в первоначальный список, ответило менее четверти. Исследование, вопреки намерению редакторов, оказалось выборочным. Даже если изначально отобранная демографическая группа была репрезентативной по отношению к населению в целом (а это не так), политические взгляды тех, кто принял участие в опросе, как правило, отличались от политических взглядов тех, кто проигнорировал его. Чаще всего более состоятельные и образованные люди, откликнувшиеся на опрос, были сторонниками Лэндона, а не Рузвельта. В совокупности эти две погрешности отбора и дали позорно неправильные результаты, выставив Literary Digest на посмешище.

В том же году, опросив всего 4500 респондентов [117], журнал Fortune смог предсказать победу и отрыв Рузвельта с точностью до 1 %. На этом фоне Literary Digest смотрелся бледно. Урон, который понесла его ранее безупречная репутация из-за неверного прогноза, считается существенным фактором его краха, последовавшего всего через два года [118].

Вот и посчитайте

Если организаторы политических опросов общественного мнения обнаружили, что для получения точных результатов им необходимо все лучше владеть статистическими методами, сами политики убеждаются, что им с рук сходит все больше статистических манипуляций и злоупотреблений, чем когда-либо прежде. Во время партийной кампании за выдвижение в кандидаты на пост президента США Дональд Трамп в ноябре 2015 года поместил в твиттере картинку со следующей статистикой.


Черные, убитые белыми, – 2%

Черные, убитые полицейскими, – 1%

Белые, убитые полицейскими, – 3%

Белые, убитые белыми, – 16%

Белые, убитые черными, – 81%

Черные, убитые черными, – 97%


В качестве источника он сослался на «Бюро статистики преступности – Сан-Франциско». Как выяснилось, такого учреждения никогда не существовало, а приведенные данные сильно отличаются от фактических. Ниже избранные реальные сравнительные статистические показатели за 2015 год (с исходными данными, приведенными в табл. 10), предоставленные ФБР.


Черные, убитые белыми, – 9%

Белые, убитые белыми, – 81%

Белые, убитые черными, – 16%

Черные, убитые черными, – 89%


Очевидно, что в твиттере Трампа радикально преувеличено количество убийств, совершенных чернокожими, а данные по убийствам белых белыми подменены на убийства белых черными (и наоборот). Тем не менее этот твит получил более 7000 перепостов и более 9000 лайков. Это классический пример предвзятости восприятия. Люди тиражировали в Твиттере ложное сообщение, потому что оно пришло из источника, который они уважали, и было созвучно уже сложившимся у них предубеждениям. Им даже не приходило в голову проверить надежность приведенных цифр – не сделал этого и Трамп. Когда журналист Билл О’Райли из Fox News задал ему вопрос, почему он продолжал распространять этот твит после первого опровержения, Трамп ответил в своей экспрессивной манере: «Я, пожалуй, главный антирасист на свете! – И продолжил: —…и что, мне теперь проверять каждый статистический показатель?!»

Твит Трампа появился в разгар общенациональных дебатов о жестокости полиции, особенно по отношению к чернокожим жертвам. Такие случаи, как гибель безоружных чернокожих подростков Трейвона Мартина и Майкла Брауна, спровоцировали возникновение и бурный рост движения Black Lives Matter («Жизни черных важны»). С 2014 по 2016 год участники этого движения проводили массовые акции протеста, в том числе марши и сидячие забастовки по всей территории Соединенных Штатов. К сентябрю 2016 года движение имело отделения в Великобритании. Их протестная деятельность вызывала гнев правого журналиста Рода Лиддла. Связанный с математикой пост в блоге[119] привлек мое внимание к опубликованным в британском таблоиде The Sun комментариям Лиддла о возникновении движения Black Lives Matter в США:

«Оно было создано в США в знак протеста против того, что американские полицейские стреляют в чернокожих подозреваемых вместо того, чтобы просто арестовывать их.

Нет сомнений, что американские копы легко хватаются за пистолет. Возможно, при виде черного подозреваемого они делают это особенно часто.

Но нет никаких сомнений и в том, что самую большую опасность для чернокожих в США представляют… так сказать, другие чернокожие.

Чернокожие убивают чернокожих в среднем более 4000 раз в год. А вот американские копы ежегодно убивают – оправданно или нет – чуть более 100 чернокожих.

Вот и посчитайте».

Вот я и посчитал.

Возьмем статистику за 2015 год, последний календарный год, по которому Лиддл мог получить полные данные. По статистике ФБР[120], приведенной в табл. 10, в 2015 году было убито 3167 белых и 2664 чернокожих. Из числа убийств, жертвами которых были белые, 2574 (81,3 %) были совершены белыми преступниками и 500 (15,8 %) – чернокожими. Из числа убийств, жертвами которых стали чернокожие, 229 (8,6 %) были совершены белыми и 2380 (89,3 %) – чернокожими. Таким образом, заявление Лиддла о том, что чернокожие убивают в среднем 4000 чернокожих в год, является значительным преувеличением – примерно на 70 %. Учитывая, что в 2015 году чернокожие составляли всего 12,6 % населения США, а белые – 73,6 %, тревогу вызывает тот факт, что чернокожие составляют 45,6 % жертв убийств [121].


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 10. Статистика убийств за 2015 год в разбивке по расовой/этнической принадлежности жертвы и преступника. Диспропорции между данными в столбце «Итого» и общей суммой белых и черных жертв объясняются случаями, когда этническая принадлежность жертвы отличается или неизвестна


Данные о количестве людей, убитых полицией, получить сложнее, хотя эта проблема обсуждается гораздо шире. Убийство чернокожего подростка Майкла Брауна белым полицейским Дарреном Уилсоном и последующие протесты, охватившие город Фергюсон в штате Миссури, по сути и спровоцировали появление движения Black Lives Matter. Эти акции протеста также позволили вытащить на белый свет «ежегодный подсчет убийств, совершаемых полицией», который производит ФБР. Было установлено, что ФБР регистрирует менее половины всех убийств, совершенных полицией в США[122]. В ответ на это в 2014 году газета Guardian запустила свою кампанию под названием «Подсчитано», чтобы собрать более точные цифры. Проект был настолько успешным, что в октябре 2015 года бывший тогда директором ФБР Джеймс Коми признал «постыдным и нелепым» то, что Guardian располагала более качественными данными о количестве смертей среди гражданского населения от рук полиции, чем ФБР[123].

Согласно Guardian, из 1146 человек, «правомерно или неправомерно» (вторя Лиддлу) убитых полицией в 2015 году, 307 (26,8 %) были чернокожими, а 584 (51,0 %) – белыми (в то время как остальные жертвы принадлежали к иным этническим группам или их этническую принадлежность установить не удалось). И здесь цифры Лиддла сильно расходятся с фактами. Его «ежегодные 100 убийств чернокожих» полицией составляют менее трети от истинной величины.

Если Лиддл пытался ответить на вопрос «Кто чаще убивает черных в США – другие черные или копы?», то при использовании верных цифр он пришел бы к тому, что чернокожие убивают чернокожих почти в восемь раз (2380 против 307) чаще, чем полицейские. Однако такая постановка вопроса сама по себе ущербна. Вы поверили бы, что собаки – более опасные животные, чем медведи, скажи я, что в 2017 году собаки убили 40 граждан США, а медведи – только двух? Конечно, нет. Собаки по своей природе не опаснее медведей, их просто больше в США. Иными словами, с кем бы вы предпочли оказаться наедине в замкнутом пространстве – с медведем или с собакой? Не знаю, как вы, но я, пожалуй, выбрал бы собаку.

По той же причине, учитывая, что в США насчитывается более 40,2 миллиона чернокожих граждан и только 635 781 штатный сотрудник правоохранительных органов (те, кто носит огнестрельное оружие и значок)[124], неудивительно, что чернокожие совершают больше убийств, чем сотрудники правоохранительных органов. Более уместным для Лиддла был бы вопрос: «Кого больше должен опасаться идущий по улице в одиночку чернокожий гражданин США – другого чернокожего или сотрудника правоохранительных органов? Кто из этих двоих попытается его убить с наибольшей вероятностью?»

Чтобы выяснить ответ, необходимо сравнить количество убийств чернокожих, совершенных чернокожими и полицейскими, «на душу населения». Подушевые показатели, представленные в табл. 11, мы найдем, разделив общее число чернокожих жертв, убитых определенной группой (чернокожими или сотрудниками полиции), на величину этой группы. В 2015 году чернокожие стали виновными в 2380 убийствах других чернокожих, однако с учетом того, что в США проживает более 40,2 млн чернокожих граждан, подушевой показатель оказывается относительно небольшим – примерно 1 на 17 000. Полицейские («правомерно или неправомерно») несут ответственность за убийство 307 темнокожих людей в 2015 году. На 635 781 сотрудников полиции это составляет чуть менее 1 убийства на 2000 полицейских – в восемь с лишним раз больше, чем у чернокожих граждан США. Похоже, что чернокожий, идущий по улице, должен опасаться приближающегося к нему полицейского больше, чем другого чернокожего.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Табл. 11. Количество убийств, жертвами которых стал чернокожий, распределено по тому, к какой группе принадлежит убийца – является ли он чернокожим или сотрудником правоохранительных органов. Размеры этих двух групп населения также представлены и используются для расчета показателя убийств на душу населения


Конечно, мы не учли, что столкновения с полицией часто носят конфронтационный характер и что американская полиция, как правило, вооружена. Наверное, неудивительно, что те, кто уполномочен применять смертоносную силу, делают это чаще, чем население в целом. Используя те же самые математические приемы, мы можем показать, что белые также должны больше бояться сотрудников правоохранительных органов (показатель убийств белых полицейскими на душу населения составляет 1 на 1000 полицейских), чем других белых (показатель убийств белых белыми на душу населения составляет 1 на 90 000 белых), несмотря на то, что белые в целом убивают белых чаще, чем полицейские. То, что уровень убийств белых полицейскими на душу населения в два раза выше, чем уровень убийств чернокожих, объясняется тем, что в стране больше белых. Но сопоставление этих показателей, опять же, может быть тревожным сигналом, поскольку в США белых почти в шесть раз больше, чем чернокожих.

Статистика Лиддла, конечно, некорректна, но, пожалуй, более важно то, что его статья в Sun отвлекает внимание читателя от реальной статистики, которая лежит в основе движения Black Lives Matter, подменяя вопрос «Кого убивают чаще?» вопросом «Кто убивает чаще?» Важно, что на 12,6 % населения, которые составляют черные, приходится 26,8 % убийств, которые совершают полицейские, в то время как на 73,6 % населения, которые составляют белые, приходится лишь 51 % убийств. Существуют ли скрытые факторы (вроде искажающих переменных, встречавшиеся нам в предыдущей главе, когда мы обсуждали мнимые преимущества, которые курение родителей обеспечивает младенцам, рожденным с низким весом), что могли бы объяснить это несоответствие? Почти наверняка. Например, более бедные люди чаще совершают преступления, а в США чернокожий скорее будет бедным. Являются ли именно эти факторы причиной огромной диспропорции в статистике убийств, совершаемых полицейскими, или нет, еще предстоит выяснить.

Легкомысленное поедание свинины убивает [125]

Статья Лиддла была не первым и не последним примером вольного обращения таблоида Sun со статистикой. В 2009 году под мощным, надо признать, заголовком «Легкомысленное поедание свинины убивает» Sun сообщила об одном из многочисленных результатов 500-страничного исследования Всемирного фонда исследования рака – о влиянии ежедневного потребления 50 граммов мясных продуктов на развитие раковых заболеваний [126]. Таблоид шокировал читателей тем «фактом», что один бутерброд с беконом (если есть его каждый день) увеличивает риск рака толстой кишки на 20 %.

Но эта цифра (да и сама проблема) была дутой. Если говорить об абсолютном риске – доле людей, подвергшихся или не подвергшихся воздействию определенного фактора (например, употребляющих бутерброды с беконом или не употребляющих бутерброды с беконом), у которых в каждом случае ожидается развитие определенного исхода (например, рак), то получается, что 50 граммов мясных продуктов в день увеличивают абсолютный пожизненный риск развития рака толстой кишки с 5 до 6 %. Слева на рис. 19 мы сравниваем риски для двух групп по 100 человек. Из сотни любителей бекона (второй столбец) раком заболеет только на одного человека больше, чем в той сотне, которая воздерживалась от свинины.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 19. Сравнение абсолютных показателей (5 из 100 против 6 из 100) (слева) демонстрирует, что риск ежедневного потребления 50 г мясных продуктов незначителен. Однако на фоне относительно небольшого количества людей, страдающих этим заболеванием (справа), относительный прирост риска на 20 % (1 из 5) кажется очень большим


Вместо того чтобы использовать более объективный показатель абсолютного риска, Sun решила сосредоточить внимание на относительном риске – риске конкретного исхода (например, развития рака) для людей, подвергающихся воздействию определенного фактора риска (например, употребление в пищу бутербродов с беконом) относительно доли риска для популяции в целом. Если относительный риск выше единицы, то у человека, подвергшегося воздействию, вероятность развития заболевания выше, чем у человека, не подвергшегося такому воздействию. Если же он ниже единицы, то риск ниже. На правой стороне рис. 19 показано, как исключение из этого уравнения людей, не затронутых болезнью, заставляет прирост относительного риска (6/5 или 1,2) выглядеть гораздо более драматичным. Несмотря на то, что относительный риск для тех, кто употребляет в пищу 50 граммов мясных продуктов в день, увеличивается на 20 %, абсолютный риск увеличивается только на 1 %. Но такая цифра не поднимет продажи газеты. Конечно, заголовок статьи был достаточно провокационным, чтобы спровоцировать медийную истерику под лозунгом «Спасите наш бекон». Жонглирование цифрами привело к тому, что ученых, которые «объявили войну бекону», несколько дней клеймили в прессе как «нацистов от здорового образа жизни».

Еще один медийный трюк, направленный на привлечение внимания, заключается в намеренном изменении нашего представления о том, что надо считать «нормальным» распределением. Наиболее честный способ представить относительный риск – это показать повышение или снижение риска для конкретной подгруппы по сравнению с фоновым риском для населения в целом. Иногда в качестве исходного показателя используются уровни риска заболеваний для самой большой подгруппы населения, и любые отклонения в показателях риска сообщаются по отношению к уровню риска для этой подгруппы. Когда заболевание встречается редко, не подверженная ему группа в любом случае составляет почти все население, поэтому уровень риска для не подверженной заболеванию подгруппы имеет значение, достаточно близкое к уровню общепопуляционного риска. Возьмем отчеты о риске заболевания раком молочной железы, например, для женщин с генетическими мутациями BRCA1 или BRCA2. Имеет смысл говорить об увеличении абсолютного риска для 0,2 % женщин с этими мутациями по отношению к населению в целом, а не о снижении риска для 99,8 % женщин, не имеющих таких мутаций. К сожалению, с таким объективным и честным подходом кричащих заголовков не создашь, поэтому мы часто видим, как тенденциозно многие крупные новостные агентства подают статистику в погоне за тиражами.

В 2009 году Daily Telegraph опубликовала статью под заголовком «Девять из десяти человек обладают геном, повышающим вероятность развития гипертонии». В ней, в частности, говорилось: «Ученые обнаружили, что один вариант гена, носителем которого является почти 90 % населения, повышает вероятность развития гипертонии на 18 %». Данные же, опубликованные в журнале Nature Genetics, на которые и ссылалась Daily Telegraph, состояли в том, что у 10 % населения обнаружилась генетическая вариация, которая снижала для них риск на 15 % по сравнению с 90 % остального населения [127]. Не было в журнальной статье и показателя в 18 %. Изложение в Telegraph технически было верным, но журналисты намеренно подменили референтную группу, по отношению к которой высчитывалось изменение риска. Если в Nature Genetics такой группой было население в целом, то в Telegraph ею стала небольшая (составляющая 10 %) группа с пониженным уровнем риска. Так как снижение референтного показателя на 15 % от единицы составляет 0,85, автор статьи решил, что для того, чтобы привести его обратно к единице, необходимо увеличить его примерно на 18 %. За счет математического трюка Telegraph не только поднял размер относительного риска, но и сумел превратить то, что могло бы стать хорошей новостью для 10 % населения, в плохую новость для 90 % населения. Telegraph вовсе не одинок в манипулировании цифрами – многие другие газеты раскручивали эту историю в такой же сомнительной манере, чтобы завлечь аудиторию.

Часто, прочитав истеричную статью, вы не обнаруживаете в ней данных об абсолютных рисках – как правило, это два небольших значения (уж конечно, никогда не превышающие 100 %): одно для тех, кто подвергается описываемому состоянию или вмешательству, а второе – для остальной популяции. В других случаях журналисты утверждают, что риск возрастает или уменьшается более чем для половины населения. В такой ситуации стоит прежде всего тщательно взвесить доводы авторов статьи. Если вы хотите узнать правду, стоящую за заголовками, поищите публикации, предоставляющие абсолютные статистические данные по заинтересовавшей вас проблеме, или даже попробуйте найти ту научную статью, в которой такие данные приведены впервые, – все чаще доступ к таким статьям в интернете можно получить бесплатно.

Перенастройка мозга

Газеты ни в коем случае не одиноки в манипулировании данными о рисках и вероятностях. В медицинской сфере игры со статистикой также нередки, особенно в области оценки и представления рисков, связанных с выбором того или иного вида лечения, или при оценке эффективности лекарств и их побочных эффектах. С помощью таких игр заинтересованные стороны стремятся продвинуть свою концепцию. Один из простейших способов предложить нужную интерпретацию состоит в том, чтобы подать цифры в положительном или отрицательном свете. В одном исследовании 2010 года участников познакомили с набором описаний медицинских процедур, в которых фигурировали числа. Участников просили оценить, насколько рискованными они посчитают эти процедуры, исходя из полученных описаний, по шкале от одного (никакого риска) до четырех (очень рискованно)[128]. В числе предложенных описаний были такие: «Мистеру Роу требуется операция; после такой операции 9 из 1000 пациентов умирают» и «Мистеру Смайту нужна операция; после такой операции выживает 991 из 1000 пациентов». Подумайте, на чьем месте вы предпочли бы оказаться – мистера Роу или мистера Смайта?

Конечно, в этих двух утверждениях одна и та же статистика обрамляется двумя противоположными способами: в первом случае используются показатели смертности, а во втором – выживаемости. Участники с низкими навыками счета посчитали, что уровень риска, описанного в позитивных тонах (показатель выживаемости пациентов), почти на целый пункт ниже. Даже люди с более высокими навыками счета считали риск, описанный в негативных тонах, более высоким.

При изучении результатов медицинских испытаний положительные результаты нередко преподносят в относительном выражении, чтобы максимизировать их предполагаемую пользу, в то время как побочные эффекты сообщаются в абсолютном выражении, чтобы свести к минимуму видимость их риска. Эту очень распространенную практику (анализ показал, что примеры ее использования встречаются примерно в трети статей о вреде и пользе медицинского лечения, опубликованных в трех ведущих медицинских журналах мира [129]) называют некорректным фреймингом [130].

Что еще более тревожно, этот прием широко применяется и в литературе для пациентов. В конце 1990-х годов Национальный институт рака США (NCI) создал «Пособие по оценке риска развития рака груди», чтобы просвещать общественность о возможности появления заболевания. В числе другой справочной информации на сайте сообщалось о результатах недавнего клинического исследования с участием более 13 тысяч женщин с повышенным риском развития рака груди, в ходе которого были оценены преимущества и потенциальные побочные эффекты препарата тамоксифен [131]. В ходе исследования женщин разделили на две примерно равные группы. Первой группе вводили тамоксифен, а второй, контрольной, – плацебо.

В конце пятилетнего исследования для оценки воздействия препарата организаторы сравнили количество женщин с инвазивным раком груди в каждой группе, а также количество женщин с другими видами рака. В своем «Пособии» NCI сообщил о снижении относительного риска: «У женщин [принимавших тамоксифен] инвазивный рак груди диагностировался примерно на 49 % реже». Цифра в 49 % кажется очень серьезной. Однако количественный показатель возможных побочных эффектов был представлен как абсолютный риск: «…ежегодный уровень развития рака матки в группе, принимавшей тамоксифен, составил 23 на 10 000 по сравнению с 9,1 на 10 000 в группе, принимавшей плацебо». Эти крошечные доли, похоже, должны были указывать на то, что риск развития рака матки при лечении тамоксифеном практически не меняется. Сознательно или нет, собирая данные для предоставления их в интернете, исследователи NCI подчеркивали преимущества тамоксифена для снижения заболеваемости раком груди, одновременно отвлекая внимание от повышения риска развития рака матки. Если бы авторы отчета описывали риски, оперируя статистическими данными одного типа, им пришлось бы указать, что, снижая риск развития рака молочной железы на 49 %, их препарат увеличивает риск развития рака матки на 153 %.

Даже в аннотации к статье степень снижения риска развития рака груди дана как процентная величина (49 %), а степень увеличения риска развития рака матки – как относительный коэффициент риска (2,53). Использование процентного соотношения вместо десятичных цифр, чтобы подчеркнуть воспринимаемую выгоду, – еще один трюк, известный как смещение соотношения [132]. Люди очень восприимчивы к такому когнитивному искажению, что прекрасно иллюстрирует серия простых экспериментов, в которых испытуемых с завязанными глазами просят наугад выбрать мармеладку из лотка [133]. Если испытуемому удается вытащить красную мармеладку, он выигрывает символический доллар. Для начала испытуемому предлагают выбрать лоток – с девятью белыми мармеладками и одной красной или с 91 белой и девятью красными. Второй лоток выбирают чаще, несмотря на то что математически с этим лотком у испытуемого меньше шансов на выигрыш. Считается, что, видя больше красных мармеладок, человек инстинктивно решает, что вероятность выбрать одну из них все же больше – независимо от количества других мармеладок. Один из участников эксперимента прокомментировал это так: «Я выбрал те лотки, где было больше красных мармеладок, потому что мне казалось, что там больше возможностей вытащить призовую мармеладку».

Абсолютные цифры исследования тамоксифена показали, что случаи инвазивного рака молочной железы сократились с 261 на 10 000 без лечения до 133 на 10 000 с ним. Откажись создатели «Пособия» от смещения соотношения и некорректного фрейминга в пользу абсолютных цифр, пользователи этого инструмента легко заметили бы, что общее число предотвращенных случаев рака молочной железы (128 на 10 000) значительно выше числа случаев возникновения рака матки, вызванных лечением (14 на 10 000). Так что в этом случае манипулировать исходными клиническими данными не было вообще никакой необходимости.

Регрессивное отношение

Вполне возможно, что большинство статистических искажений в медицинском контексте возникает неосознанно – просто исследователи не знают о некоторых распространенных статистических ловушках. Характерная особенность клинических исследований, в частности, – проверка перспективного способа лечения на группе нездоровых людей с параллельным мониторингом их состояния для оценки воздействия медикамента. Если симптоматика спадает и пациенты идут на поправку, то положительная оценка препарата представляется вполне естественной.

Представим, например, что вы собрали большую группу людей, страдающих от боли в суставах, и попросили их сидеть спокойно, пока их будут жалить пчелы. Звучит абсурдно, но это реальный вид альтернативной терапии – апипунктура. Лечение укусами пчел в последнее время набирает популярность, отчасти благодаря той рекламе, которую ей делает Гвинет Пэлтроу, пропагандируя апипунктуру на своем сайте о стиле жизни Goop. Теперь представим, что боль в суставах у некоторых страдальцев чудесным образом проходит и они после сеансов начинают чувствовать себя в целом лучше. Можно ли сделать вывод, что апипунктура на самом деле является эффективным способом лечения боли в суставах? Скорее всего, нет. Никаких научных доказательств эффективности апипунктуры для лечения какого бы то ни было расстройства не существует. Более того, известно, что лечение пчелиным ядом часто вызывает отрицательные последствия, – зафиксирован по меньшей мере один летальный исход. Как же тогда объяснить положительные результаты нашего гипотетического исследования? Что вызывает улучшение состояния пациентов?

Острота таких расстройств, как боль в суставах, с течением времени колеблется. Вполне вероятно, что на участие в испытаниях – особенно в таких экстремальных и нестандартных, как апипунктура, – соглашаются те, кто находится в самом тяжелом положении и отчаянно нуждается хоть в каком-то облегчении своего недуга. Если сеанс лечения проводится на фоне острой боли, то через некоторое время они весьма вероятно почувствуют себя лучше – вне зависимости от результативности лечения. Это явление называют регрессией к среднему значению. Оно проявляется во многих исследованиях, в которых присутствует элемент случайного разброса результатов.

Чтобы лучше понять, как работает регрессия к среднему, рассмотрим результаты экзамена. Возьмем крайний случай, когда студентам предлагается ответить на 50 вопросов с ответами «да» или «нет» по предмету, о котором они ничего не знают. Если студенты будут выбирать ответы исключительно наугад, результаты теста будут варьироваться от нуля до 50, но тех, кто угадает почти все правильно, будет совсем немного – как и тех, кто не угадает почти ничего. Из распределения баллов, приведенного на рис. 20, видно, что средний балл большинства экзаменуемых будет ближе к среднему арифметическому значению 25. Если проанализировать баллы тех, кто попал в 10 % лучших, то они по определению будут значительно выше, чем в среднем по всей группе. Но покажут ли они результаты значительно выше среднего, если их протестировать повторно, со свежими вопросами? Конечно, нет. Мы будем вновь ожидать, что их оценки равномерно распределятся вокруг среднего балла 25. То же самое будет верно и при перепроверке нижних 10 %. Набравшие экстремально высокие и экстремально низкие баллы в первом тесте во втором, как правило, вернутся к среднему показателю.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 20. Распределение баллов при прохождении теста из 50 вопросов с многовариантными ответами «да/нет». При повторном тестировании тех, кто набрал наивысшие 10 % баллов (заштрихованная область справа), их средний балл совпадает со средним общим баллом. То же самое относится к низшим 10 % (заштрихованная область слева). Группы, получившие как высшие, так и низшие баллы, регрессировали в сторону среднего значения


Результат реальных экзаменов в значительной степени будет определяться навыками и трудовой этикой, однако нельзя исключать и элемент везения, который проявляется как в наборе вопросов, выпадающих на экзамене, так и в приоритетности предметов для повторного экзамена. Регрессия к среднему способна выявить такой эффект – если он имел место. Элемент случайности особенно заметен на экзаменах с многовариантным набором ответов, из которых даже студент, не обладающий необходимыми знаниями, может угадать правильный. В одном исследовании, проведенном в 1987 году, 25 подверженных «экзаменационной панике» американских студентов, которые неожиданно плохо справились с тестом на проверку академических способностей (SAT), прошли повторное тестирование, предварительно приняв пропранолол – лекарство от гипертонии [134]. Газета New York Times сообщала о результатах исследования так: «Препарат, используемый для лечения высокого кровяного давления, резко улучшил результаты теста на проверку академических способностей у студентов, страдающих от необычайно сильной тревожности…». Студенты, принимавшие пропранолол, значительно повысили свои оценки – в среднем на 130 баллов по шкале от 400 до 1600. Поначалу кажется, что пропранолол – невероятно действенное средство. Оказывается, однако, что даже ученики, которые не нервничали перед тестом, при повторной сдаче улучшают свои оценки примерно на 40 баллов. Если учесть, что студенты, отобранные для исследования, были выбраны именно потому, что они показали результаты хуже, чем предполагалось по их IQ или другим академическим показателям, они вполне могли бы и без пропранолола значительно повысить свои баллы в результате регрессии к среднему.

Без контрольной группы студентов, получивших такие же низкие баллы на первом тесте и прошедших переэкзаменовку без препарата, эффект его воздействия определить нельзя. Очень соблазнительно было бы приписать прогресс студентов воздействию пропранолола, основываясь только на результатах получавшей его группы. Однако итоги случайного теста с многовариантными ответами показывают, что регрессия групп, показавших экстремальные результаты, к среднему значению является чисто статистическим феноменом.

В медицинских исследованиях очень важно не путать причину со следствием (не говоря уже о подтасовке причинно-следственных связей). Один из способов предотвратить это (как мы уже видели в главах 2 и 3) – рандомизированное контролируемое исследование, в котором пациенты распределяются случайным образом по двум группам. Как и в исследовании тамоксифена (средства от рака груди), пациенты в группе лечения получают настоящую терапию, а пациенты в контрольной группе – плацебо. Если и пациенты, и организаторы не знают, в какой из групп находится конкретный пациент, исследование называют двойным слепым. Это считается золотым стандартом клинических испытаний. При двойном слепом рандомизированном контролируемом исследовании любая разница между улучшением в контрольной группе и улучшением в группе лечения может быть надежно отнесена исключительно на счет лечения, исключая регрессию к среднему.

Исторически любое улучшение пациентов в контрольной группе исследования привыкли называть эффектом плацебо – ощущением пользы от терапии, которую испытуемый считает лечением, даже если это всего лишь таблетка-пустышка. Однако становится все более очевидным, что он складывается из двух совершенно разных явлений. Первое – подлинный психосоматический эффект, который заставляет пациентов чувствовать себя лучше только потому, что они верят в факт лечения. Этот эффект истинного плацебо реально изменяет оценку пациентом своих симптомов – до некоторой степени. Психосоматический эффект усиливается, если пациент знает, что его лечат по-настоящему, и, что интересно, он усиливается, даже если об этом знает только тот, кто проводит лечение, – отсюда и необходимость двойного слепого исследования. Впрочем, психосоматический аспект, по всей видимости, оказывает наименьшее влияние на формирование и интенсивность эффекта плацебо.

Вторая, возможно, более значимая причина улучшения состояния пациентов в контрольной группе, – регрессия к среднему. Этот простой статистический эффект не приносит никакой пользы пациентам вообще. Единственный способ определить, какой из двух компонентов эффекта плацебо оказывает наибольшее воздействие, – сравнить результаты «лечения» в контрольных группах с результатами группы, которая не получает лечения вообще. Эти виды испытаний часто считают неэтичными, но в прошлом их провели достаточно много, чтобы показать, что большинство эффектов плацебо на самом деле являются результатом регрессии к среднему [135].

Многие сторонники альтернативной медицины утверждают, что даже если их лечение является не более чем эффектом плацебо, польза от него может быть значительной и стоит того. Тем не менее, если бóльшая часть эффекта плацебо вызвана регрессией к среднему, который не дает никакой реальной пользы для пациента, этот аргумент неубедителен. Другие гуру альтернативной медицины утверждают, что ставку нужно делать не на «искусственные клинические испытания», а на «реальные результаты» – иными словами, на «неконтролируемые результаты испытаний, которые фиксируют только то, как меняется состояние пациента после лечения». Неудивительно, что шарлатаны цепляются за любой аргумент, который позволяет им выдавать последствия регрессии к среднему за благоприятный эффект их знахарства. Лауреат Пулитцеровской премии Эптон Синклер сказал: «Трудно заставить человека понять хоть что-то, когда его зарплата зависит от его непонимания».

* * *

Эффект регрессии к среднему оказывает сильнейшее влияние на интерпретацию причинно-следственных связей не только в медицине, но и в законотворчестве. 16 октября 1991 года 32-летняя Сюзанна Гратиа Хапп зашла со своими родителями в кафе в техасском городке Киллин. В обеденное время кафе было забито – за квадратными столиками теснились полторы сотни голодных клиентов. В 12:39 лишившийся работы моряк торгового судна Джордж Хеннард протаранил своим голубым пикапом Ford Ranger витрину кафе и въехал прямо в обеденную зону. Выпрыгнув с водительского места с пистолетами Glock 17 и Ruger P89, он открыл стрельбу[136].

Решив поначалу, что происходит вооруженное ограбление, Сюзанна и ее родители упали на пол и перевернули стол, создав импровизированный барьер между собой и стрелком. Но выстрел раздавался за выстрелом, и Сюзанна с ужасом поняла, что мужчина не грабитель: этот человек пришел для того, чтобы убивать – убивать без разбора и как можно больше.

Стрелок остановился в нескольких метрах от их стола, и Сюзанна схватила свою сумочку. В ней она носила 38-миллиметровый Smith & Wesson, который ей подарили для самообороны несколько лет назад. Однако, когда она потянулась за пистолетом, ее кровь застыла в жилах. Сюзанна вспомнила, что предусмотрительно оставила револьвер под сиденьем своего автомобиля, чтобы не нарушать техасский закон о скрытом ношении оружия. Потом она называла это «самым глупым решением в жизни».

Отец Сюзанны отважно решил схватить стрелка, прежде чем тот перестреляет всех в кафе. Он выскочил из-за стола и рванулся к Хеннарду – но не прошел и нескольких футов. Выстрел в грудь бросил его, смертельно раненного, на пол. В поисках новых жертв Хеннард отошел от стола, за которым скрывались Сюзанна и ее мать. В то же время другой клиент, Томми Вон, бросился в окно в задней части ресторана в отчаянной попытке спастись. Увидев в разбитом окне путь к спасению, Сюзанна схватила свою мать, Урсулу, уговаривая ее бежать, убираться с места бойни. Рванувшись изо всех сил, Сюзанна выскочила в разбитое окно и оказалась невредимой снаружи ресторана. Она оглянулась убедиться, что мать последовала за ней, но обнаружила себя в одиночестве. Урсула подползла к телу умирающего мужа и прижала его голову к груди. Медленно, размеренно, неотвратимо Хеннард приблизился к месту, где она застыла, и выстрелил ей в голову.

Тогда Хеннард застрелил 23 человека, считая родителей Гратиа. Еще 27 были ранены. На тот момент это было самое кровавое массовое убийство в истории США. Сюзанна проехала по всей стране, горячо выступая в поддержку легализации скрытого ношения оружия. До бойни в Киллине в 1991 году законы о скрытом ношении оружия действовали в десяти штатах. Согласно этим законам, при условии соблюдения заявителем ряда объективных критериев, он получал разрешение на скрытое ношение оружия без ограничений. С 1991 по 1995 год аналогичные законы приняли еще 11 штатов, а 1 сентября 1995 года Джордж Буш подписал закон, сделавший Техас 12-м.

Право на ношение и свободную продажу оружия – очень чувствительный вопрос в США, поэтому огромный интерес к влиянию законов, разрешающих его скрытое ношение, на уровень насильственных преступлений, вполне понятен. Сторонники контроля над оружием настаивали, что либерализация скрытого ношения может привести к тому, что незначительные конфликты будут выливаться в смертельные разборки, а преступные группировки получат новый, легальный, источник вооружения. Лоббисты права на свободное ношение оружия утверждали, что потенциальный преступник дважды подумает, прежде чем напасть на вооруженного человека, а располагающие оружием граждане могут попытаться быстрее положить конец массовым убийствам. Первые исследования, сравнивающие показатели преступности до введения таких законов и после, свидетельствовали, что показатели убийств и насильственных преступлений снижались сразу же после принятия закона о скрытом ношении оружия [137].

Однако в этих исследованиях, как правило, игнорировались два фактора. Первым из них было общее снижение уровня насильственных преступлений по всей стране, пришедшееся как раз на период введения большинства законов о скрытом ношении оружия. Также с 1990 по 2001 год выросло число полицейских и число заключенных, а «эпидемия крэка» пошла на спад – все это способствовало сокращению числа убийств по всей территории США в среднем с 10 на 100 тысяч человек до 6 на 100 тысяч человек в год [138]. Количество убийств в штатах, где действуют и не действуют законы о скрытом ношении оружия, упало примерно одинаково. Когда сравнивают количество убийств в США в целом с количеством убийств в штатах, где действует разрешение на ношение скрытого оружия, уровень последних выглядит не слишком выдающимся, что подрывает доводы о сильном влиянии этих законов на криминогенную обстановку. Возможно, еще более важным является вывод из одного исследования, что после учета регрессии к среднему показателю, данные «…не подтверждают гипотезу о том, что законы о скрытом ношении оружия оказывают благотворное влияние на снижение уровня убийств»[139]. Обычно штаты принимали такие законы в ответ на рост уровня насильственных преступлений. Но из того, что уровень насильственных преступлений падал после принятия законов, совсем не следует, что он падал вследствие него. Напротив, именно относительный рост убийств, как правило, и становился причиной принятия таких законов. Но это создало ложное впечатление об их эффективности, поскольку после их принятия уровень преступности естественным образом опускался с аномально высокого до среднего уровня.

Ловля на лжеца

Споры вокруг законов об оружии в США продолжают бушевать и сегодня. После стрельбы в Лас-Вегасе в октябре 2017 года, в ходе которой 58 человек погибли и сотни получили ранения, Себастьян Горка, незадолго до того освобожденный от своих обязанностей в Белом доме[140], принял участие в круглом столе по вопросам контроля над оружием. Горка, который, как мы видели в начале главы, не чурается смелых, но необоснованных заявлений, ввязался в дискуссию об ограничении продаж оружия и принадлежностей к нему и перевел разговор в неожиданное русло:

«…Дело не в неодушевленных предметах. Наша главная проблема – это не массовые убийства с применением огнестрельного оружия, это аномалия. Законы нельзя основывать на исключениях из правил. Наша главная проблема – это преступления с применением огнестрельного оружия одних черных африканцев против других… молодые чернокожие убивают друг друга толпами».

Если предположить, что Горка имел в виду афроамериканцев, то это очень похоже на пересказ той недостоверной статистики, которую мы разбирали ранее в настоящей главе. Повторяющиеся вольности Горки по отношению к информации – хороший пример особенно опасных, серийных, злоупотреблений статистикой. Люди, однажды пренебрегшие точностью цифр, которыми они оперируют, вряд ли станут более скрупулезны в будущем. Гленн Кесслер из Washington Post, один из пионеров политического факт-чекинга [141], регулярно анализирует и оценивает заявления политиков по шкале от одного до четырех «пиноккио», в зависимости от степени их лукавства. Одни и те же имена появляются в его отчетах снова и снова.

Есть и другие, менее заметные признаки, указывающие на манипуляцию статистикой. Если выступающий уверен в точности своих выкладок, то он не побоится предоставить аудитории контекст и источник для проверки. Отсутствие контекста – как в твите Горки о терроризме – явный признак неправдоподобия или недобросовестности. Отсутствие деталей опроса, включая размер выборки, задаваемые вопросы и источник выборки – как в рекламной кампании L’Oreal, – еще один предупреждающий сигнал. Некорректный фрейминг, разнородные процентные показатели, индексы, относительные величины без абсолютных – как в «Пособии по оценке риска развития рака молочной железы» от NCI – должны немедленно вас насторожить. Ложные выводы о причинно-следственных связях, сделанные на основе неконтролируемых исследований или тенденциозно подобранных данных, как часто бывает с результатами «клинических» испытаний методов и препаратов альтернативной медицины, – это тоже попытки манипуляции, которых стоит опасаться. Если изначально исключительно низкие (или высокие) статистические показатели внезапно растут (или падают) – как в случае с преступлениями с применением огнестрельного оружия в США, – ищите регрессию к среднему.

Вообще, когда вас пытаются засыпать ворохом статистических данных, спросите себя: «Что мы сравниваем и с чем?», «Кому это может быть выгодно и почему?» и «Исчерпывающа ли информация?» Поиск ответов на эти три вопроса должен провести вас по долгому пути к определению достоверности данных. А если вы не можете найти ответы – это уже другая история.

Есть множество способов извлечь из правды выгоду при помощи математики. Статистические данные, которыми оперирует медиа, реклама и политики, часто недостоверны, иногда искажены, но почти никогда не являются полностью неверными. В них обычно скрыты зерна истины, но очень редко – истина во всей ее полноте. Иногда эти искажения делают злонамеренно, а порой манипулятор и сам не подозревает об ошибках в своих расчетах или о том, что опирается на предвзятые данные. В следующей главе мы рассмотрим катастрофические последствия таких реальных математических ошибок в более громких случаях.

В своей классической книге «Как лгать при помощи статистики» Даррелл Хафф утверждает, что «несмотря на свою математическую базу, статистика – это такое же искусство, как и наука». В конечном счете наше доверие к статистике, с которой мы сталкиваемся, должно зависеть от полноты картины, нарисованной для нас. Если это богатый деталями реалистичный пейзаж с контекстом, надежным источником, четкой экспозицией и цепочками рассуждений, то мы можем быть уверены в достоверности цифр. Если же это сомнительная фантазия, подкрепленная крохами бессвязных статистических данных на пустом в остальном холсте, то надо хорошенько подумать, верить ли такой «правде».

Глава 5

Не то место, не то время: эволюция систем счисления и их просчеты

Алекс Россетто и Люк Паркин учились на втором курсе университета Нортумбрии по специальности «спортивная наука». В марте 2015 года они записались на тест, целью которого было изучение влияния кофеина при физических нагрузках. Студенты должны были получить 0,3 грамма кофеина, а затем проделать ряд упражнений. Вместо этого из-за простой математической ошибки они оказались в реанимации, на грани жизни и смерти.

Приняв кофеин, растворенный в смеси апельсинового сока и воды, Россето и Паркин приготовились начать стандартный анаэробный тест Вингейта на физическую готовность. Их попросили крутить педали велотренажера изо всех сил, чтобы увидеть, как кофеин влияет на анаэробную пиковую мощность. Но Алекс и Люк не успели даже подойти к велотренажерам – практически сразу после приема кофеинового коктейля у них началось головокружение, потемнело в глазах и стало сильно колотиться сердце. Их сразу же отвезли в отделение неотложной помощи и поставили им диализные аппараты. За несколько дней Россетто и Паркин потеряли в весе по дюжине килограмм.

Организаторы теста ошиблись при расчете дозы кофеина, выдав испытуемым вместо 0,3 грамм невероятные 30 граммов порошкообразного кофеина, что было эквивалентно 300 чашкам обычного кофе. Алекс и Люк «выпили» их за пару секунд. Смертельной дозой для взрослых, как известно, является десять грамм. К счастью для Паркина и Россето, оба были достаточно молоды и здоровы, чтобы выдержать гигантскую передозировку с небольшим количеством осложнений.

Ошибка возникла из-за того, что проводящие тест исследователи перенесли в своих мобильных устройствах десятичную точку [142] на две позиции вправо, превратив 0,30 грамма в 30 граммов. Это не первый случай, когда оказавшийся не в том месте десятичный разделитель приводит к драматическим последствиям – от смешных до нелепых и даже фатальных.

Весной 2016 года строитель Майкл Сёрджент, завершив недельную работу, отправил заказчику счет-фактуру на 446,60 фунтов. Через пару дней он с восторженным изумлением обнаружил, что его банковский счет вырос на 44 660 фунтов – директор компании, которой он выставил счет, поставил десятичный разделитель не в том месте. Несколько дней Сёрджент вел жизнь рок-звезды. Он потратил тысячи фунтов на новую машину, наркотики, выпивку, азартные игры, дизайнерскую одежду, часы и украшения, пока полиция наконец не остановила его. Сёрджент был вынужден вернуть оставшиеся деньги и искупить свою мелкую беспринципность на общественно-полезных работах.

Десятичный разделитель вполне можно политизировать и в общенациональном масштабе. Так, накануне всеобщих выборов 2010 года в Великобритании Консервативная партия опубликовала документ, привлекающий внимание к разрыву между богатыми и бедными районами Великобритании, образовавшемуся при действующем лейбористском правительстве. В документе утверждалось, что в самых бедных районах страны 54 % девочек забеременели в возрасте до 18 лет (по сравнению с 19 % в самых богатых районах). Однако резкий выпад против 13-летнего правления лейбористов, усугубившего социальное неравенство, обернулся фарсом, когда представители лейбористов и обозреватели указали, что на самом деле эти цифры составляли лишь 5,4 и 1,9 %. Небрежность с десятичным разделителем была вопиющей сама по себе. Что хуже, политические оппоненты консерваторов тут же отметили, что безапелляционность их утверждения, что в некоторых районах более половины девочек беременеют в подростковом возрасте, ясно свидетельствует о том, насколько далеки консерваторы от реальных проблем своего электората. Впрочем, конфуз из-за неправильно поставленных десятичных знаков не помешал консерваторам победить на всеобщих выборах 2010 года; эта ошибка оказалась не смертельной.

Однако для 85-летней пенсионерки Мэри Уильямс неразбериха с десятичным разделителем окончилась фатально. 2 июня 2007 года участковая медсестра Джоан Эванс, подменявшая коллегу, посетила миссис Уильямс. Эванс должна была сделать страдающей диабетом старушке регулярный укол инсулина. Она наполнила инсулиновую шприц-ручку необходимыми 36 «мерами» инсулина, но, когда она попыталась сделать укол, ручку заклинило. Заклинило и две другие ручки, которые были у Эванса. Беспокоясь о том, что случится с миссис Уильямс, если она не получит инсулин, медсестра вернулась в машину за обычным шприцем. Ручки имели разметку в «мерах» инсулина, а шприц – в миллилитрах, но Эванс знала, что каждая «мера» соответствует 0,01 миллилитра. Она наполнила 1-миллилитровый шприц и сделала пациентке укол – повторив процесс трижды, чтобы ввести нужную дозу. Ее не насторожило то, что ей пришлось делать несколько инъекций, хотя прежде другим пациентам вполне хватало одной. Завершив работу, она продолжила обход. Лишь позже она поняла, что совершила ужасную ошибку: вместо того, чтобы ввести 0,36 миллилитра инсулина, она дала миссис Уильямс 3,6 миллилитра – в десять раз больше. Она сразу же вызвала врача, но к тому времени миссис Уильямс уже скончалась от инфаркта, вызванного передозировкой инсулина.

Героев этих рассказов легко высмеивать за очевидные ляпы, но обилие таких историй свидетельствует, что простые ошибки возможны, что они случаются часто – и с самыми серьезными последствиями. Отчасти эта тяжесть вызвана особенностями десятеричной системы счисления и записи. В таком числе, как 222, каждая двойка представляет собой разное число: 2, 20 и 200, причем каждое из них в десять раз больше последующего. Десятикратный коэффициент масштабирования и делает ошибку при постановке десятичного разделителя столь серьезной. Используй мы двоичную систему счисления (где каждый знак лишь вдвое больше последующего), на которой основана вся наша современная компьютерная технология, мы, возможно, смогли бы избежать таких последствий. Инъекция вдвое большего объема инсулина или употребление даже четырехкратного объема кофеина, возможно, не вызывали бы подобных осложнений.

В этой главе мы познакомимся с тем, как системы, «пронумеровывающие» нашу повседневную жизнь, приводят к ошибкам, которые очень дорого нам обходятся. Мы раскроем зачастую незаметное влияние давно, казалось бы, исчезнувших систем счисления, которые проливают свет на события нашей истории и на особенности нашей биологии. Мы обнаружим свойственные этим системам недостатки и взглянем на разрекламированные альтернативные системы, которые помогают избежать распространенных ошибок. Мы проследим за естественным отбором наших систем счисления – как они заходят в тупик в своем развитии и как следуют пересекающимися маршрутами вместе с развитием цивилизации. Как и в случае с культурными предрассудками, мы выявим математическое мышление, которое настолько глубоко укоренилось в нашем подсознании, что мы даже не осознаем, как оно формирует и ограничивает наши интересы.

Место

Полное название современной системы счисления, которой мы пользуемся, – система десятичных разрядных значений. Разрядных – потому что одна и та же цифра в другой позиции (разряде) может иметь другое числовое значение. Десятичных – потому что каждая цифра в соседней позиции представляет собой число в десять раз больше или меньше своего соседа. Коэффициент умножения между разрядами – 10 – называется основанием. Мы используем именно десятичное основание, а не какое-то другое, скорее в силу биологического случая, а не тщательно продуманного плана. Хотя некоторые из наших предков выбрали другую основу, подавляющее большинство культур, разработавших числовые системы (армяне, египтяне, греки, римляне, индийцы, китайцы и т. д.), выбрали десятичную систему. Все просто: когда мы поняли необходимость счета, мы начали использовать для этого пальцы – во многом так же, как учим наших детей считать и сегодня.

Хотя система счисления на десятичном основании была наиболее распространенной у наших предков, некоторые культуры выбрали другие основания, исходя из различных аспектов нашей биологии. Индейцы юки, проживающие на территории Калифорнии, ведут восьмеричный счет, используя в качестве маркеров пространство между пальцами, а не сами пальцы. Шумеры основанием системы счисления избрали число 60. Его они получили, подсчитав 12 суставов четырех пальцев правой руки большим пальцем и откладывая пять раз по 12 (в сумме 60) на пяти пальцах левой руки. Народность оксапмин на Папуа Новой Гвинее используют 27-ричную систему: подсчет начинается с большого пальца на одной руке (1), перемещается вверх и вниз по рукам и шее через нос (14) и заканчивается на мизинце другой руки (27). Так что десять пальцев – вовсе не единственные части тела, вдохновившие человечество на создание системы счисления, но они были наиболее очевидными, поэтому наши предки на заре математики чаще всего использовали именно их.

Создав систему счисления, культура получает возможность развития высшей математики, которую можно было бы использовать в практических целях. Многие из древнейших человеческих цивилизаций владели весьма развитым математическим аппаратом. К третьему тысячелетию до нашей эры египтяне, например, могли складывать, вычитать, умножать и использовать простые дроби. Соответственно, они знали формулу объема пирамиды, и есть свидетельства того, что они обнаружили прямоугольные треугольники со сторонами длиной 3, 4 и 5 – так называемую пифагорову тройку – задолго до Пифагора. Египтяне использовали распространенную десятеричную систему счисления, но не пользовались разрядами [143]. Вместо этого у них были отдельные иероглифы для разных степеней десяти. Эти пиктограммы чисел не нужно было записывать в каком-то определенном порядке – египтяне узнавали их значение просто на взгляд. Число 1 изображалось всего лишь одним штрихом – почти так, как мы делаем сегодня; 10 – хомутом, 100 – бухтой веревки, а 1000 – изящной водяной лилией. Согнутый палец обозначал 10 000, жаба – 100 000, а бог Хех – олицетворение бесконечности или вечности – 1 000 000. Миллион для древних египтян был очень большим числом. Если они хотели изобразить число 1999, они рисовали одну водяную лилию, девять бухт веревки, девять хомутов и девять вертикальных штрихов. Несмотря на громоздкость, для чисел менее миллиарда эта система работает достаточно хорошо. Однако, если бы египтяне смогли представить число звезд во Вселенной (считается, что порядка септиллиона – 1 000 000 000 000 000 000 000 000 в нашей десятичной записи), им пришлось бы нарисовать бога Хеха квинтиллион (миллиард миллиардов) раз, что, конечно, не очень практично.

Римляне были во многом более развитой цивилизацией, чем египтяне. Известно, что они широко использовали такие изобретения, как книги, бетон, дороги, домашняя канализация и система общественного здравоохранения. Однако их система счисления была более примитивной. Они использовали семь символов: I, V, X, L, C, D и M – для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 соответственно. Понимая, что их система цифр несколько громоздкая, римляне всегда записывали числа слева направо, от самых больших до самых маленьких, поэтому символы можно было просто сложить вместе. Так, MMXV читалось бы: 1000 + 1000 + 10 + 5 или 2015.

Но длинные числовые записи очень неудобны, поэтому ввели исключение из правила. Записанное слева от большего числа меньшее надо было вычесть из большего. Так, число 2019 записывается MMXIX, а не MMXVIIII – из последнего X вычитается I, что дает 9; при этом ключевые символы сохраняются. Но и это еще не все. Проблема в том, что современное представление о стандартизированных правилах и символах римской системы счисления не вполне соответствует тому, как эти символы и правила выглядели и использовались в римскую эпоху. Этруски, например, могли использовать такие символы, как I, Л, Χ, ↑ и Ж вместо I, V, X, L и C, хотя даже это спорно. Нормативные символы и правила написания римских цифр, описанные выше, возможно, формировались на протяжении многих столетий в постримской Европе. Исконно римские системы, вероятно, были гораздо менее единообразными.

Как бы то ни было, римские цифры – в отличие от египетских иероглифов – вполне благополучно пережили падение Римской империи. Сегодня римские цифры, указывающие год завершения строительства, украшают многие здания – это позволяло архитекторам придавать античный флер даже новоделу. По этой причине конец XIX века был особенно трудным временем для каменщиков. На фасаде Бостонской публичной библиотеки имеется надпись из 13 знаков – MDCCCLXXXVIII – самое длинное римское число за последнее тысячелетие; оно обозначает 1888 год, в котором было закончено строительство. Не только архитекторы полагают, что запись числа римскими цифрами выглядит более солидно. Руководства по стилю подсказывают, что человек, на циферблате часов которого изображены римские цифры, выглядит более искушенным, достойным, чем рядовой обыватель. И вправду, официальная запись имени британской королевы, правившей дольше всех остальных британских монархов, – «Елизавета II» – смотрится куда благородней, чем «Елизавета 2», гораздо больше похожая на название сиквела какого-то фильма. В фильмах и телешоу римские цифры, кстати, тоже используются для обозначения даты их производства, но по другой причине. Еще на заре кинематографа создатели фильмов начали обозначать год создания ленты римскими цифрами, чтобы зритель не сразу догадывался, что он смотрит переработанное старое шоу, а требования к оформлению указания на авторство при этом соблюдались.

Несмотря на свою «нишевую» долговечность, римские цифры не сумели покорить мир, поскольку мудреные правила их записи и чтения активно препятствовали развитию высшей математики. Римская империя и вправду не дала миру ни великих математиков, ни великих математических идей. Как мы видели, каждое число в римской системе счисления – потенциально сложное уравнение, которое требует складывать или вычитать ряд символов, чтобы получить результат. Это затрудняет даже простое сложение двух римских числительных. Невозможно было, например, записать два числа одно над другим и сложить их в столбик, как нас всех сегодня учат в начальной школе на уроках математики. Два одинаковых символа в одной позиции в двух разных римских числах не обязательно означали одно и то же. Для подсчета разницы между 2019 и 2015 годом (4 года) просто вычесть число MMXV из числа MMXIX по цифрам справа налево (X–V даст 5, I–X даст – 9 и т. д.) не выйдет. Римской математике категорически не хватало концепции позиционной – или пространственной – системы счисления.

Задолго до римлян и египтян народ Шумера, располагавшегося на территории современного Ирака, имел гораздо более совершенную систему счисления. Шумеры, которых часто называют родоначальниками цивилизации, разработали широкий спектр технологий и орудий труда для сельского хозяйства, включая ирригацию, плуг и, возможно, даже колесо. С ростом их сельскохозяйственного общества возникла необходимость точно измерять земельные участки и администрировать налогообложение. Поэтому около пяти тысяч лет назад шумеры изобрели первую позиционную систему счисления – систему, фундаментальные концепции которой со временем распространились по всему земному шару. Цифры записывались в установленном порядке. Символ, расположенный левее, представлял бóльшую величину, чем тот же символ, расположенный правее. В нашей современной системе счисления в числе 2019 девятка обозначает девять единиц, единица – один десяток, ноль – отсутствие сотен, а двойка – две тысячи. С каждым шагом влево одна и та же цифра превращается в число в 10 раз больше. Хотя шумеры выбрали за основу число 60, они использовали точно такой же принцип. Крайний правый столбец представлял единицы, следующий столбец слева – «шестидесятки», следующий – «3600-ки» и так далее. В шестидесятеричной системе шумеров число 2019 составляют девять единиц, одна 60, ноль 3600 и две 216 000, что в десятичной системе составит 432 069. И наоборот, если бы шумеры хотели записать число 2019 в шестидесятеричной системе, их запись выглядела бы примерно так: 33 39, где символ 33 означает 33 шестидесятки (1980), а символ 39 – оставшиеся 39 единиц.

Создание позиционной системы счисления является, пожалуй, самым важным научным открытием всех времен. Неслучайно, что научной революции XV века в Европе непосредственно предшествовало широкое распространение на континенте десятеричной индо-арабской позиционной системы счисления (которую мы используем и сегодня). Позиционная система счисления позволяет зафиксировать любое число – вне зависимости от его размера – всего несколькими простыми символами. В египетской и римской системах положение символа не имело глобального значения. Вместо этого значение числа определялось самим символом, а это означало, что обе культуры были логически ограничены в развитии конечным количеством фигур, которые они могли представлять. Однако шумеры могли изобразить любое число на выбор с помощью своего набора из 60 символов. Их развитая позиционная система позволяла им выполнять такие сложные математические действия, как решение квадратных уравнений (которые естественным образом возникают в сельском хозяйстве при распределении земли) и тригонометрических задач.

Возможно, основная причина, по которой шумеры использовали шестидесятеричную систему, заключалась в том, что она значительно облегчала деление и операции с дробями. Число шестьдесят имеет множество делителей: на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60 оно делится ровно, без остатка. Попытка разделить фунт (состоящий из 100 пенсов) или доллар или евро (состоящие из 100 центов) на шестерых вызовет разногласия по поводу того, кто получит оставшиеся четыре пенни. Шумерскую мину, состоящую из 60 сиклей, однако, можно было поровну поделить между 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 или даже 30 людьми ко всеобщему удовлетворению. Шумерское 60-ричное основание также позволяет легко и точно поделить торт, например, на 12 равных кусков. Одна двенадцатая в шестидесятеричной системе составляет всего лишь пять шестидесятых. В шумерской «десятичной» записи – это число выглядело бы красиво и аккуратно – 0,5 (первое число после разделителя показывает количество шестидесятых долей, а не десятых), в отличие от уродливых 0,083333… (8 сотых, 3 тысячных, 3 десятитысячных и т. д.) в нашей десятеричной системе. По этой причине шумерские астрономы разделили купол ночного неба – словно круглый торт – на 360 (то есть 6 × 60) градусов, что серьезно облегчило астрономические прогнозы.

Древние греки, основываясь на шумерской традиции, делили каждый градус на 60 минут (обозначается ‘) и каждую минуту на 60 секунд (обозначается ’’). Вообще, слово «минута» означает чрезвычайно маленькую долю (в нашем случае круга), а слово «секунда» – второй уровень деления градуса. В астрономии до сих пор используется шестидесятеричная система позиционного счисления, позволяющая фиксировать размеры объектов, которые сильно отличаются в ночном небе. Круг – символ, обозначающий геометрический градус (как, например, в выражении 360°), который сегодня используется и для обозначения температуры, имеет астрономические корни: считается, что изначально так изображали солнце. Менее романтическая (и более математическая) версия предполагает, что решение применять надстрочный символ ˚ для градусов появилось естественным путем после того, как для его долей – минут и секунд, были использованы надстрочные символы ‘ и ’’; так была завершена последовательность ˚, ‘, ’’.

Время

Возможно, мы не слишком хорошо знакомы с минутами и секундами, используемыми в астрономии, но есть гораздо более известная шестидесятеричная система, которая регулирует ритмы нашей повседневной жизни: время. С момента, когда мы просыпаемся, до момента, когда мы засыпаем, вольно или невольно мы часто думаем в шестидесятеричной системе. Неслучайно часы, временны́е отрезки каждого нашего дня, разбиты на 60 минут, а каждая минута – на 60 секунд.

Сами часы, однако, собраны в группы по 12. Именно древние египтяне разделили день на 24 сегмента (несмотря на то, что в основном использовали десятеричное основание): 12 дневных и 12 ночных часов, повторяя количество месяцев в солнечном календаре. При дневном свете время фиксировалось с помощью солнечных часов с 10 делениями. Были добавлены два сумеречных часа, по одному в начале и в конце дня – для периодов, когда солнечные часы бесполезны. Ночь была аналогичным образом разделена на 12 частей, привязанных ко времени восхода определенных звезд на небе.

Строгое деление дня на 12 световых часов заставляло египтян менять длительность каждого дневного часа в течение года в зависимости от сезонной освещенности: летом часы было длиннее, зимой – короче. Древние греки поняли, что для точных астрономических вычислений необходимо сделать временны́е отрезки равными, поэтому они разделили сутки на 24 часа равной длины. Однако укоренилась эта идея лишь с появлением первых механических часов в Европе в XIV веке. К началу XIХ века надежные механические часы получили широкое распространение. Большинство городов Европы разделили свой день на два периода по 12 равных часов.

Разделение дня на два 12-часовых периода до сих пор является стандартным почти во всем англоязычном мире. В большинстве стран, однако, используются 24-часовые шкалы, на которых восемь часов утра (08:00) и восемь часов вечера (20:00), например, отображаются иначе, чем в странах с 12-часовой шкалой. США, Мексика, Великобритания и большая часть стран Содружества наций (Австралия, Канада, Египет, Индия и т. д.), однако, все еще используют сокращения a. m. (ante meridiem) и p. m. (post meridiem) или просто «до полудня» и «после полудня», чтобы отличить восемь утра от восьми вечера. Это расхождение иногда вызывает проблемы, особенно у меня.

Когда я был аспирантом, мне предложили посетить коллег в Принстоне. Я немного нервничаю в путешествиях – это наследственное от отца. Каждый раз, когда я отправляюсь из дома в международную поездку, у меня в ушах звучит его озабоченный голос, перечисляющий: «Деньги, билеты, паспорта». Примерно так же мне запомнилась теорема Пифагора о прямоугольных треугольниках: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов» – с ирландским акцентом моего школьного учителя математики, мистера Рида.

Неудивительно, что в аэропорт Хитроу я примчался на четыре часа раньше, чем следовало. Почти три часа я слонялся по аэропорту, пока не столкнулся со своим более уравновешенным и опытным руководителем, чей рейс был чуть раньше моего. Мой академический визит был продуктивным, но из-за своей «паранойи путешественника» в последний день пребывания в США я сорвался с экскурсии по Нью-Йорку, чтобы пораньше вернуться в Принстон и полноценно выспаться перед отъездом. В тот вечер, когда сумки были упакованы, комната вычищена, деньги, билеты и паспорта проверены и перепроверены, я поставил будильник на четыре часа утра, чтобы ни в коем случае не опоздать на свой девятичасовой рейс.

Дисциплинированно проснувшись в четыре, я сел на поезд из Принстона. Через два с половиной часа я прибыл в международный аэропорт Ньюарк – но не обнаружил своего рейса на табло вылета. Я проверял его снова и снова, но между рейсом в 8:59 до Сент-Люсии и рейсом в 9:01 до Джексонвилля не было моего. Я подошел к информационной стойке и обратился к сидящей там женщине. «Боюсь, что единственный рейс на Лондон вылетает сегодня вечером, сэр». Я не мог в это поверить. Надо же было так ошибиться! Я так тщательно подготовился, но, похоже, моего рейса вообще не существовало. Потом меня осенило. Я уточнил у диспетчера время вечернего рейса. «Ну как же, самолет вылетает в девять вечера, сэр», – ответила она.

Я перепутал время до полудня и после – a. m. и p. m. В 24-часовой шкале такая ошибка просто невозможна. К счастью, я ошибся в правильном направлении. Я расплатился за нее всего лишь 14-часовым ожиданием, но интернет переполнен историями о тех, кто ошибся «в обратном направлении» и пропустил свой рейс, опоздав на 12 часов, и был вынужден раскошелиться на новый билет. Нет нужды говорить, что этот опыт нисколько не уменьшил мой страх перед путешествиями.

Если уж мне в XXI веке трудно добраться до аэропорта вовремя, я даже боюсь представить, насколько сложной задачей были бы для меня дальние путешествия в запутанной и несинхронизированной системе времени начала XIX века. Несмотря на то что к 1820-м годам большинство стран Европы разделили свой день на 24 часа, текущее время в разных странах континента отличалось настолько, что сравнивать его было почти бессмысленно. Лишь немногим странам удалось ввести единое время по всей своей территории, не говоря уже о координации с соседями. Бристоль на западе Великобритании мог отставать от Парижа на 20 минут, а Лондон на 6 минут опережал Нант, который находится на западе Франции. Причиной расхождений, как правило, было то, что каждый город использовал местное время, определяя его по положению солнца. Поскольку Оксфорд расположен на градус с четвертью к западу от Лондона, солнце проходит там зенит примерно на пять минут позже, что делает местное время на пять минут позже лондонского. Один оборот Земли вокруг своей оси (на 360°) занимает 247 часов, что означает – каждый градус долготы эквивалентен четырем минутам астрономического времени. Бристоль, находящийся в двух с половиной градусах к западу от Лондона, отставал от Оксфорда еще на пять минут.

В конце концов бурный рост железнодорожной сети в Великобритании заставил скоординировать время по всей стране, чтобы избежать путаницы при дальних поездках из-за разницы в местном времени. Она не давала возможность составить единое расписание, а также едва не вызвала несколько серьезных аварий из-за несогласованности между машинистами и стрелочниками. В 1840 году Большая Западная железная дорога ввела по всей своей сети Гринвичское время (GMT). Промышленные Ливерпуль и Манчестер поддержали начинание в 1846 году. С распространением телеграфа Королевская обсерватория в Гринвиче смогла передавать сигналы точного времени по всей стране почти мгновенно, что позволяло городам синхронизировать часы. Однако несмотря на то, что почти вся страна быстро перешла на «железнодорожное» время, некоторые города с особенно сильными религиозными традициями отказывались отречься от своего «Богом данного» солярного времени в пользу бездушного прагматизма, навязанного железными дорогами. Лишь в 1880 году, когда британский парламент наконец принял закон, большинство «солнечных диссидентов» окончательно приняли общий стандарт. Тем не менее колокола Башни Тома – колокольни Крайст-чёрч, одного из крупнейших колледжей Оксфорда, до сих пор звонят через пять минут после наступления каждого часа. Италия, Франция, Ирландия и Германия – все они вскоре перешли на единое время, при этом парижское время на девять минут опережало GMT, а дублинское – на 25 минут отставало от него. А вот в США все было не так просто. Вводить единое время на территории материковой части США, простирающейся на 58 градусов долготы, было бы непрактично – разница во времени между самыми удаленными друг от друга регионами достигала четырех солнечных часов. Зимой, когда в штате Мэн наступали сумерки, на западном побережье был только полдень. Очевидно, что местное время нужно было учитывать, но в середине 1800-х годов ситуация была экстремальной: в каждом крупном городе действовало свое время. Своего времени придерживалось, соответственно, и большинство железнодорожных компаний, работавших в Новой Англии в 1850 году; как правило, оно устанавливалось по времени головного офиса или одной из самых оживленных станций. На некоторых узловых станциях действовало до пяти разных стандартов времени. Считается, что путаница, вызванная отсутствием единообразия, вызвала множество аварий. Одной из самых громких стала авария в 1853 году, когда погибли 14 пассажиров; после нее наконец началась разработка планов по стандартизации времени на железных дорогах Новой Англии. В итоге было предложено разделить всю территорию США на ряд часовых поясов, идущих с востока на запад, каждый из которых на час отстает от предыдущего. 18 ноября 1883 года по всей стране получил имя День двух полудней; в этот день станционные часы по всему континенту были переустановлены. США разделили на пять часовых поясов: атлантический (межколониальный), восточный, центральный, горный и тихоокеанский.

Вдохновившись американской системой, в октябре 1884 года на Международной меридианной конференции в Вашингтоне сэр Сэндфорд Флеминг предложил разбить всю Землю на 24 часовых пояса, создав единое стандартное время. Земной шар был разделен на 24 воображаемые линии, известные как меридианы, идущие с Южного полюса к Северному. Стандартный день должен был начаться в полночь на нулевом меридиане Гринвича. К 1900 году почти все районы Земли входили в один из стандартных часовых поясов, но потребовалось еще 86 лет, чтобы все страны начали отсчитывать время от нулевого меридиана – лишь в 1986 году Непал перевел свои часы на отметку 5 часов 45 минут раньше гринвичского времени. Наличие часовых поясов, время в которых отличалось строго на час, уберегло от многих неприятностей и путаницы, значительно упростив время и торговлю между соседними странами. Однако введение часовых поясов не стало панацеей. С их появлением ошибка при расчете времени оборачивалась потерями не нескольких минут, как бывало раньше, но иногда доходила до часа, а такой разрыв мог привести к катастрофе.

Лидер «Движения 26 июля»[144] Фидель Кастро вместе со своим братом Раулем и товарищем Че Геварой в 1959 году сверг поддерживаемого США кубинского диктатора Фульхенсио Батисту. Действуя в русле своей трактовки марксистско-ленинской философии, Кастро быстро превратил Кубу в однопартийное государство, национализировал промышленность и бизнес в рамках масштабных социальных реформ. Правительство США не собиралось мириться с коммунистическим государством, симпатизировавшим СССР, на своем «заднем дворе». К 1961 году, когда холодная война достигла своего апогея, американские власти разработали план по свержению Кастро. Опасаясь ответного удара СССР по Западному Берлину, американский президент Джон Кеннеди настаивал, чтобы США не были напрямую замешаны в перевороте. В результате группа из более чем тысячи кубинских диссидентов, известная как «Бригада-2506», была подготовлена к вторжению на Кубу в секретных лагерях в Гватемале. США разместили десять бомбардировщиков В26 (такими самолетами США вооружали ВВС предшественника Кастро) в близлежащей Никарагуа для поддержки вторжения. 17 апреля «Бригада-2506» должна была организовать вторжение в заливе Свиней на южном побережье Кубы. США рассчитывали, что огромное количество угнетенных режимом кубинцев поддержит изгнанников, и в стране вспыхнет восстание против Кастро.

План был провальным изначально. 7 апреля, за десять дней до высадки, газета New York Times пронюхала об операции и на первой полосе опубликовала статью, в которой утверждалось, что кубинские эмигранты проходят военную подготовку под патронажем и руководством США. Кастро, предупрежденный о возможности вторжения, ввел строгие меры безопасности, арестовал известных диссидентов, которые могли бы поддержать вторжение, и перевел армию в режим готовности. Тем не менее в субботу 15 апреля, за два дня до вторжения, американские B26 взяли курс на Кубу в попытке уничтожить военно-воздушные силы Кастро. Их миссия завершилась почти полным провалом: уничтожив всего два или три исправных кубинских самолета, налетчики потеряли как минимум один собственный B26, подбитый зенитным огнем и упавший в море к северу от Кубы.

В ответ министр иностранных дел Кубы Рауль Роа устроил скандал в ООН. На чрезвычайной сессии Генеральной Ассамблеи Роа справедливо заявил, что США бомбили Кубу. Внимание всего мира было приковано к этому инциденту, и президент Кеннеди, не рискнув предоставить дополнительные доказательства участия США в попытке вторжения на Кубу, отменил воздушный удар, запланированный на утро 17 апреля для оказания помощи высадившимся.

«Бригада-2506» была сформирована исключительно из кубинских диссидентов, не имевших явной связи с властями США, что давало Кеннеди формальную возможность отрицать участие своего правительства в их действиях. Утром 17 апреля он санкционировал их высадку на пляжах залива Свиней. Им противостояли 20 тысяч хорошо подготовленных кубинских солдат. Кеннеди, опасаясь международного резонанса, отказался отдать приказ об артиллерийском обстреле или бомбовом ударе по армии Кастро. К вечеру 18 апреля вторжение было практически остановлено. В отчаянной попытке спасения Кеннеди издал приказ нанести удар по позициям кубинской армии самолетами В26, базирующиеся в Никарагуа. Бомбардировщики должны были прикрывать реактивные самолеты с американского авианосца «Уэссекс», барражировавшего за горизонтом к востоку от Кубы. Воздушный удар был запланирован на 06:30 утра 19 апреля.

К назначенному времени истребители прикрытия вышли в район встречи с бомбардировщиками – но тех там не было. Летчики В26, жившие по центральному никарагуанскому времени, прибыли на целый час позже, в 7:30 по кубинскому восточному времени. Без прикрытия давно ушедших истребителей В26 оказались беззащитны – ВВС Кастро смогли сбить два B26 с американской символикой, что неопровержимо доказывало причастность США к попытке переворота. Политические последствия простой путаницы с часовым поясом были огромны – Куба прочно вошла в социалистическую систему, а год спустя разразился Карибский кризис.

Двенадцать на дюжину

Провал вторжения в залив Свиней частично объясняется делением дня, а значит, и всего мира, на две «половины», состоящие из 12 часовых поясов. Однако ошибка оказалась бы столь же катастрофической, будь Земля зонирована по другому принципу. Было бы таких сегментов 60 или 10 – разница во времени между никарагуанским и кубинским часовыми поясами оставалась бы неизменной в абсолютных величинах. Вообще, многие считают, что двенадцатеричная система намного превосходит преобладающую сегодня десятеричную. И «Двенадцатеричное общество Великобритании», и «Американское двенадцатеричное общество» утверждают, что наличие большего количества делителей – шесть (1, 2, 3, 4, 6 и 12) против четырех (1, 2, 5 и 10) – дает двенадцатеричной системе преимущество перед десятеричной – и не без оснований.

На собственном болезненном опыте общения с моими двумя детьми я понял, как важно делить все поровну. Теперь я знаю, что они предпочтут, чтобы каждому из них досталось по одной конфете, а не одному – пять, а другому – шесть. Когда мы остановились на станции техобслуживания по дороге к их бабушке и дедушке, я купил пакетик ирисок Starburst. Я передал им пакет на заднее сиденье, чтобы они разделили ириски между собой. Я же не знал, что в пакете было 11 ирисок и что детям придется делить между собой нечетное количество конфет. Ссору, сопровождавшую оставшуюся часть той долгой дороги на север, я запомню на всю жизнь. Так что теперь я предусмотрительно покупаю четное количество сладостей. Есть у меня друзья, у которых трое детей, – они всегда покупают сласти в количестве, кратном трем. Производители детских лакомств могут взять эту идею на заметку – продавая сласти наборами по 12 штук, вы можете максимизировать свою аудиторию и минимизировать потенциал для ссор, поскольку такие наборы подойдут для компании из 2, 3, 4, 6 или даже 12 детей. Остальным стоит запомнить, что, когда в следующий раз вам придется что-то делить строго поровну (например, торт на детской вечеринке), лучше делить на 12 – так больше шансов, что никто не окажется обиженным. Впрочем, надо признать, что и без дележа сластей или торта дети все равно найдут повод, чтобы поспорить.

Основная причина предпочтения двенадцатеричной системы счисления десятеричной заключается в том, что, как и в шумерской в шестедесятиричной базе, в двенадцатеричной больше «чистых» долей – делителей, на которые число делится без остатка – чем в десятеричной. Например, в десятичной записи одна треть выглядит бесконечным десятичным числом 0,33333…, тогда как в двенадцатеричной 1/3 можно просто считать четырьмя двенадцатыми и записать как 0,4 (на первом месте после разделителя записывается число двенадцатых долей). Но почему это важно? Прежде всего, отсутствие точного представления числа может иметь значение при повторных измерениях. В качестве примера рассмотрим погонный метр дерева, который вы собираетесь разделить на три одинаковые части, чтобы сделать ножки для табуретки. Используя грубую десятичную линейку, вы отмеряете первую треть, получая 33 см, и вторую – снова 33 см. Но остается последняя треть, которая составит 34 см. На табуретке с такими ножками сидеть будет неудобно. На линейке с двенадцатеричной шкалой одна треть – или четыре двенадцатых – метра была бы точной отметкой, позволяющей точно разделить кусок дерева на три ножки одинакового размера.

Сторонники двенадцатеричной системы утверждают, что она уменьшает необходимость округления и, следовательно, решает ряд общих проблем. В какой-то степени они правы. Несмотря на то что неустойчивый табурет доставляет, пожалуй, лишь незначительные неудобства, простые ошибки округления, возникающие в результате того, что при десятичной записи чисел их иногда приходится усекать, могут иметь более серьезные последствия.

Так простая ошибка округления на выборах в Германии в 1992 году едва не оставила лидера победившей социал-демократической партии без места в парламенте, когда округленный результат голосования за партию «зеленых» составил 5,0 % вместо 4,97 %[145]. Приведем обратный пример: в 1982 году индекс недавно созданной Ванкуверской фондовой биржи непрерывно падал в течение почти двух лет, несмотря на уверенный рост рынка [146]. Каждый раз при совершении сделки значение индекса округлялось до трех знаков после запятой, последовательно уменьшая значение индекса. При 3000 сделках в день индекс терял около 20 пунктов в месяц, что подрывало доверие рынка.

Имперский стандарт

При всех преимуществах, которые обеспечивает двенадцатеричная система счисления при округлениях, ждать скорого перехода на нее промышленно развитых государств не приходится – слишком уж серьезное замешательство и хаос вызвал бы такой переход. Однако в прошлом многие из бурно развивающихся индустриальных стран широко использовали имперские метрические системы, основой которых было число 12. В футе 12 дюймов, а в дюйме – 12 линий. Первоначально и в имперском (британском) фунте было 12 унций. Слово «унция» происходит от того же самого латинского слова, что и дюйм – uncia, означавшего одну двенадцатую часть. В принципе, имперская тройская система, которая используется для измерения массы драгоценных металлов и драгоценных камней, до сих пор делит тройский фунт на 12 тройских унций. Старый британский денежный фунт состоял из 20 шиллингов, каждый из которых состоял из 12 пенсов. Это означало, что 240-пенсовый фунт можно было разделить нацело двадцатью разными способами.

Хотя некоторые находят в имперской системе какие-то преимущества (наиболее часто упоминается принуждение детей к заучиванию малопонятной таблицы умножения), из-за своей неоднородности (в фунте 16 унций, в стоуне 14 фунтов, в роде 11 локтей, в одном барликорне 4 маковых зерна и т. д.) она почти вышла из употребления, уступив место десятеричной метрической системе. Сегодня США – в компании Либерии и Мьянмы – остаются единственными странами мира, где метрическая система широко не используется; Мьянма, правда, пытается покинуть это трио и перейти на метрическую систему. Американский нонконформизм в этом вопросе зиждется на скептицизме и упрямом традиционализме многих граждан этой страны. В одном из эпизодов «Симпсонов» – а этот мультсериал прекрасно отражает современную американскую жизнь – дедушка Симпсон высокопарно заявляет: «Метрическая система – это инструмент дьявола. Моя машина делает 40 родов на хогсхед, и мне это нравится»[147].

Великобритания начала переход на метрическую систему в 1965 году и в настоящее время номинально является метрической страной. Тем не менее Великобритания никогда не отказывалась от родных для нее имперских единиц измерения. Она до сих пор крепко держится за мили, футы и дюймы, измеряя высоту и расстояния, пьет молоко и пиво пинтами, а вес в разговорной речи меряет в стоунах, фунтах и унциях. В феврале 2017 года Государственный секретарь Великобритании по вопросам окружающей среды, продовольствия и сельского хозяйства и двукратный кандидат в лидеры Консервативной партии Андреа Лидсом даже предложила разрешить британским производителям продавать товары в рамках старой имперской системы после того, как Великобритания покинет Европейский союз. Но возвращение к имперским стандартам, греющее, возможно, душу горстке старых Симпсонов, одержимых ностальгией по ушедшей «золотой эпохе», выбросило бы Великобританию из системы международной торговли. Как и переход на двенадцатеричную систему счисления, это было бы невероятно дорого и трудоемко, да еще и сопровождалось бесконечными чиновничьими играми. Бюрократическая инерция, дороговизна проекта вкупе с косностью людей, живущих в тех немногих оставшихся странах, которые еще не перешли на метрическую систему, остаются основными препятствиями к ее повсеместному распространению. Но пока США остаются последней индустриальной страной, использующей имперские единицы [148] почти повсеместно, они будут продолжать сталкиваться с «трудностями перевода».

11 декабря 1998 года НАСА запустило космический аппарат МСО (Mars Climate Orbiter) стоимостью 125 миллионов долларов, предназначенный для исследования марсианского климата и работы спутником-ретранслятором для посадочного аппарата Mars Polar Lander. В отличие от посадочного аппарата, МСО должен был оставаться на орбите Марса – более того, сближение с планетой на расстояние 85 км грозило уничтожением аппарата из-за бафтинга (вибрационного атмосферного воздействия). 15 сентября 1999 года, после успешного девятимесячного путешествия по Солнечной системе, началась заключительная серия маневров, целью которых было вывести Climate Orbiter на идеальную высоту около 140 км над поверхностью Марса. Утром 23 сентября двигатель МСО заработал на торможение, а затем корабль исчез из поля зрения, уйдя за Красную планету на 49 секунд раньше, чем ожидалось. На связь он больше не выходил. Комиссия по расследованию причин аварии пришла к выводу, что Climate Orbiter вышел на неправильную траекторию, которая провела его в 57 км от поверхности – на такой высоте атмосфера уничтожила хрупкий зонд. Продолжая изучение причин отклонения траектории, комиссия обнаружила, что программное обеспечение, предоставленное американским аэрокосмическим и оборонным подрядчиком «Локхид Мартин», выдавало данные о тяге Climate Orbiter в имперских единицах. НАСА же, одно из ведущих научных учреждений мира (и поставщик другой компьютерной системы, принимавшей сигналы первой), рассчитывало, что эти данные будут предоставляться в стандартных международных метрических единицах. Ошибка означала, что тормозной двигатель Climate Orbiter выдал слишком сильный импульс, превратив аппарат в очередные 338 килограммов (или, если хотите, 745 фунтов) космического мусора, захламившего марсианскую атмосферу.

Осознав, что бóльшая часть остального мира перешла на метрическую систему и предвидя ошибки того же рода, которые поразили НАСА, в 1970 году Канада решила присоединиться к большинству. К середине 1970-х годов продукция была маркирована в метрических единицах, температура регистрировалась по Цельсию, а не по Фаренгейту, а толщина снежного покрова измерялась в сантиметрах. К 1977 году все дорожные знаки были переведены на метрические, а допустимая скорость обозначалась в километрах в час вместо миль в час. По практическим соображениям некоторым отраслям промышленности потребовалось больше времени для перехода на метрическую систему. В 1983 году новые Boeing 767 компании Air Canada были первыми откалиброваны в метрических единицах. Топливо измерялось в литрах и килограммах, а не в галлонах и фунтах.

23 июля 1983 года один из недавно отремонтированных 767-х, следовавший регулярным рейсом из Эдмонтона, приземлился в Монреале. После короткого обслуживания, дозаправки и смены экипажа, в 17:48 рейс 143 вылетел из Монреаля в обратный путь с 61 пассажиром и 8 членами экипажа на борту.

Поднявшись на высоту 41 000 футов, или, по показаниям электронного метрического датчика, на 12 500 метров, капитан Роберт Пирсон включил автопилот и расслабился. Примерно через час после начала полета Пирсона насторожил громкий звуковой сигнал, огни на панели управления тревожно замигали. Приборы указывали на низкое давление топлива в левом двигателе самолета. Решив, что топливный насос вышел из строя, Пирсон хладнокровно отключил сигнализацию. Даже без насоса топливо должно было поступать в двигатель под действием силы тяжести. Через несколько секунд сигнал повторился, и на приборной панели снова замигали тревожные лампочки. На сей раз это был правый двигатель. Пирсон вновь отключил сигнализацию.

Однако он понял, что при возможном сбое обоих двигателей ему придется отклониться в сторону близлежащего Виннипега, чтобы там проверить самолет. Как только он подумал об этом, левый двигатель чихнул и замолк. Пирсон связался с Виннипегом по радио, срочно сообщив, что ему нужно будет совершить аварийную посадку с одним двигателем. Пока он отчаянно пытался перезапустить левый двигатель, с панели управления донесся звук, который ни он, ни его старший помощник, Морис Квинтал, никогда раньше не слышали. Остановился второй двигатель, и электросистема самолета, запитанная от двигателей, оказалась обесточенной. Приборы управления самолетом погасли. Прежде на тренажерах ни Пирсон, ни Квинтал не отрабатывали ситуацию отказа обоих двигателей – считалось, что шансы на это пренебрежимо малы, – поэтому такой сигнал тревоги был им незнаком.

Однако отказ двигателей был не первой неисправностью самолета. Принимая машину перед вылетом, Пирсон был проинформирован о том, что индикатор топлива барахлит. Отказавшись задержать рейс на земле на сутки для замены поврежденной детали, Пирсон решил, что количество топлива, необходимое для полета, можно рассчитать вручную. Он был пилотом-ветераном с более чем 15-летним стажем, и для него эта ситуация представлялась вполне рабочей. Основываясь на данных по среднему расходу топлива с учетом поправки на возможную ошибку, наземная команда подсчитала, что для полета в Эдмонтон самолету понадобится 22 300 кг топлива. После посадки в Монреале поплавковый индикатор показал, что в баках самолета остается еще 7682 литра. Этот объем умножили на плотность топлива – 1,77 кг/л – и получили, что на борту остается 13 597 кг топлива. Это означало, что наземному экипажу необходимо было добавить еще 8703 кг, чтобы общий объем топлива достиг 22 300 кг. При переводе полученной массы в литры с тем же коэффициентом плотности 1,77 кг/л, наземные службы получили требуемый объем дозаправки – 4917 литров. Пожалуй, Пирсон должен был заметить проблему уже в этот момент, а не позже, во время полета. Проверяя расчеты наземных служб, он мог вспомнить, что плотность авиационного топлива в килограммах на литр, конечно же, меньше плотности воды, но, с другой стороны, Канада только недавно перешла на метрические величины. А Air Canada переходила на метрическую систему долго и трудно, и в техническую документацию вкралась ошибка: коэффициент плотности топлива 1,77 был дан в фунтах на литр, а не в килограммах на литр. Правильный показатель в два с лишним раза меньше – 0,803 кг/л. Из-за этой ошибки на борту у Пирсона в Монреале в действительности было всего 6169 килограммов топлива. Наземной команде нужно было дозаправить самолет 20 088 литрами – вчетверо больше, чем 4917 литров, которые они залили. Так что запас топлива у рейса 143 был в два с лишним раза меньше необходимого. Двигатели заглохли не из-за механической неисправности. У 767-го просто кончилось топливо.

Пострадавший самолет продолжал планировать по направлению к Виннипегу – пилоты надеялись, что смогут сесть с неработающим двигателем, если верно рассчитают время. На счастье, Пирсон был еще и опытным планеристом, поэтому он приступил к расчету оптимальной скорости планирования, которая позволит добраться до Виннипега. Однако, когда рейс 143 вышел из облачности, немногочисленные приборы, запитанные от резервных батарей, подсказали Пирсону, что до Виннипега они не дотянут. Пирсон доложил об этом диспетчеру в Виннипег. Ему сообщили, что единственная взлетно-посадочная полоса в округе находится у местечка Гимли, примерно в 12 милях от их текущего положения. По еще одному – казалось бы удачному – совпадению Квинтал, в бытность свою летчиком Королевских ВВС Канады, служил как раз на той самой авиабазе под Гимли, так что аэродром этот он знал хорошо. Чего не знал ни он, ни кто-либо из диспетчеров вышки в Виннипеге, так это то, что аэропорт в Гимли с тех пор стал гражданским, а часть его переделана в арену для автоспорта. В тот самый момент на трассе проходили автомобильные гонки, и тысячи людей в автомобилях и автодомах наблюдали за ними в непосредственной близости от взлетно-посадочной полосы.

Подходя к взлетно-посадочной полосе, Квинтал попытался выпустить шасси, но с отказом двигателей отказали и гидравлические системы. Под действием силы тяжести задние шасси вышли и зафиксировались в замках. Носовое шасси тоже вышло, но не встало на фиксаторы – как вскоре выяснилось, это был третья счастливая случайность, которой многие пассажиры того рейса обязаны своими жизнями. В азарте гонки зрители и не подозревали, что на них бесшумно – двигатели не работали – планирует 100-тонная жестяная банка, пока она не оказалась почти над ними. Когда самолет коснулся взлетной полосы, Пирсон включил тормоза на максимум. Обе шины заднего шасси лопнули почти мгновенно. Одновременно с этим незафиксированная стойка носового шасси сложилась, не выдержав веса самолета. Нос лайнера ударился о землю, высекая фонтаны искр. Из-за возросшего трения самолет быстро затормозил – всего в нескольких сотнях метров от ошарашенных зрителей. Стюарды гонки среагировали быстро и бросились на трассу, чтобы потушить небольшие пожары в носу самолета, вызванные трением, и все 69 пассажиров и экипаж благополучно спустились по аварийным трапам.

Проблема 2000

Пирсон совершил поистине выдающийся подвиг, посадив самолет практически вручную, почти без помощи приборов или бортовых компьютеров. XXI век идет своим чередом, и многие современные технологии, как мы говорили в первой главе, продолжают развиваться и распространяться по экспоненте. Так, компьютеры неотвратимо проникают в нашу жизнь, а мы в результате становимся все более уязвимы к их сбоям. Пару десятков лет назад компании, активно использовавшие компьютерные и информационные технологии, с нарастающей тревогой ждали наступления нового тысячелетия – призрак «проблемы 2000» грозил парализовать их работу. Этот программный сбой стал наследием до нелепости простого недосмотра при разработке программного обеспечения в 1970-е и 1980-е годы.

Отвечая на вопрос о дате рождения, многие из вас ответят шестизначным числом – для краткости. Некоторая двусмысленность может возникнуть, если свои дни рождения попросят написать одновременно тех, кому исполнилось 10 и 110 лет, но верную дату их рождения вполне можно определить из контекста. Компьютеры, однако, часто работают без такого контекста. Стремясь использовать машинную память (которая на заре компьютерной эпохи стоила очень дорого) как можно экономнее, большинство программистов вводили даты в шестизначном формате. Обычно они позволяли своим программам исходить из того, что дата относится к 1900-м годам. Но если дата относилась к следующему веку, это могло привести к ошибке. С приближением нового тысячелетия компьютерные специалисты стали предупреждать, что многие компьютерные программы, возможно, не смогут различить 2000 и 1900 годы – да и первый год любого последующего столетия, если уж на то пошло.

Когда при переходе с 31 декабря 1999 года на 1 января 2000 года часы в конце концов показали полночь, мало что изменилось. Самолеты не посыпались с неба, деньги не исчезли со счетов, а ядерные ракеты остались в своих шахтах. Отсутствие немедленных драматических последствий привело к широкому распространению мнения о том, что опасения по поводу «ошибки 2000» были преувеличены. Некоторые циники даже предположили, что компьютерная индустрия, возможно, намеренно раздула масштабы проблемы, чтобы погреть на этом руки. Противоположная точка зрения заключается в том, что серьезнейшая подготовка и профилактика помогли избежать множество потенциальных катастроф. По миру разошлась куча любопытных историй о казусах, приключившихся с незащищенными компьютерными системами. Забавно, что на сайте Военно-морской обсерватории США – организации, отвечающей за соблюдение официального времени страны, – появилась дата «1 января 19100 года». Однако некоторые симптомы «проблемы тысячелетия» были не такими уж смехотворными.

В 1999 году лаборатория патологии при Северном центральном госпитале Шеффилда была региональным центром тестирования на синдром Дауна. Результаты тестов беременных женщин, проживающих на востоке Великобритании, отправлялись в Шеффилд для анализа в рамках сложной компьютерной модели, действовавшей в информационной системе Национальной службы здравоохранения Англии PathLAN. Используя набор данных о женщинах – включая дату рождения, вес и результаты анализа крови, – модель рассчитывала риск рождения ребенка с синдромом Дауна. Такая оценка риска помогла женщинам принять решение о планировании беременности, а будущим матерям из группы высокого риска предлагалось более точное тестирование.

В течение января 2000 года сотрудники в Шеффилде обнаружили ряд отдельных мелких ошибок (связанных с датами) в системе PathLAN, но их быстро исправили и забыли о них. Позднее в том же месяце акушерка из одной из подведомственных госпиталю больниц сообщила, что получила из системы гораздо меньше сообщений о пациентах с повышенным риском развития синдрома Дауна, чем она ожидала. Через три месяца она проинформировала, что ситуация повторилась, но в обоих случаях сотрудники лаборатории заверили ее в том, что все в порядке. В мае акушерка из другой больницы сообщила о столь же малом количестве результатов анализов с повышенной степенью риска. В конце концов руководителя лаборатории патологии убедили проверить результаты. Он быстро понял, что что-то не так – «ошибка 2000» в этом случае оказалась реальной проблемой.

В лабораторной компьютерной модели для расчета возраста использовалась дата рождения матери со ссылкой на текущую дату. Возраст матери является важным фактором риска, при этом у женщин старшего возраста значительно выше вероятность рождения ребенка с синдромом Дауна. После 1 января 2000 года, вместо того чтобы вычесть 1965 год рождения из 2000 года, чтобы получить возраст 35 лет, 65 вычиталось из 0, что давало отрицательный результат, который компьютер не мог понять, но принимал – вместо того чтобы вызывать сообщение об ошибке. Бессмысленное значение возраста резко искажало расчет риска, в результате чего многих немолодых матерей определили в категорию с пониженным риском. В результате случилось несчастье, подобное тому, что постигло Флору Уотсон, мать младенца Кристофера, душераздирающая историю ложноотрицательного анализа, которого мы рассказали во второй главе. Более 150 женщин получили письма, в которых вероятность развития у их нерожденных детей синдрома Дауна была указана некорректно – типичный случай ложноотрицательного диагноза. Четыре из этих женщин, которым в противном случае могли бы предложить дальнейшее тестирование, родили детей с синдромом Дауна, а еще две сделали травматические аборты на поздних стадиях беременности.

Бинарное мышление

Компьютеры, на которые мы все больше полагаемся, работают с самой примитивной базой – бинарной. При работе в десятеричной системе счисления для записи чисел требуется девять цифр и ноль. В двоичной системе помимо нуля нужна только одна цифра. Все двоичные числа представляют собой строки из единиц и нулей. Вообще, само слово «двоичный» – бинарный – происходит от латинского binarius, означающего «состоящий из двух частей». В двоичной позиционной системе одна и та же цифра, находящаяся слева от соседней, представляет собой число, больше того в 2 раза – а не в 10, как мы привыкли в десятеричной системе. Первый столбец справа представляет единицы, второй справа – двойки, третий – четверки, четвертый – восьмерки и так далее. Для записи числа вроде 11 нам нужна единица, двойка и восьмерка, но без четверки, поэтому число 11 в двоичной записи имеет вид 1011. Старая математическая шутка гласит: «Есть только 10 типов людей: те, кто понимает двоичную систему, и те, кто не понимает» – 10 здесь, конечно же, представляет число два в двоичной записи.

Двоичная система была выбрана в качестве основы для компьютерных технологий не потому, что математические вычисления как-то особенно приятно производить именно в ней, а потому, что компьютер построен именно таким образом. Каждый современный компьютер состоит из миллиардов крошечных электронных компонентов, называемых транзисторами, которые взаимодействуют друг с другом, передавая и сохраняя данные. Протекание электрического тока через транзистор – прекрасный способ представления числовой величины. Вместо десяти вариантов напряжения на каждом транзисторе (которые еще нужно уверенно распознавать) для работы в десятеричной системе гораздо разумнее обойтись двумя: есть напряжение – нет напряжения, включен – выключен. Эта система «да – нет» означает, что на транзистор можно подать небольшое напряжение, чтобы получить надежный, однозначно интерпретируемый сигнал, не зависящий от колебаний. Математики показали, что чисто теоретически, комбинируя сигналы «да» и «нет» с этих транзисторов с логическими операциями типа «и», «или» и «нет», можно вычислить ответ на любую математическую задачу – если такой ответ у нее есть – вне зависимости от ее сложности. Современные компьютеры прошли долгий путь к практической реализации этой теории. Они способны выполнять невероятно сложные вычисления, преобразовывая наши запросы в серии из единиц и нулей и применяя холодную жесткую логику, чтобы направлять эти биты туда и обратно, пока они не дадут ясный ответ. Однако, несмотря на обыденность чудес, которые мы можем творить, благодаря бинарной системе счисления в машинах, живущих на наших столах и в наших карманах, бывают моменты, когда эта простейшая математическая основа подводит своих хозяев.

Кристин Линн Мэйз в 1986 году вступила в ряды армии США в возрасте 17 лет. Она три года прослужила поваром в Германии и уволилась с действительной военной службы, после чего вернулась домой, чтобы изучать бизнес в Университете Индианы в Пенсильвании, где она познакомилась со своим парнем Дэвидом Фэрбенксом. В октябре 1990 года ей понадобились деньги для продолжения учебы, и Мэйз снова записалась в армейский резерв. Ее зачислили в 14-й отряд снабжения – подразделение, которое занимается очисткой воды. В день Святого Валентина 1991 года отряд получил боевое задание в рамках операции «Буря в пустыне». Три дня спустя Мэйз отправилась на Ближний Восток. В день, когда она уехала из США, Фэрбенкс, встав на одно колено, сделал ей предложение. Мэйз охотно приняла его, но, опасаясь потерять обручальное кольцо, отказалась взять его с собой. «Хорошо, тогда оно будет здесь ждать, когда ты вернешься», – такими словами проводил Фэрбенкс свою невесту в Саудовскую Аравию. Фэрбенкс забрал кольцо домой и положил его на фотографию Кристин рядом со своей стереосистемой. Ему было не суждено надеть кольцо на ее палец.

С авиабазы под одним из саудовских центров нефтеразработок – городом Дахраном – 14-й отряд снабжения перебазировался во временные казармы в Эль-Хубаре на побережье Персидского залива. Временное здание, в котором размещалось подразделение Мэйз вместе с американскими и британскими сослуживцами, было чем-то вроде склада из гофрированного металла, спешно переоборудованного для проживания людей. Через шесть дней после прибытия, в воскресенье 24 февраля, Мэйз позвонила домой сообщить матери, что прибыла в целости и сохранности и что ее подразделение вскоре передислоцируется на 40 миль дальше к северу в направлении кувейтской границы. На следующий день, завершив дежурство, пока ее сослуживцы отдыхали или тренировались, Мэйз решила вздремнуть, не подозревая, что судьба ее уже решена.

Несмотря на то, что в ходе войны в Персидском заливе по Саудовской Аравии было выпущено более 40 ракет «Скад», существенный ущерб нанесли менее десяти атак иракцев. Большинство ракет, достигших территории Саудовской Аравии, сошли с курса и поразили гражданские районы, а не военные объекты, на которые были нацелены. Низкая эффективность ракетных атак иракцев отчасти объяснялась действием американских зенитно-ракетных комплексов «Пэтриот», предназначенных для обнаружения приближающихся ракет и запуска ракет-перехватчиков. После первичного обнаружения цели система осуществляла проверку, чтобы подтвердить, что высокочувствительный радар дальнего обнаружения захватил реальную ракету, а не ложный сигнал. Для проведения проверки система отсылала на второй радар время и место первичного захвата цели и оценку ее скорости. Эти данные использовались для уточнения текущего положения ракеты в пространстве, что облегчало ее обнаружение и подтверждение целеуказания первого радара.

Время в системе «Пэтриот» считалось в десятых долях секунды – для повышения точности. Но десятая доля, красиво и коротко записывающаяся в десятеричной системе – 0,1 – в двоичной, к сожалению, имеет вид бесконечной периодической дроби, примерно такой: 0,0001100110011001100… За начальными «0,0» последовательность 0011 повторяется снова и снова (математики сказали бы: «0011 в периоде»). Ни один компьютер не может хранить бесконечно большое количество чисел, поэтому в системе «Пэтриот» было принято приблизительное значение одной десятой секунды, представленное бинарным числом из 24 цифр. Поскольку это число является усеченным представлением, оно отличается от истинного значения одной десятой примерно на одну десятимиллионную долю секунды. Программисты, писавшие управляющий код для системы «Пэтриот», предполагали, что такое небольшое расхождение не будет иметь практического значения. Однако выяснилось, что после многочасовой беспрерывной работы ошибка во внутренних часах «Пэтриота» накапливалась до существенных значений [149]. Примерно через 12 дней непрерывной работы общая ошибка внутреннего времени «Пэтриота» составляла почти секунду.

К 20:35 25 февраля система «Пэтриот» работала более четырех дней подряд. Пока Мэйз спала, иракцы запустили несколько «Скадов» с облегченными боеголовками (что делало полет ракет нестабильным и усложняло их обнаружение) в направлении восточного побережья Саудовской Аравии. Несколько минут спустя, когда ракета вошла в воздушное пространство Саудовской Аравии, первый радар системы «Пэтриот» обнаружил ракету и передал свои данные на второй радар для проверки. Когда данные с первого радара достигли второго, погрешность во времени обнаружения «Скада» достигла почти трети секунды. «Скад» летит со скоростью более 1600 метров в секунду, так что погрешность позиционирования составляла более 500 метров. Когда второй радар просканировал район ожидаемого нахождения ракеты, он не обнаружил там ничего. Компьютер посчитал предупреждение первого радара ложной тревогой, и оно было удалено из системы [150].

В 20:40 ракета попала в казармы, где спала Мэйз, убив ее и 27 ее сослуживцев и почти сотню ранив. Одна эта атака, совершенная за три дня до окончания военных действий, стала причиной трети всех безвозвратных потерь США во время первой войны в Персидском заливе. Вероятно, их можно было бы избежать, если бы компьютеры говорили на другом языке – с другой базой.

Ни одна база, однако, не способна точно представить каждое число с помощью конечного набора цифр. При другой базе подобной ошибки с обнаружением ракеты можно было бы избежать, но вместо нее неизбежно возникли бы другие ошибки. Как бы то ни было, преимущества двоичной системы – несмотря на редкие сбои, которые происходят при ее использовании, – в энергопотреблении и надежности делают ее наиболее подходящей базой для современных компьютеров. Однако эти преимущества быстро испаряются, стоит лишь попытаться использовать бинарную систему в социальном контексте.

Представьте, что вы общаетесь с привлекательной незнакомкой, к которой вас притиснули в переполненном автобусе. Перед выходом вы просите у нее телефончик и получаете некую стандартную комбинацию из 11 цифр формата 07XXX–XXX – ХXX, общего для номеров мобильных телефонов в Великобритании. Для того чтобы получить такое же разнообразие номеров в двоичном формате, каждый номер мобильного телефона должен иметь не менее 30 цифр. Попробуйте записать что-то вроде 1110111001101100100111111111, пока вы не проехали свою остановку: «После седьмого ноля единичка или ноль?»

Более актуальная проблема – засилье потенциально опасного бинарного мышления в нашем обществе. С незапамятных времен быстрый выбор между «да» и «нет» означал разницу между жизнью и смертью. Наш примитивный мозг не успевал рассчитать вероятность того, приземлится ли падающий камень на нашу голову. Лицом к лицу с опасным животным требовалось мгновенно решить: драться или бежать. Чаще всего быстрое (и сверхосторожное) бинарное решение было лучше, чем неторопливое, взвешенное, просчитывающее все варианты. Эта бинарная манера принятия решений не менялась в своей основе даже с развитием и усложнением общественных отношений. Мы продолжали опираться на стереотипные представления о наших ближних – считали их хорошими или плохими, святыми или грешниками, друзьями или врагами. Такие классификации грубы, но они просто и понятно объясняли, как себя вести при общении с конкретным человеком. Со временем эти стереотипы укоренились еще крепче благодаря карикатурному изображению противоположностей – непременному атрибуту многих популярных дуалистических религий. Адепты этих религий лишены сомнений о том, что есть добро, а что – зло.

Но для большинства из нас сегодня подобные простые решения и категоричные карикатурные изображения не слишком актуальны. У нас есть время для более глубоких размышлений о важных жизненных решениях. Люди слишком сложны, чтобы классифицировать их лишь по бинарным характеристикам, слишком противоречивы, слишком изощрены. Бинарное мышление не позволило бы появиться таким прекрасным литературным героям, как Северус Снейп, Гэтсби или Гамлет. Причина, по которой нам нравятся эти неоднозначные, мятущиеся персонажи, заключается именно в том, что они отражают нашу собственную сложную несовершенную личность. Но нас все же притягивает комфортная определенность бинарных ярлыков, позволяющая нам показать внешнему миру, кто мы такие: демократы или республиканцы, левые или правые, верующие или атеисты. Мы обманываемся, выбирая между черным и белым, тогда как на самом деле в спектре гораздо больше цветов.

В моей дисциплине, математике, главная борьба идет как раз с такой самонавязанной ложной дихотомией: есть те, кто верит, что могут заниматься математикой, и те, кто думает, что не могут. Последних слишком много. Но ведь тех, кто вовсе не понимает математику и не умеет считать, почти нет. С другой стороны, уже на протяжении сотен лет не появлялось математиков, которые понимали бы всю известную человечеству математику. Все мы находимся где-то между двумя крайностями; где именно – зависит от того, насколько, по нашему мнению, эти знания могут быть нам полезны.

Понимание окружающих нас числовых систем дает нам представление об истории и культуре нашего вида. Этих, казалось бы, странных и чуждых систем бояться не следует; наоборот, им надо воздавать хвалу. Они рассказывают нам о том, как думали наши предки, и отражают аспекты их традиций. Они наглядно демонстрируют нам, что математика естественна с точки зрения биологии, присуща нам так же, как и пальцы на руках или ногах. Они учат языку современных технологий и помогают избежать простых математических ошибок. Вообще, как мы увидим в следующей главе, «препарируя» прошлые ошибки, современные математические технологии предоставляют нам способы избежать таких просчетов в будущем – иногда, правда, эффективность этих способов сомнительна.

Глава 6

Бесконечная оптимизация: безграничный потенциал алгоритмов – от эволюции до электронной коммерции

«Через сто метров поверните направо… Поверните направо», – инструктировал бесплотный голос спутникового навигатора. Роберто Фархат, только учившийся водить машину, но уже взявший с собой в поездку жену и двух детей, так и поступил. Всего несколько минут назад он сменил за рулем свою жену – опытного водителя с 15-летним стажем. Когда он свернул с шоссе А6, двухтонный Audi, двигавшийся по встречной полосе[151], въехал в пассажирскую дверь машины Фархата со скоростью 45 миль в час. Уделяя пристальное внимание спутниковому навигатору, Фархат пропустил дорожные знаки, запрещавшие правый поворот. Сам он остался невредим. А вот его четырехлетней дочери Амелии не повезло. Она умерла в больнице три часа спустя.

Мы уже привыкли полагаться на гаджеты вроде спутниковых навигаторов, которые призваны облегчить нашу перегруженную стрессами и заботами жизнь. Определяя кратчайший маршрут из пункта А в пункт Б, спутниковые навигационные системы решают сложную задачу, что можно сделать единственным способом – через алгоритмический расчет по требованию. Удержать в памяти все возможные маршруты между двумя удаленными точками – слишком сложная задача для небольшого устройства. Точек, между которыми может потребоваться проложить маршрут, огромное количество, что увеличивает сложность задачи в астрономическом масштабе. Учитывая уровень сложности, впечатляет, что алгоритмы спутниковой навигации очень редко ошибаются. Но когда они делают ошибки, те порой оказываются катастрофическими.

Алгоритм – последовательность инструкций, точно описывающих порядок действий для решения конкретной задачи. Задачей может быть что угодно – от организации музыкальной коллекции до приготовления пищи. Самые ранние записанные алгоритмы, однако, носили строго математический характер. У древних египтян был простой алгоритм перемножения двух чисел, а вавилоняне имели правила вычисления квадратных корней. В III веке до нашей эры древнегреческий математик Эратосфен изобрел свое «решето» – простой алгоритм определения простых чисел в числовом ряду, а Архимед применил метод исчерпывания [152] для вычисления последовательности цифр в числе π.

В Европе накануне эпохи Просвещения развитие навыков механической обработки позволило физически воплотить алгоритмы в таких инструментах, как часы и, позднее, зубчатые вычислители. К середине XIX века мастерство достигло такой степени, что эрудит Чарльз Бэббидж смог построить первый механический компьютер, для которого первопроходец математики Ада Лавлейс написала первые компьютерные программы. В принципе, именно Ада первой поняла, что изобретение Бэббиджа имеет прикладное значение, выходящее далеко за рамки чисто математических вычислений, для которых его вычислитель был изначально разработан: что такие объекты, как ноты или, что, возможно, еще важнее, буквы можно описывать в виде кода и манипулировать ими с помощью машины. Сначала электромеханические, а затем и чисто электрические компьютеры использовались союзниками во время Второй мировой войны для алгоритмической расшифровки немецких шифров. Хотя в принципе эти алгоритмы можно было исполнять вручную, прототипы компьютеров того времени уже делали это со скоростью и точностью, недостижимой для людей – сколько бы тех ни было.

Все более сложные алгоритмы, которыми сейчас руководствуются компьютеры, стали неотъемлемой частью нашей повседневности – от ввода запроса в поисковую систему или фотографирования на телефон до компьютерных игр или вопроса о погоде у персонального цифрового ассистента. Мы уже не довольствуемся многими прежними решениями: мы хотим, чтобы поисковая система выводила наиболее релевантные ответы на наши вопросы, а не только первый, который она находит; мы хотим знать точно, будет ли дождь в пять вечера, чтобы определиться – брать ли с собой на работу плащ; мы хотим, чтобы спутниковая навигация вела нас из точки A в точку Б по самому быстрому маршруту, а не по первому попавшемуся. Примечательно, что в большинстве определений алгоритма (списка инструкций для выполнения задачи) не упоминаются входные и выходные данные, которые обеспечивают соответствие алгоритмов задаче. Так, для рецепта входными данными будут ингредиенты, а выходными – готовое блюдо, которое вы подаете на стол. Для спутниковой навигации входные данные – это начальная и конечная точки, которые вы указываете на карте, хранящейся в памяти прибора. Выходные – маршрут, который он вам предлагает. Без этих привязок к реальному миру алгоритмы являются просто абстрактными наборами правил. Когда сбой алгоритма попадает в новостные ленты, в большинстве случаев этот сбой вызван либо погрешностью при вводе данных, либо неожиданными данными на выходе, но не ошибкой в самих правилах.

В этой главе мы познакомимся с математикой, стоящей за неумолимой оптимизацией алгоритмов в нашей повседневной жизни: от принципов выдачи ответов на поисковые запросы в Google до историй, навязываемых нам на Facebook. Мы покажем обманчиво простые алгоритмы, которые решают сложные задачи и на которые опираются современные технологические гиганты: от навигационной системы Google Maps до маршрутов доставки Amazon. Но мы не будем ограничиваться компьютеризированным миром современных технологий – мы предложим вам некоторые «подручные» алгоритмы оптимизации, с помощью которых можно занять лучшее место в поезде или выбрать самую короткую очередь в супермаркете.

Хотя некоторые алгоритмы могут выполнять задачи невообразимой сложности, порой они бывают, мягко говоря, недостаточно эффективными. К несчастию для семейства Фархат, устаревшие карты, «зашитые» в навигатор, заставляли его выбирать неверный маршрут. В самих правилах поиска маршрута ошибки не было, и будь карта актуальной, несчастный случай, скорее всего, никогда бы не произошел. Их история иллюстрирует могущество современных алгоритмов. Этих невероятных инструментов, пронизывающих и упрощающих многие аспекты нашей повседневной жизни, не стоит бояться. В то же время к ним нужно относиться с должным почтением и держать их «входы и выходы» под пристальным наблюдением. Однако человеческий контроль чреват цензурой и предвзятостью. Но даже если жестко ограничить ручной контроль в погоне за чистой объективностью, можно столкнуться со скрытыми, зашифрованными в самом алгоритме предрассудками – отпечатками пристрастий его создателя. Независимо от того, насколько полезными могут быть алгоритмы, не стоит слепо верить в их непогрешимость: некоторое понимание принципов их работы может сохранить время, деньги и даже жизнь.

Вопросы на миллион долларов

В 2000 году Математический институт Клэя опубликовал список семи «Проблем тысячелетия» – наиболее важных нерешенных математических задач[153]. В него вошли: гипотеза Ходжа, гипотеза Пуанкаре, гипотеза Римана, квантовая теория Янга – Миллса, проблема существования и гладкости решений уравнений Навье – Стокса, гипотеза Бёрча – Свиннертон-Дайера и проблема равенства классов P и NP. Эти имена и названия мало что говорят подавляющему большинству людей – за исключением тех немногих, кто имеет отношение к специфическим разделам математики, – но главный спонсор института Лэндон Клэй четко обозначил исключительную важность этих гипотез, пообещав выплатить 1 миллион долларов за доказательство или опровержение любой из них. На момент написания книги решена была только проблема с гипотезой Пуанкаре. Гипотеза Пуанкаре – это проблема из области математической топологии. Топологию можно представить как геометрию (математику форм), которая имеет дело с тестом для выпечки. В топологии фактические формы самих объектов неважны, объекты группируются по количеству отверстий, которыми они обладают. Так, для тополога нет разницы между теннисным мячом, мячом для регби или даже фрисби. Если бы все они были сделаны из теста, то теоретически их можно было бы раздавить, растянуть или иным образом переконфигурировать, чтобы они выглядели похожими друг на друга, не прокалывая новых дыр в тесте и не закрывая тех, что есть изначально. При этом эти объекты принципиально отличаются от резинового кольца, камеры шины или обруча баскетбольной корзины – каждый из этих объектов имеет отверстие в середине, как бублик. Фигура в виде восьмерки с двумя отверстиями и крендель с тремя – опять же разные топологические объекты.

В 1904 году французский математик Анри Пуанкаре (тот самый Пуанкаре, который вмешался, чтобы прекратить издевательства над математикой и оправдать капитана Альфреда Дрейфуса в третьей главе), предположил, что самой простой формой в четырехмерном пространстве является четырехмерная проекция сферы. Чтобы объяснить, что для Пуанкаре означало понятие «простой», представьте, будто вы пытаетесь обвязать веревку вокруг некоего объекта. Если вы сможете стянуть эту веревку с объекта так, чтобы при этом она не отрывалась от его поверхности, и чтобы на веревке не завязался узел, то с точки зрения топологии объект тождественен сфере. На языке математики это называется односвязность. Если же трюк у вас не удастся, то вы имеете дело с более сложным топологическим объектом. Представьте, что вы протягиваете струну через центр бублика и делаете петлю. Снять эту струну с бублика, не разомкнув петлю, вы не сможете. Бублик, имеющий одно отверстие, принципиально более сложная фигура, чем футбольный мяч, который отверстий не имеет. Результат в трехмерном пространстве был уже хорошо известен, но Пуанкаре предположил, что та же идея окажется верной и в четырех измерениях. Позднее его предположение обобщили – идея должна быть верной в пространстве с любым количеством измерений. Однако к моменту объявления приза за решение «Проблем тысячелетия» верность гипотезы подтвердили для всех других измерений, и только первоначальная гипотеза Пуанкаре о четырехмерном пространстве оставалась недоказанной.

В 2002 и 2003 годах российский математик-отшельник Григорий Перельман поделился с сообществом топологов тремя сложными для понимания математическими статьями [154]. Эти работы предполагали решение проблемы в четырех измерениях. Несколько групп математиков потратили три года, чтобы удостовериться в верности его доказательств. В 2006 году, в год, когда Перельману исполнилось 40 лет – предельный возраст для получения премии, – он был награжден медалью Филдса, математическим эквивалентом Нобелевской премии. Вручение премии произвело некоторый шум в кругах, далеких от математики, но настоящей сенсацией стал отказ Перельмана от почестей. Он оказался первым человеком, отказавшимся от медали Филдса. В своем заявлении об отказе Перельман сказал: «Меня не интересуют ни деньги, ни слава. Я не хочу, чтобы меня выставляли напоказ, как животное в зоопарке». В 2010 году Математический институт Клэя наконец признал, что Перельман все же заслужил 1 миллион долларов за решение одной из «Проблем тысячелетия», но питерский математик отказался от их денег.

P vs NP

Работа Перельмана, несомненно, чрезвычайно важна в области чистой математики, но применить доказательство гипотезы Пуанкаре на практике шансов немного. То же самое относится и к большинству других «Проблем тысячелетия», которые на момент написания этой книги оставались нерешенными. Однако доказательство или опровержение гипотезы номер семь – известной в математическом сообществе под кратким и несколько загадочным названием P vs NP (а в российском математическом сообществе еще и как проблема перебора) – может иметь широкомасштабные практические последствия в таких разнообразных областях, как интернет-безопасность и биотехнология.

В основе проблемы P vs NP лежит идея, что проверить правильность решения задачи зачастую проще и быстрее, чем собственно решение найти. Этот важнейший из открытых математических вопросов сводится к следующему: если положительный ответ на какой-то вопрос можно довольно быстро проверить при помощи компьютера, верно ли, что ответ на этот вопрос можно довольно быстро найти?

Чтобы провести аналогию, представьте, что вы собираете пазл из однообразного изображения, вроде картинки чистого голубого неба. Перепробовать все возможные комбинации кусочков, чтобы понять, подходят ли они друг другу, – трудная задача; сказать, что она займет много времени – это преуменьшение. Однако, как только пазл закончен, правильность его сборки проверить легко. Более строгие определения эффективности математические выражаются в описании того, насколько быстро работает алгоритм по мере усложнения проблемы – когда к пазлу добавляется больше кусочков. Набор задач, которые можно решить быстро (в так называемом полиномиальном времени), называется классом сложности P. Бóльшая группа задач, которые можно быстро проверить, но не обязательно можно быстро решить, называется классом сложности NP (что расшифровывается как недетерминированное полиномиальное время). Задачи типа P – это подмножество задач типа NP, так как, решив задачу быстро, мы автоматически проверяем найденное решение.

А теперь представьте, что нужно построить алгоритм собирания любого пазла. Если алгоритм входит в группу P, то время, затраченное на его решение, может зависеть от количества элементов пазла, квадрата, куба или даже большей степени этого числа. Например, если алгоритм зависит от квадрата количества элементов, то для сбора пазла из двух элементов может потребоваться 4 (22) секунды, для сбора пазла из 10 элементов – 100 (102) секунд, а для пазла из 100 элементов – 10 000 (1002) секунд. Этот отрезок времени кажется достаточно долгим, но он укладывается в считаные часы. Однако если алгоритм входит в группу NP, то с увеличением количества кусочков время, затрачиваемое на его решение, может вырасти по экспоненте. Если на сбор пазла из 2 элементов понадобятся те же 4 (22) секунды, то на пазл из 10 элементов – уже 1024 (210) секунды, а на пазл из 100 элементов – 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 (2100) секунд, что значительно превышает время, прошедшее с момента Большого взрыва. Оба алгоритма требуют больше времени на исполнение с усложнением задачи (ростом количества элементов), но алгоритмы для решения общих проблем группы NP с усложнением задачи быстро становятся непригодными для ее решения. В сущности, литерой «P» можно было бы обозначать проблемы, Решаемые на практике, а литерами «NP» – Не Решаемые на практике.

Проблема «P vs NP» заключается в вопросе, все ли проблемы класса NP, решения которых можно быстро проверить, но алгоритм быстрого решения, которых неизвестен, действительно являются и членами класса P. Может быть, проблемы класса NP имеют практический алгоритм решения, но мы его просто еще не нашли? В математической терминологии, равны ли P и NP? Если да, то, как мы увидим, потенциал применения этого равенства – даже для решения повседневных задач – огромен.

Роб Флеминг, главный герой классического романа 90-х Ника Хорнби «Hi-Fi», – одержимый музыкой владелец магазина подержанных пластинок Championship Vinyl. Периодически Роб пересортировывает свою огромную коллекцию пластинок в разном порядке – по алфавиту, по хронологии и даже автобиографически (порядок, в котором он покупал свои пластинки, рассказывал историю его жизни). Сортировкой и составлением каталогов занимаются не только любители музыки в поисках катарсиса – это способ организации информации, позволяющий быстро сгруппировать ее в соответствии с необходимыми критериями и получить данные по конкретному запросу. Когда вы одним кликом группируете письма в своем электронном почтовом ящике по дате, отправителю или теме, ваш клиент электронной почты реализует эффективный алгоритм сортировки. eBay реализует алгоритм сортировки, когда вы выбираете категории товаров, соответствующих вашему поисковому запросу, переходя от «наилучшего соответствия», к «наименьшей цене» или «заканчивающиеся быстрее всего». После того как Google определит, насколько точно веб-страницы соответствуют заданным вами поисковым критериям, ему необходимо быстро отсортировать страницы и представить их вам в правильном порядке. Эффективные алгоритмы, позволяющие достичь этой цели, пользуются большим спросом.

Один из способов сортировки набора предметов заключается в составлении списков, где зафиксированы все возможные комбинации предметов, и последующей проверке всех этих записей, чтобы убедиться, что порядок правильный. Представьте, что ваша музыкальная коллекция состоит всего из пяти альбомов – по одному от Led Zeppelin, Queen, Coldplay, Oasis и Abba. Но эти пять альбомов можно расставить (сгруппировать) 120 разными способами. Шесть альбомов – 720 способами, десять – более чем тремя миллионами способов. Количество комбинаций растет настолько быстро, что любой уважающий себя фанат пластинок запретит себе даже пытаться перепробовать их все: это просто нереально.

К счастью, как вы, вероятно, знаете из собственного опыта, сортировка коллекции записей, книг или DVD-дисков является проблемой категории Р – одной из тех, для которых есть практическое решение. Самый простой алгоритм такого решения называется пузырьковая сортировка (или сортировка простыми обменами). Работает он следующим образом. Мы сокращаем исполнителей из нашей скудной коллекции записей до первых букв – L, Q, C, O и A с тем, чтобы расставить их в алфавитном порядке. Алгоритм пузырьковой сортировки проверяет весь набор попарно слева направо и меняет соседние альбомы, если они расположены неверно (не в алфавитном порядке). Он продолжает просматривать альбомы, пока не расставит все в правильном порядке, рассортировав всю коллекцию. На первом проходе L остается на том же месте (в алфавите она идет раньше Q), но при сравнении Q и C алгоритм определит, что они расставлены неверно и поменяет их местами. Дальше сортировка продолжается: в процессе первого прохода местами поменяются Q и O, а затем – Q и A; список приобретет вид L, C, O, A, Q. К концу этого прохода Q окажется на своем законном месте в конце списка. На втором проходе С поменяется местами с L, а А – с О, в результате чего О тоже окажется в правильном месте: C, L, A, O, Q. Для того чтобы поставить А на первое место и выстроить весь список в правильном алфавитном порядке, потребуется еще два прохода.

Сортируя пять альбомов, нам пришлось прочесать несортированный список четыре раза, каждый раз делая по четыре сравнения. С десятью альбомами нам потребовалось бы девять проходов с девятью сравнениями в каждом. Это означает, что объем работы, который мы должны выполнить во время сортировки, растет почти в квадрате количества сортируемых объектов. Для сортировки большой коллекции потребуется уйма работы, но все же сотни сравнений, которые нужны, чтобы рассортировать 30 альбомов при пузырьковом алгоритме выглядят привлекательнее триллионов возможных расстановок, которые нам пришлось бы рассмотреть, возьмись мы сортировать коллекцию путем простого (полного) перебора всех возможных комбинаций. Несмотря на все достоинства пузырькового метода, ученые-компьютерщики отзываются о нем пренебрежительно, считая его неэффективным. В реальных интернет-приложениях, таких как лента новостей Facebook или лента фотографий Instagram, где нужно сортировать и отображать в соответствии с последними приоритетами технологических гигантов миллиарды сообщений, от простых пузырьковых алгоритмов приходится отказываться в пользу их более современных и совершенных родичей. Сортировка слиянием, например, сначала разбивает сообщения на небольшие группы, которые затем быстро сортируются и компонуются в правильном порядке.

В 2008 году во время предвыборной кампании в США Джона Маккейна, объявившего о намерении выставить свою кандидатуру, вскоре после этого пригласили выступить в Google, чтобы обсудить его политическую платформу. Эрик Шмидт, в тот момент генеральный директор Google, в шутку сказал тогда Маккейну, что баллотироваться на пост президента – примерно то же самое, что и проходить собеседование при приеме на работу в Google. А затем задал ему один из вопросов, которые задают на таком собеседовании: «Как вы определите хорошие способы сортировки одного миллиона 32-битных целых чисел в двух мегабайтах оперативной памяти?» Маккейн смешался, а Шмидт, повеселившись, быстро перешел к следующему вопросу – уже серьезному. Шесть месяцев спустя, когда в прицеле Google оказался Барак Обама, Шмидт задал ему тот же самый вопрос. Обама посмотрел на публику, потер бровь и начал: «Ну, э-э-э…». Чувствуя растерянность Обамы, Шмидт попытался вмешаться, но как раз в этот момент Обама закончил, глядя Шмидту прямо в глаза: «…нет-нет-нет, я думаю, что делать это через “пузырьки” – не лучшая идея», – под гром аплодисментов и одобрительные крики собравшихся компьютерщиков. Неожиданная эрудиция Обамы – шутка «для посвященных» о неэффективности пузырькового алгоритма сортировки – была одним из ключевых элементов его, казалось бы, естественной харизмы (которую на деле обеспечивала тщательная подготовка), отличавшей всю его кампанию и в конце концов приведшей его в Белый дом.

Теперь, располагая эффективными алгоритмами сортировки, приятно думать, что следующая перестановка книг или реорганизация коллекции DVD не отнимет у вас больше времени, чем существование Вселенной.

Существуют, однако, проблемы, которые просты в изложении, но для их решения может потребоваться астрономическое количество времени. Представьте, что вы работаете в крупной транспортной компании вроде DHL или UPS и за смену вам нужно доставить по разным адресам несколько посылок. Поскольку вам платят по количеству доставленных посылок, а не по времени, которое вы тратите на их доставку, вы хотите найти кратчайший маршрут между всеми пунктами доставки. В этом суть старой и важной математической головоломки – задачи коммивояжера. С ростом количества пунктов доставки сложность выбора оптимального маршрута растет лавинообразно – происходит так называемый комбинаторный взрыв. Вариативность маршрута с добавлением к нему новых локаций растет быстрее экспоненты. Если вы начнете с 30 адресов доставки, то у вас будет 30 вариантов выбора первой точки, 29 – второй, 28 – третьей и так далее. В общей сложности нужно будет проверить 30 × 29 × 28 ×… × 3 × 2 разных маршрута. Итого количество возможных маршрутов с 30 остановками составляет около 265 нониллионов – 265 с 30 нулями. Но на этот раз, в отличие от проблемы сортировки, у вас нет простого решения – практического алгоритма, решающего эту задачу в полиномиальном время, не существует. Проверить правильность решения так же сложно, как и найти его, поскольку проверять необходимо все возможные решения.

В офисе компании менеджер по логистике может попытаться распределить адреса между несколькими водителями, одновременно планируя их оптимальные маршруты. Сопутствующая задача маршрутизации транспортных средств даже более сложна, чем проблема коммивояжера. Эти две задачи возникают повсеместно – от планирования городских автобусных маршрутов, сбора почты из почтовых ящиков и снятия предметов со складских полок до сверления отверстий в печатных платах, изготовления микросхем и подключения компьютеров к сети.

Единственное достоинство всех этих проблем заключается в том, что хорошие решения для некоторых таких задач мы можем распознать сразу, как только увидим. Если при формулировке проблемы ввести определенное условие – например, указать, что общая протяженность маршрута доставки не должна превышать 1000 миль, то адекватность предложенного решения мы сможем проверить сразу и легко, даже если найти такой маршрут очень трудно. Подобная задача так и называется – «задача принятия решения»; в нашем случае это проблема коммивояжера с задачей принятия решения, и она требует ответа «да» или «нет». Это один из типов проблем группы NP, для которого найти решение сложно, но проверить его легко.

Несмотря на отсутствие общего решения проблемы, для некоторых ее частных случаев (определенного множеств локаций и направлений) точные решения найти можно, хотя это и достаточно сложно. Билл Кук, профессор комбинаторики и оптимизации в Университете Ватерлоо в Онтарио, потратил почти 250 лет компьютерного времени на суперкомпьютере с параллельной архитектурой, вычисляя кратчайший маршрут между всеми пабами Соединенного Королевства. Этот мегазагул предусматривает посещение 49 687 заведений и имеет протяженность всего 40 тысяч миль – в среднем на один паб приходится 0,8 мили. Задолго до того, как Кук начал свои расчеты, Брюс Мастерс из Бедфордшира в Англии решал ту же проблему своим путем – эмпирическим. Ему принадлежит мировой рекорд Гиннесса (самая подходящая книга для такого рекорда) по посещению пабов. К 2014 году 69-летний рекордсмен выпивал в 46 495 различных заведениях. Начиная с 1960 года, по оценкам Брюса, он проехал и прошел более миллиона миль, чтобы посетить все пабы Великобритании – в 25 с лишним раз больше, чем самый эффективный маршрут Билла Кука. Если вы планируете отправиться в подобную одиссею или даже просто собираетесь прошвырнуться по местным пабам, вам, вероятно, стоит для начала свериться с алгоритмом Кука [155].

Подавляющее большинство математиков считают, что P и NP – это принципиально разные классы проблем и что у нас никогда не будет быстрых алгоритмов для коммивояжеров или маршрутизации транспортных средств. Возможно, это к лучшему. Задача принятия решения с бинарным вариантом ответа для проблемы коммивояжера – канонический пример подгруппы задач, известной как NP-полные. Существует мощная теорема [156], утверждающая, что, если бы существовал практический алгоритм, способный решить одну NP-полную задачу, его можно было бы преобразовать для решения любой другой NP-задачи. Если эта теорема верна, она доказывала бы, что P равно NP – что P– и NP-задачи фактически являются одним и тем же классом задач. Поскольку почти вся криптография в интернете полагается на сложность решения определенных NP задач, доказательство того, что P равно NP, может быть губительным для онлайн-безопасности.

С другой стороны, тогда мы могли бы разработать быстрые алгоритмы для решения всевозможных логистических задач. Фабрики могли бы организовать производственный процесс с максимальной эффективностью, а службы доставки находили бы самые эффективные маршруты транспортировки, что потенциально снижало бы цену товара – даже если его больше нельзя было бы безопасно заказать онлайн! В научной сфере доказательство равенства P и NP может обеспечить эффективные методы машинного распознавания образов, генетического секвенирования и даже прогнозирования стихийных бедствий.

По иронии судьбы от равенства P и NP больше всего может выиграть наука, а вот сами ученые могут оказаться главными проигравшими. Некоторыми потрясающими научными открытиями человечество обязано прежде всего творческому мышлению высококвалифицированных и глубоко преданных своему делу людей: дарвиновская теория эволюции путем естественного отбора, доказательство Последней теоремы Ферма Эндрю Уайлсом, теория общей относительности Эйнштейна, ньютоновские уравнения движения. Если бы P равнялся NP, то компьютеры сумели бы найти формальные доказательства любой доказуемой математической теоремы – и многие из величайших интеллектуальных достижений человечества могли бы быть воспроизведены и вытеснены работой робота. Масса математиков остались бы без работы. По сути своей, проблема P vs NP – это очень непростая попытка выяснить, можно ли автоматизировать человеческое творчество.

Жадные алгоритмы

Проблемы оптимизации – задача коммивояжера, например, – так сложны потому, что мы пытаемся найти лучшее решение из немыслимо большого набора возможностей. Иногда, однако, мы должны быть готовы принять быстрое и хорошее решение, а не идеальное, но медленное. Может, мне, отправляясь на работу, не стоит мучительно оптимизировать вещи в сумке, чтобы они занимали как можно меньше места, а просто надо найти способ впихнуть туда все нужное. Если дело в этом, мы можем начать искать кратчайшие пути решения проблем. Мы можем использовать эвристические алгоритмы (упрощения, основанные на здравом смысле, или эмпирические правила), которые призваны приблизить нас к оптимальному решению для широкого круга типологически близких задач.

Одно из семейств таких алгоритмов называется жадными алгоритмами. Эти краткосрочные процедуры нацелены на поиск лучшего локального выбора в попытке найти глобально оптимальные решения. Несмотря на то, что они работают быстро и эффективно, они не гарантируют получение оптимального или даже хорошего решения. Представьте, что вы впервые оказались в какой-то местности и хотите подняться на самый высокий холм, чтобы осмотреться. Жадный алгоритм подъема на вершину сводится к тому, чтобы сначала найти самый крутой уклон по отношению к вашей текущей позиции, а затем сделать шаг в этом направлении. На каждом шаге эта процедура повторяется до тех пор, пока вы не окажетесь в точке, по всем направлениям от которой будут лишь скаты. Это означает, что вы достигли вершины холма – но не обязательно самого высокого холма вокруг. Жадный алгоритм не гарантирует, что вы подниметесь на самую высокую вершину, с которой открывается наилучший вид. Возможно, что маршрут к вершине небольшого холма, на который вы только что взобрались, просто начинался круче, чем тот, который привел бы вас к вершине местного горного хребта, а выбор ошибочного маршрута был продиктован вашей эвристической близорукостью. Жадные алгоритмы могут найти решения, но не всегда гарантированно лучшие. Однако для проблем определенного типа жадные алгоритмы оптимальны.

Карту, «зашитую» в спутниковый навигатор, можно рассматривать как набор перекрестков, соединенных между собой протяженностью дорог. Проблема, с которой сталкиваются спутниковые навигаторы, пытаясь найти кратчайший путь между двумя точками через лабиринт дорог и перекрестков, выглядит столь же сложной, как и задача коммивояжера. Действительно, с ростом количества дорог и перекрестков число возможных маршрутов растет астрономически быстро. Достаточно горстки дорог и кучки развязок, чтобы довести количество возможных маршрутов до триллионов. Если бы единственным способом найти решение был подсчет всех возможных маршрутов и сравнение общего пройденного расстояния для каждого из них, то это была бы проблема NP-класса. К счастью для всех, кто использует спутниковую навигацию, для этого есть эффективный метод – алгоритм Дейкстры, который находит кратчайшие маршруты в заданных условиях за полиномиальное время[157].

Например, в поисках кратчайшего пути от дома до кинотеатра алгоритм Дейкстры выстраивает маршрут в обратном направлении – от кинотеатра. Если известно кратчайшее расстояние от дома до всех перекрестков, соединенных с кинотеатром одним отрезком дороги, то работа существенно упрощается. Мы можем просто рассчитать кратчайший путь до кинотеатра, добавляя к длине дорог, соединяющих кинотеатр с ближайшими к нему перекрестками, длину путей от дома до этих перекрестков. Конечно, в начале процесса расстояния от дома до ближайших к кинотеатру перекрестков неизвестны. Однако, использовав ту же процедуру снова, мы можем найти кратчайшие пути до этих предпоследних перекрестков, используя кратчайшие пути от дома до тех перекрестков, которые с ними соединяются. Применяя эту логику рекурсивно, перекресток за перекрестком, мы возвращаемся дому, откуда и начинаем путешествие. Поиск кратчайшего маршрута через дорожную сеть, который просто требует от нас неоднократно делать правильный локальный выбор, – жадный алгоритм. Чтобы реконструировать маршрут, мы просто отслеживаем развязки, через которые нам пришлось пройти, чтобы найти это кратчайшее расстояние. Когда вы ищете через Google Maps наилучший маршрут до кинотеатра, в недрах программы обработку данных начинает, скорее всего, какая-то из вариаций алгоритма Дейкстры.

Когда вы, добравшись до кинотеатра, намереваетесь оплатить парковку, в билетном автомате вполне может не оказаться сдачи. Если у вас достаточно монет, то вы, скорее всего, захотите, как можно быстрее набрать точную сумму. Жадный алгоритм, который в такой ситуации многие используют интуитивно, состоит в том, чтобы вставлять в прорезь монету наивысшего достоинства, но меньше оставшейся к оплате суммы.

Большинство денежных систем – в Великобритании, Австралии, Новой Зеландии, ЮАР, Европе и т. д. – имеют структуру 1–2–5, при этом достоинства монет или банкнот в этой структуре увеличиваются кратно деноминации. В Великобритании, например, в обращении 1-, 2– и 5-пенсовые монеты. Далее следуют монеты достоинством 10, 20 и 50 пенсов, затем монеты в 1 фунт и 2 фунта стерлингов, за которыми следуют 5-, 10-, 20– и, наконец, 50-фунтовые банкноты. Таким образом, чтобы в рамках этой системы набрать 58 пенсов мелочью с помощью жадного алгоритма, нужно взять 50-пенсовик, оставив 8 пенсов до требуемой суммы; 20 и 10 пенсов уже превысят нужную величину, поэтому добавляем 5 пенсов, затем 2 пенса и наконец пенни. Получается, что во всех валютных системах такого типа, включая американскую, исполнение описанного выше жадного алгоритма позволяет набрать нужную сумму из наименьшего количества монет.

Но вовсе не обязательно, что этот алгоритм будет работать в любой валютной системе. Если бы вдруг существовала еще и 4-пенсовая монета, то последние 8 пенсов из 58 можно было бы набрать всего двумя 4-пенсовыми монетами вместо монет по 5, 2 и 1 пенсу. Любая валюта, для которой каждая монета или банкнота по крайней мере в два раза дороже, чем предыдущая по номиналу, удовлетворяет условиям жадного алгоритма. Это объясняет преобладание структуры «1–2–5» – соотношения 2 или 2,5 между номиналами гарантируют, что жадный алгоритм будет работать, а простая десятеричная система сохраняется. Поскольку мелочь требуется практически повсеместно, почти все валюты мира организованы таким образом, чтобы удовлетворять условиям жадного алгоритма – за исключением Таджикистана, где в обращении ходят монеты достоинством в 5, 10, 20, 25 и 50 дирамов. 40 дирамов проще набрать двумя монетами по 20, чем монетами по 25, 10 и 5 дирамов, что предлагает жадный алгоритм.

Кстати, о жадности: вы когда-нибудь пробовали заказать 43 макнаггетса в «Макдоналдсе»? Как ни странно, эти жареные во фритюре панированные кусочки курицы породили интересную математику. В Великобритании макнаггетсы первоначально подавали в коробках по 6, 9 или 20 штук. Обедая с сыном в «Макдоналдсе», математик Анри Пиччотто решил подсчитать, сколько наггетсов он не сможет заказать одномоментно, используя комбинации из трех коробок. Ответом стал числовой ряд 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 28, 31, 34, 37 и 43. Все остальные «наборы» наггетсов составить было можно; эти числа с того дня стали известны как числа Макнаггетса. Самое большое число, которое нельзя получить, комбинируя с кратными величинами заданного набора чисел, называется числом Фробениуса. Числом Фробениуса для куриных макнаггетсов, таким образом, было 43. К сожалению, когда «Макдоналдс» добавил в ассортимент упаковки по 4 наггетса, число Фробениуса упало до 11. Забавно, что даже с добавлением этой новой коробки, жадный алгоритм не позволит набрать 43 наггетса (две порции по 20 дадут сразу 40, а порции из 3 наггетсов нет), так что получить на заказ 43 наггетса в «Макавто» сегодня все еще непросто – хотя набрать это количество и возможно.

Высокоразвитые

Жадные алгоритмы – когда они работают – предлагают высокоэффективные методы решения проблем. Однако когда они не работают, они оказываются не просто бесполезны, но и вредны. Намереваясь отправиться на лоно природы и взобраться на самую высокую вершину, чтобы подышать свежим горным воздухом, очутиться на верхушке кротовой кучи на своем заднем дворе из-за того, что вы воспользовались негибким жадным алгоритмом, будет не очень-то приятно. Такой результат оптимальным не назовешь. К счастью, существует ряд алгоритмов, вдохновленных самой природой, которые помогают нам преодолевать как образные, так и настоящие препоны.

Одна из процедур, известная как муравьиный алгоритм, посылает армии компьютерных «муравьев» для исследования виртуальной среды, отражающей реальную проблему. Так, при решении задачи коммивояжера муравьи снуют между близлежащими пунктами назначения, отражая способность настоящих муравьев воспринимать лишь ближайшее для них окружение. Если муравьи находят короткий маршрут по всем точкам, то они метят его феромонами, чтобы направить по нему других муравьев. Более востребованные и, соответственно, более короткие маршруты привлекают больше муравьиного трафика. Как и в реальном мире, выделенный феромон испаряется, позволяя муравьям гибко менять оптимальную маршрутизацию при изменении пунктов назначения. Муравьиный алгоритм используется для поиска эффективных решений проблем NP-группы – таких как проблема маршрутизации транспортных потоков, – а также для моделирования сложнейших биологических процессов, включая особенности формирования многокомпонентных трехмерных белковых структур из простых одномерных цепочек аминокислот.

Муравьиный алгоритм – всего лишь один из целого семейства так называемых алгоритмов роевого интеллекта, вдохновленных природой. Стаи скворцов или косяки рыб способны очень резко – и при этом согласованно и синхронно – менять направление движения, несмотря на то что каждая особь может коммуницировать лишь с небольшим числом особей по соседству. Информация о появлении хищника неподалеку от одного края косяка рыбы, например, быстро распространяется на другой его край. Заимствуя эти принципы локального взаимодействия, разработчики алгоритмов могут использовать огромные «стаи» исполнительных устройств, объединенных в информационную сеть, для исследования окружающей среды. Их быстрое, «роевое» взаимодействие позволяет им узнавать об открытиях, сделанных другими участниками «роя» в поисках оптимального окружения.

Самый известный природный алгоритм – эволюция. В своей простейшей форме эволюция объединяет признаки родителей, чтобы производить детей. Дети, которые лучше подготовлены к выживанию и размножению в своем окружении, в следующем поколении передадут свои признаки бóльшему числу потомков. Иногда между поколениями происходят мутации, что привносит в популяцию новые признаки, которые могут быть лучше или хуже уже имеющихся. Для создания биоразнообразия, способного решить некоторые из самых сложных проблем планеты, достаточно исполнять всего лишь три простые процедуры – отбирать, комбинировать и мутировать.

Но прежде, чем петь дифирамбы этой биологически-эволюционной панацее, надо признать, что эволюционные решения часто бывают хорошими, но редко, а то и вовсе никогда – безупречными. Документальные фильмы и познавательные статьи о дикой природе изобилуют примерами «идеальной» адаптации животных к окружающей среде. От обитающих в пустыне сумчатых крыс, которые научились обходиться вовсе без воды, извлекая всю необходимую влагу из своего корма, до нототениевидных рыб, которые вырабатывают белки-«незамерзайки», чтобы выжить в океане при отрицательных температурах, – эволюция способствовала появлению животных, блестяще приспособленных к сложным средам обитания.

Однако слепой ход эволюции, которая просто перебирает имеющиеся возможности, не следует путать с целенаправленным поиском совершенства. Эволюция, как правило, находит решение, которое подходит больше, чем любое предыдущее решение для этой среды, но не всегда лучшее.

Популяция обыкновенной рыжей белки в Великобритании является классическим примером. С ее острыми когтями, гибкими задними лапами и длинным хвостом, необходимым для равновесия, она хорошо приспособлена для лазания по деревьям в поисках пищи. Ее зубы непрерывно растут на протяжении всей жизни, позволяя белкам разгрызать твердую наружную оболочку орехов, не теряя при этом резцы. Казалось, она идеально приспособилась к окружающей среде – но тут появился еще более приспособленный родственник. Значительно более крупная серая белка находит и съедает больше пищи, а также более эффективно переваривает и хранит ее. Хотя серые белки никогда не нападали на рыжих и не убивали их, превосходная адаптация быстро сделала их вид доминирующим в широколиственных лесах Англии и Уэльса; они превзошли рыжих в межвидовой конкуренции и захватили их экологическую нишу. Наше восприятие «образцовой» адаптации отдельно взятых видов, вероятно, продиктовано не столько реальными результатами эволюционного поиска оптимального варианта, сколько нашим ограниченным представлением о том, что такое по-настоящему идеальное решение.

Несмотря на то что эволюция не всегда находила лучшее решение, ученые-компьютерщики многократно заимствовали ключевые постулаты наиболее известного из естественных алгоритмов – прежде всего, в виде так называемых генетических алгоритмов. Эти инструменты используются для решения задач планирования (в том числе для составления расписания матчей ведущих спортивных лиг) и для поиска хороших, если не идеальных, решений сложных задач класса NP – таких, как задача о рюкзаке.

Задача о рюкзаке – это история торговца, который хочет унести с собой на рынок как можно больше товаров в рюкзаке с ограниченной вместимостью. Он не может взять с собой все, поэтому приходится выбирать. Разные предметы имеют разные размеры и принесут разную прибыль. Наилучшее решение проблемы рюкзака – отобрать товары, которые принесут самый большой доход. Вариации задачи о рюкзаке возникают при необходимости вырезать фигурные формы из теста или при попытке сэкономить на оберточной бумаге, упаковывая подарки на Рождество. Та же проблема возникает при погрузке судов и фур. Когда диспетчер загрузки определяет, какие куски данных нужно загрузить и в каком порядке, чтобы максимально использовать ограниченную пропускную способность интернет-канала, он пытается решить задачу о рюкзаке.

Генетический алгоритм начинается с генерации заданного числа потенциальных решений проблемы. Эти решения являются родительским поколением. Для задачи о рюкзаке это родительское поколение создает списки пакетов – наборы предметов, которые могут поместиться в рюкзак. Алгоритм ранжирует решения по тому, насколько хорошо они решают проблему. В задаче о рюкзаке критерием ранжирования становится прибыль, которую может принести каждый набор предметов, помещающийся в рюкзак. Затем выбираются два лучших решения – наборы, приносящие наибольшую прибыль. Некоторые наборы из одного хорошего решения отбрасываются, а остальные комбинируются с некоторыми наборами из другого хорошего решения. Существует также возможность «мутации» – случайно выбранный набор может быть удален из рюкзака и заменен другим. Как только в новом поколении создано первое дочернее решение, выбираются еще два наиболее эффективных родительских, которые будут воспроизводиться. Таким образом, лучшие решения в родительском поколении передают свои характеристики бóльшему количеству дочерних решений в следующем поколении. Этот комбинированный процесс повторяется до тех пор, пока не возникнет достаточно «дочек», чтобы заменить все оригинальные решения в родительском поколении. Сделавшие свое дело родительские решения уничтожаются, а дочерние переходят в статус родительских и весь цикл «отбор – комбинация – мутация» начинается заново.

Дочерним решениям присущ случайный характер, поэтому алгоритм не гарантирует, что все «дочки» будут лучше своих «родителей». Вообще-то, многие окажутся даже хуже. Однако, выбирая, какие из дочерних решений станут воспроизводиться – это можно назвать виртуальным дарвинизмом, – алгоритм отбрасывает неполноценные решения и позволяет передать свои характеристики следующему поколению только лучшим. Как и в случае с другими алгоритмами оптимизации, в результате мы можем получить локальный оптимум, любое изменение которого приведет к снижению качества, но не достичь наилучшего из возможных решений. К счастью, случайные процессы комбинирования и мутации позволяют отойти от этих локальных пиков и двигаться в сторону еще более совершенных решений.

Случайность, являющаяся столь важной особенностью генетических алгоритмов, играет определенную роль и в нашей повседневной жизни. Когда вам надоест прежний плейлист, постоянно прокручивающий одни и те же песни одних и тех же групп, вы можете нажать на кнопку Shuffle. В своей чистой форме функция просто выберет для вас случайную песню. Это как генетический алгоритм без стадий отбора и комбинации, но с высокой степенью мутации. Возможно, это один из способов найти новую группу, которая вам понравится, но, возможно, вам придется пробираться через кучу песен Джастина Бибера или One Direction, чтобы найти что-то стоящее.

Многие музыкальные стриминговые сервисы сегодня предлагают гораздо более сложные алгоритмы, чтобы разнообразить ваш плейлист. Если в последнее время вы часто слушали Beatles и Боба Дилана, генетический алгоритм может предложить вам попробовать группу, которая сочетает в себе некоторые характеристики этих двух исполнителей, – например, Traveling Wilburys (супергруппа Боба Дилана и Джорджа Харрисона). Пропуская песни или прослушивая их целиком, вы сигнализируете о том, насколько они вам подходят, давая алгоритму понять, из каких решений он должен исходить впредь.

Плагины Netflix также предлагают вам случайные фильмы или сериалы, исходя из ваших предыдущих предпочтений. Недавно появилось множество компаний, советующих вам – при помощи похожих алгоритмов – разнообразить свой стол, посылая случайные подборки своих продуктов от сыров и вин до фруктов и овощей. Вы можете начать оптимизировать свой гастрономический опыт, исследуя вкусы, о существовании которых, возможно, даже не подозревали; при этом поставщики продуктов питания, ориентируясь на ваши отзывы, узнаю́т, что еще могут вам предложить. От моды до художественной литературы, компании используют инструменты эволюционных алгоритмов, настойчиво пытаясь разнообразить наш повседневный потребительский опыт.

Время сказать: «Стоп!»

Возникает впечатление, что математическая основа некоторых рассмотренных выше алгоритмов оптимизации делает их исключительной прерогативой технологических гигантов, которые массово эксплуатируют эти алгоритмы в коммерческих целях. Однако существуют и более простые алгоритмы – хотя и в их основе лежит сложная математика, – с помощью которых можно вносить вроде бы мелкие, но очень существенные улучшения в нашу повседневную жизнь. Одно из таких семейств известно как «стратегии оптимальной остановки» и позволяет выбрать наилучший момент для вмешательства в процесс принятия решений.

Предположим, например, что вы ищете, куда пригласить своего партнера на ужин. Вы оба очень голодны, но вы бы хотели, чтобы и место было приятным – первое попавшееся не подойдет. Вы считаете, что вполне способны оценить качество каждого ресторана по сравнению с другими. По вашим прикидкам, вы сможете проверить с десяток ресторанов, пока вашему партнеру не надоест шляться туда-сюда. При этом вы не хотите выглядеть нерешительным, поэтому не будете возвращаться в однажды отвергнутый ресторан.

Лучшая стратегия для решения проблем такого рода заключается в том, чтобы посмотреть и сразу отвергнуть некоторые рестораны, чтобы почувствовать общую атмосферу. Вы можете просто выбрать первый ресторан, в который пришли, но, учитывая, что у вас нет абсолютно никакой информации, что это за заведение, есть только один шанс из десяти, что вы случайно выберете лучший. Так что стоит немного подождать и составить мнение о нескольких ресторанах, а потом выбрать первый из тех, что будет лучше, чем все те, в которые вы заходили прежде. Эта стратегия выбора ресторана проиллюстрирована на рис. 21. Первые три ресторана оцениваются, а затем отклоняются. Седьмой ресторан лучше всех предыдущих, поэтому на нем вы и останавливаетесь. Приятного аппетита! Но достаточно ли посетить три ресторана, чтобы получить надежные основания для отказа? Стратегия оптимальной остановки задается вопросом, сколько ресторанов нужно посмотреть и отклонить, чтобы получить представление о том, какой у вас выбор? Если посетите слишком мало ресторанов, вы не поймете, что предлагается к рассмотрению, но если вы исключите из списка слишком много, оставшийся выбор будет ограничен.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 21. Оптимальная стратегия заключается в том, чтобы оценить, но отклонить каждый вариант до заданной точки отсечения (пунктирной линии), а затем принять следующий оцениваемый вариант, который лучше всех предыдущих


Математика, стоящая за этой проблемой, сложна, но оказывается, что следует оценить и отвергнуть примерно первые 37 % ресторанов (округленные до трех, если их всего 10), прежде чем выбрать следующий, который лучше всех предыдущих. Точнее, нужно отвергнуть 1/e долю всех доступных вариантов, где e – математическое обозначение числа Эйлера [158]. Число Эйлера составляет приблизительно 2,718, таким образом, 1/e – примерно 0,368 или, в процентном соотношении, 37 %. Рис. 22 иллюстрирует, как меняется вероятность выбора лучшего из 100 ресторанов по мере того, как вы варьируете количество ресторанов, которые отвергаете сразу. Если вы поспешите с решением, оно, по сути, сведется к слепому гаданию, поэтому неудивительно, что при слишком раннем выборе вероятность наткнуться на лучший ресторан низка. Аналогично, если вы выбираете слишком долго, то, скорее всего, вы уже пропустили лучший вариант. Вероятность наилучшего выбора максимальна, когда вы отклоняете первые 37 вариантов.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 22. Вероятность выбора наилучшего варианта максимальна, когда мы оцениваем и отклоняем 37 % вариантов, прежде чем принять следующий, который оценим выше, чем все, что видели прежде. В этом сценарии вероятность выбора лучшего ресторана составляет 0,37, или 37%


Но что, если лучший ресторан был в первых 37 %? В таком случае, вам не повезло. Правило 37 % работает не каждый раз – оно вероятностное. Вообще алгоритм гарантированно работает только в 37 % случаев. Это лучшее, что вы можете сделать в данных обстоятельствах, но это выгоднее, чем 10-процентный шанс на успех, если бы вы выбирали один из 10 ресторанов наугад, и намного выгоднее, чем 1-процентный, если бы вам пришлось выбирать между 100 ресторанами. Чем выше относительная вероятность успеха, тем шире ваш выбор.

Стратегия оптимальной остановки работает не только для ресторанов. На самом деле изначально математики окрестили ее «проблемой найма»[159]. Если вы должны по очереди провести собеседование с конечным количеством кандидатов на должность, в конце каждого собеседования сообщив претенденту, получил ли он работу, используйте правило 37 %. Проведите собеседование с 37 % кандидатов и используйте их в качестве ориентира. Возьмите после этого первого кандидата, который окажется лучше всех тех, кого вы видели до него, и откажите остальным.

Когда я подхожу к кассам в моем местном супермаркете, я прохожу мимо первых 37 % (4 из 11), отмечая длину очереди в каждую из них, а затем встаю в первую же очередь, которая короче, чем все остальные, которые я видел. Если я вместе с группой друзей пытаюсь сесть в забитый пассажирами последний поезд после затянувшейся гулянки – да еще так, чтобы мы сели все вместе, мы используем правило 37 %. Мы пробегаем мимо первых трех вагонов состава, который состоит из восьми вагонов, запоминая, сколько в них народу, а затем садимся в первый же вагон, в котором больше свободных мест, чем в любом из первых трех.

Некоторые из этих сценариев несколько надуманны – хотя и навеяны реальным опытом. Но их можно сделать более прагматичными. Что произойдет, если в половине ресторанов, которые вы проверите, не будет свободных мест? В таком случае логично будет сократить время на предварительный отсев ресторанов. Вместо того чтобы проверять первые 37 %, проверьте только первые 25 %, прежде чем выбирать тот, что будет лучше всех остальных, которые вы уже видели.

Или если вы решите, что у вас достаточно времени, чтобы рискнуть – и вернуться к одному из тех вагонов поезда, которые пропустили, но вероятность, что он за это время заполнится, составляет 50 %? Возвращаясь, вы расширяете свои возможности и можете позволить себе искать немного дольше – отказаться от 61 % вагонов впереди перед тем, как выбрать следующий более пустой вагон. Не забывайте, однако, что вам все-таки нужно сесть в поезд прежде, чем он отойдет.

Существуют алгоритмы оптимальной остановки, которые могут подсказать, когда продать свой дом или на каком расстоянии от кинотеатра стоит искать парковку, чтобы шансы найти свободное место были максимальными, а пеший путь до кинотеатра – минимальным. Подвох в том, что чем реалистичнее ситуация, тем сложнее становятся математические выкладки, и простые процентные правила уже не действуют.

Существуют даже алгоритмы оптимальной остановки, которые подскажут, сколько кавалеров (или пассий) вам нужно перебрать, прежде чем задумываться о браке. Сначала нужно решить, сколько увлечений вы захотите пережить к тому времени, когда пожелаете остепениться. Допустим, вы остановитесь на одном романе в год с 18 по 35 лет, что составит в общей сложности 17 потенциальных партнеров на выбор. Стратегия оптимальной остановки предполагает, что вы играете на этом поле около шести или семи лет (примерно 37 % от 17 лет), определяясь с выбором. После этого вы должны остаться с первым же человеком, который вам подойдет лучше всех тех, с кем вы встречались до того.

Идея подчинить свою романтическую жизнь заданному набору правил придется по душе немногим. Что, если в первых 37 % вы найдете того, с кем по-настоящему счастливы? Можете ли вы действительно хладнокровно отвергнуть свои чувства, следуя любовной миссии по алгоритму? Что, если человек, которого алгоритм определил вам в спутники жизни, вовсе не считает вас наилучшей парой для себя? Что, если ваши приоритеты изменятся на полдороге? К счастью, в сердечных вопросах, как и в других, более очевидных математических проблемах оптимизации, нам не всегда нужно искать лучшее решение, тот единственный и неповторимый Идеал. Скорее всего, есть несколько человек, которые будут вам хорошей парой и с которыми вы сможете быть счастливы. Оптимальная остановка не дает ответов на все вопросы в жизни.

Вообще, при всех потрясающих способностях облегчать многие аспекты нашей повседневности, алгоритмы подходят для решения далеко не всякой задачи. Алгоритмы можно использовать для упрощения и ускорения монотонной задачи, но полагаться на них постоянно – слишком рискованно. Их триединая природа – ввод данных, свод правил и вывод данных – означает, что есть три области, где может произойти сбой. Даже если пользователь уверен, что правила процедуры определены в соответствии с его требованиями, неосмотрительный ввод данных и бесконтрольный их вывод могут привести к катастрофическим последствиям, как убедился на собственном горьком опыте онлайн-продавец Майкл Фаулер. Вдохновленный алгоритмами гениальный план американского торговца, обернувшийся неожиданным крахом в 2013 году, уходит корнями в историю Британии начала Второй мировой войны.

Сохраняйте спокойствие и проверяйте свой алгоритм

В конце июля 1939 года над Великобританией сгущались зловещие тучи грядущей войны. В воздухе висели призраки сильной бомбардировки, газовых атак или даже нацистской оккупации. Беспокоясь об общественных настроениях, британское правительство воскресило теневую организацию, впервые созданную в последний год Первой мировой войны для координации информационной политики внутри страны и за рубежом – Министерство информации. Предвосхищая оруэлловские образы Министерств правды и мира, новое Министерство информации должно было отвечать за пропаганду и цензуру во время войны.

В августе 1939 года Министерство разработало три плаката. Увенчанный короной Тюдоров, первый из них гласил: «Свобода в опасности, защищай ее всеми силами». Второй – «Твоя отвага, твоя бодрость, твоя решимость принесут нам победу». К концу августа были напечатаны сотни тысяч копий этих двух плакатов – в случае начала войны их можно было сразу пустить в дело. В первые месяцы войны их активно распространяли среди британской общественности, которая в основном ощущала равнодушие или раздражение из-за высокомерных поучений.

Третий плакат, напечатанный в то же время, был отложен на время – его собирались использовать в случае ожидавшихся жестоких и потенциально деморализующих массовых авианалетов и бомбардировок. Но к тому времени, когда нацисты начали блицкриг – в сентябре 1940 года, более чем через год после начала войны, – из-за нехватки бумаги и очевидного пафосного высокомерия первых двух плакатов всю наглядную агитацию отправили в переработку. Третий плакат за пределами Министерства информации не видел почти никто.

В 2000 году в тихом торговом городке Алник букинисты Мэри и Стюарт Мэнли открыли ящик с подержанными книгами, которые они недавно приобрели на аукционе. Разбирая ящик, на дне они обнаружили сложенный лист красной бумаги. Развернув его, они прочитали пять слов «потерянного» плаката Министерства информации: «Сохраняйте спокойствие и продолжайте действовать»[160].

Плакат настолько понравился чете Мэнли, что они вставили его в рамку и повесили на стену своего магазина, где он сразу привлек внимание покупателей. К 2005 году они продавали по 3000 экземпляров в неделю. А в 2008 году этот мем взорвал сознание мирового сообщества. Рецессия охватывала мир, и многие стремились пробудить в себе непреклонность и твердость духа, с которыми истинные британцы с древних времен встречали тяжелые времена. «Сохраняйте спокойствие и продолжайте действовать» – это было в точку. Лозунг появился на кружках, ковриках для мышки, брелоках – на всех сувенирах, которые только можно представить. Даже на туалетной бумаге. Лозунг заимствовали самые разные рекламные кампании – от индийских ресторанов («Сохраняйте спокойствие и добавьте карри») до презервативов («Сохраняйте спокойствие и надевайте его»)[161]. Кажется, что любая комбинация «Сохраняйте спокойствие и [глагол] [существительное]» вызывала восторг у публики. Почти любая.

Эта простая идея очень приглянулась онлайн-мерчандайзеру Майклу Фаулеру. В 2010 году ассортимент компании Фаулера Solid Gold Bomb, продающей футболки с принтами, насчитывал около 1000 различных позиций. Фаулер решил повысить эффективность своего бизнеса. Вместо того чтобы платить за хранение огромного количества готовых футболок, он перешел на печать по требованию. Это позволяло ему значительно разнообразить свое предложение, печатая при этом только заказанные принты. Наладив процесс печати, он занялся написанием компьютерных программ, которые автоматически генерировали эскизы. Ассортимент Solid Gold Bomb почти мгновенно вырос с тысячи до более чем десяти миллионов позиций. Один из таких алгоритмов, созданный в 2012 году, работал со списками глаголов и существительных, объединяя их по простой формуле «Сохраняйте спокойствие и [глагол] [существительное]». Фразы, сгенерированные программой, автоматически проверялись на синтаксические ошибки, накладывались на изображение футболки и выставлялись на продажу на Amazon по цене около $20 за штуку. На пике продаж Solid Gold Bomb Фаулер продавал 400 футболок в день с фразами типа «Сохраняйте спокойствие и надирайте задницы» или «Сохраняйте спокойствие и много смейтесь». Проблема заключалась в том, что он также автоматически выставил на продажу в крупнейшем в мире интернет-магазине несколько футболок с фразами типа «Сохраняйте спокойствие и пните ее» или «Сохраняйте спокойствие и насилуйте всех».

Удивительно, но почти целый год эти фразы не привлекали особого внимания. Но как-то в марте 2013 года, страницу Фаулера в Facebook внезапно засыпали смертельными угрозами и обвинениями в женоненавистничестве. Фаулер отреагировал быстро и снял с продажи футболки с оскорбительными надписями, но ущерб оказался слишком велик. Amazon приостановила работу страниц Solid Gold Bomb, продажи упали практически до нуля и, несмотря на отчаянные трехмесячные попытки поправить дело, компания в конце концов пошла на дно. Разработанный Фаулером алгоритм, казавшийся в свое время замечательной идеей, в итоге привел к тому, что он и его сотрудники лишились средств к существованию.

Amazon эта история тоже не сошла с рук. На следующий день после того, как Solid Gold Bomb принесли официальные извинения за этот конфуз, Amazon все еще сохранял в продаже футболки с лозунгами «Сохраняйте спокойствие и распускайте руки» и «Сохраняйте спокойствие и прирежьте ее». Торговому гиганту объявили бойкот, к которому (в «Твиттере») присоединился даже лорд Прескотт, бывший заместитель премьер-министра Великобритании: «Сначала Amazon уклоняется от уплаты налогов в Великобритании, а теперь они зарабатывают на домашнем насилии». Понятно, что крупнейшая в мире торговая сеть делала это ненамеренно – просто технологический гигант, операционная деятельность которого настолько компьютеризирована, попал в одну из многих ловушек неконтролируемой деятельности алгоритмов.

В 2011 году Amazon уже пострадал от казуса, вызванного работой автоматизированных алгоритмов ценообразования. 8 апреля того года специалист в области вычислительной биологии из Беркли Майкл Айзен обратился к одному из своих коллег с просьбой достать для лаборатории новую копию классической, но давно уже не выходившей работы по эволюционной онтогенетике The Making of a Fly («Создание мухи»). Тот запустил поиск в Amazon и был вполне доволен, обнаружив два экземпляра книги, выставленных на продажу. Приглядевшись, однако, он обнаружил, что одна из книг, от продавца с ником profnath, предлагалась за 1 730 045,91 доллара США. Другой экземпляр, от bordeebook, продавался за 2 миллиона с лишним. Как бы ни была необходима ему эта книга, Айзен не мог согласиться с такой ценой, поэтому решил посмотреть, не снизится ли она. Но на следующий день он обнаружил, что все стало еще хуже: обе книги стоили почти 2,8 миллиона. Еще через день цена перевалила за 3,5 миллиона.

Айзен быстро разобрался в причинах этого безумного ажиотажа. Каждый день profnath устанавливал их цену в 0,9983 от предложения bordeebook. Чуть позднее в тот же день bordeebook проверял листинг profnath и поднимал свою цену примерно в 1,27 раза. День за днем цена bordeebook росла пропорционально ее текущему размеру, что приводило к ее экспоненциальному росту, а цена profnath ненамного отставала от нее. Если бы цену определял человек, он быстро заметил бы умопомрачительную цифру. К сожалению, этот динамический процесс перерасчета цен осуществлял не человек, а один из тех алгоритмов ценообразования, которые предлагает выставляющимся на своей площадке продавцам Amazon. Видимо, никто не подумал о том, чтобы включить в этот алгоритм опцию ценового «потолка», а если и подумал, то продавцы решили не использовать ее.

Тем не менее демпинговая стратегия profnath до некоторой степени разумна. Она гарантирует, что выставленная им книга будет самой дешевой из доступных и, следовательно, окажется на первой строке списка поиска; при этом дисконт не слишком сильно срежет прибыль. Но почему bordeebook выбирал алгоритм, заведомо проигрышный с точки зрения ценовой конкуренции – ведь книгу по завышенной цене никто не купил бы, и она только занимала бы место на складе? Этому есть единственное разумное объяснение: у bordeebook книги не было. Айзен подозревает, что bordeebook пытался эксплуатировать свою репутацию надежного и достойного доверия продавца, которую подтверждал его высокий пользовательский рейтинг. Если бы кто-то заказал книгу у bordeebook, он бы быстро купил реальную копию у profnath и отправил бы ее заказчику. Более высокая цена позволяла bordeebook покрыть почтовые расходы на транзакции, получив при этом прибыль от продажи товара.

Через десять дней после того, как Айзен впервые заметил непомерные цены, они еще больше выросли и достигли отметки в $23 миллиона. К сожалению, 19 апреля кто-то из profnath заметил нелепую цену, запрашиваемую за книгу 20-летней давности, и испортил Айзену веселье, сбросив цену до 106,23 доллара. На следующий день цена bordeebook составляла $134,97 – примерно в 1,27 раза больше цены profnath – что и перезапустило цикл. Цена снова достигла пика в августе 2011 года – на сей раз всего $500 000 – где и застыла на три месяца. Видимо, кто-то из продавцов усвоил урок и ввел потолок отсечения, хотя и не очень реалистичный. На момент написания статьи в интернете можно было найти около 40 предложений о продаже этой книги, начинавшихся с более разумной цены в районе семи долларов.

Несмотря на бешеную цену, The Making of a Fly не стала самым дорогим товаром, когда-либо выставленным на продажу или проданным на Amazon. В январе 2010 года инженер-компьютерщик Брайан Клаг нашел на Amazon CD-ROM с фильмом Cells («Клетки») от Discovery Channel под Windows-98, за который просили почти 3 миллиарда долларов (плюс 3,99 доллара за почтовые расходы и упаковку). Вероятно, высокая цена появилась в результате раскручивания еще одной ценовой спирали, когда второй экземпляр того же самого CD-ROM был выставлен на продажу другим продавцом, который перебил сравнительно скромную цену в 250 тысяч долларов США. Клаг ввел данные своей кредитной карты и приобрел товар. Через несколько дней Amazon отправила ему по электронной почте письмо с извинениями за то, что не смогли выполнить его заказ. С разочарованием – но, вероятно, и с таким же облегчением, Клаг в ответном письме поинтересовался (на всякий случай), какую сумму теперь составляет общий объем его 1-процентного кредита на покупки на сайте Amazon с помощью его кредитной карты Amazon.

Обвал

Алгоритмические ценовые спирали вроде тех, что поразили Amazon, не всегда закручиваются вверх. Если вы когда-нибудь инвестировали в фондовый рынок или даже просто вносили сбережения на связанный с ним счет, то наверняка слышали неизменно повторяемую фразу: «Стоимость ваших инвестиций может пойти как вниз, так и вверх». Сделки на фондовом рынке все чаще реализуются в виде так называемой алгоритмической торговли. Компьютеры могут ощутить и отреагировать на изменения на рынке в гораздо быстрее, чем люди. Если на экране вспыхивает поручение на масштабную продажу определенного финансового продукта, это может указывать на то, что цена этого продукта падает и что трейдеры надеются избавиться от своих активов по хорошей цене, прежде чем она упадет еще ниже. За время, необходимое человеку, чтобы прочесть сообщение и нажать на кнопку, чтобы продать свои активы, высокочастотные алгоритмы-трейдеры уже продали свои, и цена уже сильно упала. Люди-трейдеры просто не могут с ними конкурировать. Считается, что 70 % торговли на Уолл-стрит сейчас ведется так называемыми автоматами с черным ящиком. Поэтому крупные трейдерские компании и банки все чаще обращаются к выпускникам математических и физических факультетов, а не к брокерам, чтобы те помогли с написанием и пониманием (что, пожалуй, даже важнее) этих алгоритмов-трейдеров.

Утро 6 мая 2010 года выдалось неважным для рынков. Чуть позже в тот же день небольшой независимый трейдер Навиндер Сарао, работавший из своей лондонской спальни, запустил специализированный алгоритм, модификацию которого он недавно завершил. Алгоритм был разработан для того, чтобы очень быстро заработать много денег на спуфинге – имитации заявок. Размещая множество заявок, а затем сразу же их отменяя, мошенник заставляет остальных трейдеров поверить в то, что на рынке действует новый тренд (которого на самом деле не существует), и поступать в соответствии с этим трендом. Алгоритм Сарао размещал ордера на продажу финансового продукта, известного как фьючерсные контракты E-mini, но отменял их прежде, чем кто-либо успевал принять это предложение.

Предлагая продать свои контракты по цене, немного превышавшей текущую, Сарао (а точнее его алгоритм) гарантировал, что никто, даже быстрый алгоритм, не соблазнится принять его предложение, прежде чем алгоритм отменит ордер. Программа Сарао сработала, как колдовской амулет, зачаровав рынок. Высокочастотные алгоритмы-трейдеры распознали огромное количество поступающих ордеров на продажу и решили продать собственные фьючерсные контракты на E-mini до падения цены на них – как это неизбежно случилось бы, перенасыть продажи рынок. Как только цена фьючерса упала до той, которая удовлетворяла Сарао, он отключил свою программу и принялся скупать резко подешевевшие контракты. Алгоритмы-трейдеры засекли падение цен и, быстро восстановив доверие к E-mini, бросились их скупать. Цена, соответственно, взлетела, а Сарао сорвал куш.

Считается, что эта «спуф»-сделка принесла ему 40 миллионов долларов. Его алгоритм был очень успешным – возможно, даже слишком. Высокочастотные торговые алгоритмы реагировали на огромные объемы продаж на фьючерсном рынке. Всего за 14 секунд алгоритмы продали более 27 000 E-mini-контрактов, что составило 50 % от общего объема торгов за день. Затем они начали продавать другие типы фьючерсных контрактов, чтобы снизить дальнейшие потери. Затем лихорадочные продажи захватили акции и более широкий рынок. За пять минут с 14:42 до 14:47 индекс Dow Jones упал почти на 700 пунктов, доведя общий дефицит за день почти до 1000 пунктов – самое большое однодневное падение за всю историю индекса. За день с фондового рынка был вымыт 1 триллион долларов. Высокочастотные торговые алгоритмы, возможно, и не стали причиной краха сами по себе, но их бесконтрольные, неуправляемые, быстрые торговые операции, безусловно, усугубили его. Однако, как только рынок достиг дна и к алгоритмам вернулась уверенность, они так же быстро откорректировали стоимость большинства акций обратно к значениям, близким к начальным.

Сарао избегал правосудия в течение почти пяти лет, пока американские финансовые регуляторы возлагали ответственность за обрушение рынка на целый ряд других факторов. Однако в 2015 году он был арестован за ту роль, которую его схема сыграла в обрушении 2010 года, и экстрадирован в США. Он признал себя виновным в незаконных манипуляциях на рынке, за что ему грозит до 30 лет тюрьмы; кроме того, он обязан вернуть деньги, заработанные в результате своей незаконной торговли. Преступление – даже подкрепленное алгоритмами – все же, похоже, не окупается.

Тренд всемогущий

Паника, которую Сарао, не выходя из спальни, устроил на рынке ценных бумаг, иллюстрирует, насколько просто применить алгоритмы во зло. Слишком часто мы считаем их просто беспристрастными последовательностями инструкций, которые можно спокойно исполнять, забывая, что все алгоритмы разрабатываются с определенной целью. То, что сами правила предопределены и непредвзяты, не означает, что такова и цель, для которой они используются, – даже если непредвзятость была изначально задумана разработчиком алгоритмов.

Twitter, который часто превозносят как оплот прозрачности среди соцсетей, использует относительно простой алгоритм для определения трендовых тем. Алгоритм ищет резкие скачки в использовании хештегов, а не продвигает темы исключительно на основе частого обращения к ним. Это кажется разумным: взгляд на изменение интенсивности, а не на саму интенсивность использования хештегов позволяет быстро вывести в топ новостей короткие, но важные события, вроде запроса на донорскую кровь (#dondusang – донорство) или предложения укрыться на ночь (#porteouverte – открытая дверь) после серии террористических атак в Париже в 2015 году. Если бы большой объем хештегов был единственным критерием тенденции, то мы никогда не услышали бы ни о чем, кроме Гарри Стайлза (#harrystyles) и «Игры престолов» (#GoT).

К сожалению, этот же набор правил означает, что социальные темы, которые разворачиваются медленно, редко набирают ту популярность, которую они заслуживают. В сентябре и октябре 2011 года, когда волна протестного движения «Захвати Уолл-стрит» набирала силу, хештег #occupywallstreet ни разу не был трендовым в родном Нью-Йорке, при том что в этот период он был самым популярным хештегом в «Твиттере» в целом. Тогда же менее протяженные во времени истории, такие как смерть Стива Джобса (#ThankYouSteve) или свадьба Ким Кардашьян (#KimKWedding), привлекли больше внимания (несмотря на то, что отмечали их в целом реже), чтобы подняться вверх по трендовым рейтингам «Твиттера». Стоит помнить, что даже в подлинно прагматичных алгоритмах может быть жестко зашита тенденциозность, которая влияет на то, куда направляется внимание мирового сообщества.

Пожалуй, еще бóльшую озабоченность вызывают ситуации, когда человек целенаправленно вмешивается в работу, казалось бы, независимых алгоритмов. В мае 2016 года разоблачительная статья на сайте технологических новостей Gizmodo обвинила «трендовый» новостной раздел Facebook в предвзятом отношении к консерваторам. Gizmodo раздобыл свидетельские показания бывшего куратора новостного отдела Facebook, который утверждал, что истории видных американских правых – Митта Ромни, Рэнда Пола и других – исключались из списка трендовых тем Facebook путем прямого человеческого вмешательства. Даже когда посты консерваторов естественным образом выходили в тренды на Facebook, утверждалось, что они не попали в трендовый список. В других случаях истории якобы искусственно вписывались в трендовый список, даже если не были достаточно популярны, чтобы заслуживать включения в него.

В ответ на обвинения в политической ангажированности Facebook решил уволить свою редакционную команду и «сделать продукт более автоматизированным». Доверив больше власти алгоритму и убрав часть человеческого контроля, Facebook надеялся сыграть на том, что в глазах публики алгоритмы выглядят объективными. Спустя всего несколько часов после их решения раздел трендовых тем продвигал фейковую новость от правых, сообщая, что «скрытый либерал» с канала Fox News Мегин Келли была уволена якобы за поддержку Хиллари Клинтон. Этот эпизод окажется первым из целого шквала фейковых новостей (преимущественно от правых), которые станут определять тренды в Facebook на следующие два года – по сравнению с таким скандалом обвинения в предвзятом отношении к консерваторам, с которых все началось, сильно бледнеют. В конце концов проблемы с обеспечением достоверности и верификацией информации заставили Facebook полностью отключить трендовую платформу в июне 2018 года.

Мы доверяем якобы беспристрастным алгоритмам, потому что знаем о естественных человеческих слабостях и непоследовательности. Но хотя компьютеры могут реализовывать алгоритмы объективно, следуя предписанному набору правил, сами правила пишут люди. Программисты могут вписать свои предубеждения – сознательно или бессознательно – непосредственно в сам алгоритм, маскируя свою предвзятость строчками компьютерного кода. Идея, что мы должны быть уверены в нейтральности трендовых новостей от Facebook только потому, что одна из ведущих мировых технологических компаний передоверила ответственность за достоверность информации одному из собственных алгоритмов, не выдерживает никакой критики.

Как и футболки с оскорбительными принтами от Solid Gold Bomb, как и ценовые спирали Amazon, передряги, выпавшие на долю Facebook, подчеркивают необходимость более строгого контроля над алгоритмами со стороны человека, а не наоборот. По мере усложнения алгоритмов результаты их могут стать соразмерно непредсказуемыми, поэтому программы требуют более пристального внимания. Однако контроль за работой алгоритмов должны осуществлять не только технологические гиганты. Оптимизирующие алгоритмы все глубже внедряются в нашу повседневность, и мы – пионеры технооптимизма – должны взять на себя часть ответственности за достоверность тех результатов, которые нам скармливают. Доверяем ли мы источнику прочитанных нами новостей? Разумен ли маршрут, который предлагает навигатор? Считаем ли мы автоматически выставленную цену справедливой? Хотя алгоритмы могут предоставить нам информацию, которая облегчает принятие жизненно важных решений, они все же не заменяют наши собственные тонкие, предвзятые, иррациональные, непостижимые, но в конечном счете человеческие суждения.

Когда в следующей главе мы рассмотрим самые современные инструменты борьбы с инфекционными заболеваниями, мы снова убедимся в верности этого тезиса: хотя достижения современной медицины серьезно ограничивают распространение инфекций, математика показывает, что среди наиболее эффективных способов укрощения эпидемий – простые разумные действия и личный выбор каждого человека.

Глава 7

«Восприимчивые», «инфицированные», «выбывшие». Сдержать эпидемию – в наших силах

Во время рождественских праздников в конце 2014 года «самое счастливое место на Земле» для многих семей оказалось источником ужасных страданий. На каникулах сотни тысяч родителей и детей посетили Диснейленд в Калифорнии, надеясь увезти домой волшебные воспоминания, которые останутся на всю жизнь. Вместо этого некоторые из них уехали с сувенирами, на которые вовсе не рассчитывали, – с особо опасной инфекцией.

Одним из таких посетителей был четырехмесячный Мёбиус Луп. Его мать Ариэль и отец Крис были такими фанатами Диснейленда, что даже поженились там в 2013 году. Дипломированная медсестра Ариэль прекрасно понимала опасность инфекций для своего сына, родившегося недоношенным. Она практически не выносила его из дома. Ариэль требовала, чтобы те, у кого нет прививок от сезонного гриппа, столбняка, дифтерии и коклюша, воздержались от посещения Мёбиуса до его первой вакцинации, которую делают в два месяца.

В середине января 2015 года, когда завершился первый этап вакцинации, а их годовые абонементы жгли карман, Ариэль и Крис решили отвезти Мёбиуса «в сказку», в Диснейленд. После дня парадов и встреч с гигантскими маскотами мультяшных героев семья вернулась домой в восторге от того, насколько знакомство со страной Диснея восхитило Мёбиуса.

Две недели спустя, после бессонной ночи – Мёбиус никак не хотел засыпать – Ариэль заметила красные высыпания на груди и на затылке у сына. И жар – у Мёбиуса было 39 °C. Не сумев сбить температуру, Ариэль позвонила своему врачу, и тот велел ей отвезти ребенка прямо в отделение скорой помощи. Когда они прибыли в больницу, их встретила группа инфекционного контроля, облаченная в костюмы полной защиты. Ариэль и Крис получили собственные маски и халаты, и через задний вход их провели в изолятор отрицательного давления. В изоляторе врачи внимательно осмотрели Мёбиуса, а потом попросили Ариэль подержать его, чтобы взять кровь для окончательного анализа. Сотрудники отделения неотложной помощи раньше не встречались с таким случаем, но единодушно подозревали одно: корь.

Благодаря эффективности программ вакцинации, начатых в 1960-х годах, лишь немногие граждане западных стран (в основном медицинские работники) на собственном опыте убедились, насколько тяжелыми могут быть симптомы кори. Но стоит лишь отправиться в менее развитые страны вроде Нигерии, где ежегодно регистрируются десятки тысяч случаев заболевания корью, и вы рискуете получить более полное представление о болезни. Осложнения могут включать пневмонию, энцефалит, слепоту и даже смерть.

В 2000 году на всей территории США было официально объявлено об искоренении кори [162]. На медицинско-чиновничьем жаргоне это означало, что заболевание больше не циркулирует в стране на постоянной основе, и что любые новые случаи заболевания являются результатом вспышек, спровоцированных теми, кто возвращается в страну из-за рубежа. За девять лет с 2000 по 2008 год в США было зарегистрировано всего 557 подтвержденных случаев заболевания корью. Но только в 2014 году таких случаев было 667. По мере приближения 2015 года вспышка, очагом которой стал Диснейленд, а жертвами – семья Мёбиуса и десятки других семей, быстро распространилась по всей стране. К тому времени, как она сошла на нет, корью заразилось более 170 человек в 21 штате. «Корь из Диснейленда» была лишь частью общей тенденции – масштабные вспышки заболевания возникают все чаще. В США и Европе корь снова наступает, угрожая уязвимым группам населения.

Инфекционные болезни сопровождают людской род с тех пор, как наша родословная гомининов впервые отделилась от линии шимпанзе и бонобо. Незримым подтекстом большей части истории человечества идет история заразных болезней. Так, недавно было обнаружено, что более 5000 лет назад значительную часть населения Древнего Египта поразили малярия и туберкулез. Считается, что глобальная пандемия Юстиниановой чумы в период с 541 по 542-й выкосила от 15 до 25 % населения мира, насчитывавшего тогда 200 миллионов человек. После вторжения Кортеса в Мексику местное население за полвека сократилось с примерно 30 миллионов в 1519 году до каких-то 3 миллионов; у ацтекских врачей не было сил сопротивляться невиданным прежде болезням, занесенным конкистадорами с Запада. Список этот можно продолжать.

Даже сегодня, при достаточно развитом здравоохранении, современная медицина все еще не способна исключить болезнетворные патогенные микроорганизмы из нашей повседневности целиком – слишком уж они сложны. Большинство людей почти ежегодно сталкиваются с банальной простудой. Если вы сами не болели гриппом, вы наверняка знаете хотя бы нескольких переболевших. Холера или туберкулез в развитом мире встречаются реже, но эти потенциально пандемические заболевания не редкость во многих странах Африки и Азии. Однако даже в тех обществах, где инфекционные заболевания распространены широко, ими вполне можно и не заразиться. Наш болезненный интерес к болезням частично объясняется характером их проявления, который кажется случайным: одним эти болезни сулят невыразимые ужасы, а других – в том же самом обществе – не затрагивают вовсе.

Существует малоизвестная, но весьма успешная область науки, без лишней помпы работающая над разгадкой тайн инфекционных заболеваний. Предлагая профилактические меры, направленные на то, чтобы остановить распространение ВИЧ и разрешить кризис, вызванный лихорадкой Эбола, математическая эпидемиология играет решающую роль в борьбе с крупномасштабными инфекциями. Начиная с выявления рисков, которым может подвергнуть человечество набирающее мощь движение против вакцинации, и заканчивая борьбой с глобальными пандемиями, математика находится в центре жизненно важных мероприятий, призванных избавить Землю от болезней навсегда.

Оспа

К середине XVIII века оспа была распространена повсеместно. Считается, что только в Европе от этой болезни умирало 400 тысяч человек в год, что составляло до 20 % всех смертей на континенте. Половина выживших оставались слепыми и обезображенными. Работая врачом в сельской местности Глостершира, Эдвард Дженнер неоднократно сталкивался с укоренившимся местным поверьем: доярки как-то защищаются от оспы. Дженнер пришел к выводу, что легкая коровья оспа, которой заражалось большинство доярок, обеспечивает некоторый иммунитет от оспы натуральной – человеческой.

Для подтверждения своей гипотезы в 1796 году Дженнер провел новаторский эксперимент по профилактике заболеваний, который сегодня считался бы дико неэтичным [163]. Он втер гной из язвочки на руке доярки, зараженной коровьей оспой, в порез на руке восьмилетнего мальчика Джеймса Фиппса. У мальчика быстро появились высыпания и развилась лихорадка, но через десять дней он встал на ноги, здоровый, как и до прививки. Как будто одного раза было недостаточно, два месяца спустя Фиппс снова попал в руки Дженнера – на сей раз врач привил мальчику более опасный штамм человеческой оспы. Прошло несколько дней, но Фиппс не демонстрировал никаких симптомов заболевания, и Дженнер пришел к выводу, что у того выработался иммунитет. Дженнер назвал свой защитный процесс вакцинацией, от латинского слова vaccas – корова. В 1801 году он зафиксировал надежды первооткрывателя, записав, что «конечным результатом этой практики должно стать уничтожение оспы, самого страшного бича рода человеческого». В конце концов, почти 200 лет спустя, в 1977 году, благодаря напряженной работе по вакцинации, предпринятой Всемирной организацией здравоохранения, мечта Дженнера стала реальностью.

История изобретения вакцинации иллюстрирует неразрывную связь между оспой и историей современной профилактики инфекционных заболеваний. Корни математической эпидемиологии также лежат в попытке побороть оспу, но происхождением своим эта наука обязана далеко не только Дженнеру.

Задолго до того, как Дженнеру в голову пришла идея вакцинации, в отчаянной попытке спастись от неумолимой оспы народы Индии и Китая практиковали вариоляцию. В отличие от вакцинации, вариоляция подразумевает контакт с небольшим объемом материала, связанного непосредственно с самой болезнью. Для предотвращения оспы люди вдыхали через нос перетертые в пыль струпья переболевших или вводили их гной в порез на руке. Целью было спровоцировать у себя более мягкую форму оспы, которая, хотя и неприятна, но гораздо менее опасна и обеспечит пациенту пожизненный иммунитет от тяжелых симптомов резко выраженной болезни. Эта практика быстро распространилась на Ближний Восток, а затем, в начале 1700-х годов, и в Европу, где оспа свирепствовала повсеместно.

Несмотря на очевидную эффективность, вариоляцию критиковали. В некоторых случаях эта практика не защищала пациентов от повторного, более серьезного приступа оспы по мере ослабления иммунитета. Возможно, еще большее неприятие вызывала смертность в результате вариоляции – 2 % из тех, кто подвергся процедуре, умирали. Смерть Октавия [164], четырехлетнего сына английского короля Георга III, была одним из таких резонансных случаев, который способствовал дальнейшему разочарованию общества в этой практике. Несмотря на то, что смертность 2 % была значительно ниже, чем 20–30 %, связанная с естественным распространением заболевания, критики утверждали, что многие пациенты, подвергшиеся вариоляции, возможно, никогда не заразились бы оспой обычным путем, поэтому широкая профилактика является ненужным риском. Отмечалось и то, что подвергшиеся вариоляции больные могли распространять заболевание так же эффективно, как и те, кто инфицировался естественным образом. Однако в отсутствие контролируемых медицинских испытаний количественная оценка эффекта вариоляции и ее научная реабилитация были практически недостижимы.

Эта проблема заинтересовала швейцарского математика Даниила Бернулли, одного из великих невоспетых научных героев XVIII века. Среди его многочисленных математических достижений – исследования в области гидродинамики, в процессе которых Бернулли вывел уравнения, объясняющие, как крылья создают подъемную силу, позволяющую самолетам летать. Однако первую научную степень Бернулли получил в медицине, еще до обращения к высшей математике. Последующие исследования потоков в жидкой среде в сочетании с медицинскими знаниями привели его к открытию способа измерять артериальное давление. Проткнув стенку трубы полой трубкой, Бернулли смог определить давление проходящей через трубу жидкости по тому, как высоко она поднималась во вставленной трубке. На основе его выводов была разработана не самая приятная для пациента методика измерения давления – стеклянную трубку вводили непосредственно в артерию реципиента. Такой способ практиковали более 170 лет, пока ему на смену не пришел неинвазивный [165]. Широчайшая академическая подготовка позволила Бернулли применить математический подход и для определения общей эффективности вариоляции – задача, о решении которой традиционные врачи могли только мечтать, теряясь в догадках.

Бернулли предложил уравнение, описывавшее долю людей, которые никогда не болели оспой и, следовательно, еще могли ею заразиться, для каждой возрастной группы [166]. Свое уравнение он выверял по таблице смертности [167], составленной Эдмундом Галлеем (прославившимся наблюдением за кометами), которая описывала, какая часть из всех родившихся доживала до определенного возраста. На этой основе он смог вычислить соотношение выздоровевших и умерших к общему числу тех, кто болел оспой. С помощью второго уравнения Бернулли подсчитал количество жизней, которые могли спасти, если бы вариоляции регулярно подвергали все население. Он пришел к выводу, что при всеобщей вариоляции почти 50 % новорожденных доживали бы до 25 лет. По сегодняшним меркам число удручающее, но по сравнению с показателем в 43 %, наблюдаемым при свободном распространении оспы среди населения, это существенный прогресс. Возможно, еще более примечательной была его демонстрация того, что такое простое медицинское вмешательство способно увеличить среднюю ожидаемую продолжительность жизни на три года с лишним. Для Бернулли необходимость государственной медицинской программы по борьбе с оспой была очевидна. В заключении своей работы он писал: «Я просто хочу, чтобы в вопросе, который так тесно касается благополучия рода человеческого, ни одно решение не принималось без учета всех тех знаний, которые обеспечивает простейший анализ и расчет».

Сегодня цель математической эпидемиологии недалеко ушла от первоначальных целей Бернулли. С помощью базовых математических моделей мы можем прогнозировать развитие заболеваний и оценить последствия возможных корректирующих мероприятий на распространение болезней. Применяя более сложные модели, мы можем искать ответы на вопросы о наиболее эффективном распределении ограниченных ресурсов или выявлять неожиданные последствия различной деятельности в области общественного здравоохранения.

Модель SIR

В конце XIX века антисанитария и чрезмерная скученность в колониальной Индии вызвали серию смертоносных эпидемий. В стране свирепствовали холера, проказа и малярия, унесшие миллионы жизней [168]. Вспышка четвертой болезни, само название которой сотни лет вызывало ужас, привела к одному из самых важных открытий в истории эпидемиологии.

Никто не знает точно, как эта болезнь попала в Бомбей в августе 1896 года, но нет никаких сомнений в том, какой вред она нанесла [169]. Скорее всего, на борт торгового судна, отплывавшего из британской колонии в Гонконге, пробрались несколько «зайцев». Две недели спустя корабль пришвартовался в Порте Траст в Бомбее (ныне Мумбаи). Пока портовые грузчики потели на 30-градусной жаре, разгружая судно, безбилетники незамеченными выбрались на берег и рванули в городские трущобы. Они и не подозревали, что, вероятно, сами послужили транспортом для других нежелательных пассажиров, которые ввергли сначала Бомбей, а затем и остальную Индию, в хаос. Безбилетниками были крысы, разносчики блох, ответственных за распространение бактерии Yersinia pestis – чумы.

Первые случаи заболевания чумой среди жителей Бомбея сосредоточились в опоясывавшем порт районе Мандви. Болезнь неудержимо распространялась по городу и к концу 1896 года убивала по 8 тысяч человек в месяц. К началу 1897 года чума достигла близлежащего города Пуна, а затем охватила всю Индию. К маю жесткие меры по сдерживанию чумы, казалось, затушили пожар эпидемии. Однако в течение следующих 30 лет болезнь периодически возвращалась в Индию, убив более 12 миллионов человек.

В разгар одной из таких вспышек чумы в 1901 году в Индию прибыл молодой шотландский военный врач Андерсон Маккендрик. Он проведет почти 20 лет в Индии, посвятив их исследованиям (помните, в первой главе я рассказывал, что Маккендрик был первым ученым, показавшим, что колония бактерий растет в соответствии с логистической моделью, достигая пределов своего роста) и самым разнообразным мероприятиям по охране здоровья. В Индии Маккендрик глубоко изучил природно-очаговые инфекционные заболевания – болезни вроде свиного гриппа, которые могут передаваться от животных людям. В конце концов Маккендрик возглавил Институт Пастера в Касаули. По иронии судьбы, во время пребывания в Касаули он сам заразился бруцеллезом – изнурительной болезнью, вызванной употреблением сырого молока. В результате его несколько раз отправляли в отпуск по болезни домой, в Шотландию.

Именно в один из этих отпусков, вдохновившись былой встречей с коллегой по медицинской службе в Индии и нобелевским лауреатом сэром Рональдом Россом, он решил заняться изучением математики. Последние годы Маккендрика в Индии прошли под знаком изучения математики и математических исследований. Наконец в 1920 году он заразился тропической болезнью кишечника, был признан негодным к военной службе, вышел в отставку и вернулся домой уже навсегда.

В Шотландии Маккендрик занял должность руководителя лаборатории Королевской медицинской коллегии Эдинбурга. Там он познакомился с молодым и талантливым биохимиком Уильямом Кермаком. Вскоре после встречи с Маккендриком Кермак попал под разрушительный взрыв, который за мгновение оставил его навсегда слепым. Несмотря на катастрофу, его партнерство с Маккендриком процветало. Воспользовавшись данными о вспышках чумы в Бомбее, собранными во время пребывания Маккендрика в Индии, они провели исследование, которое и по сей день остается самым влиятельным в истории математической эпидемиологии [170].

Вместе они вывели одну из самых ранних и выдающихся математических моделей распространения инфекционных болезней. В поисках работоспособной модели они разделили население на три основные категории в соответствии со статусом заболевания. Тех, кто еще не заболел, она несколько зловеще назвали «восприимчивыми». Предполагалось, что восприимчивыми и способными к заражению рождаются все. Те, кто заразился болезнью и был способен передать ее восприимчивым, были обозначены как «инфицированные». Третьей группе достался эвфемизм – «выбывшие». Под ним подразумевались как те, кто переболел, выздоровел и приобрел иммунитет, так и те, кто не смог сопротивляться болезни и умер. Во всяком случае, «выбывшие» больше не способствовали распространению болезни. Это классическое математическое представление распространения болезни называется моделью SIR[171].

В своей работе Кермак и Маккендрик продемонстрировали функциональность SIR-модели, показав, что она способна точно воссоздать динамику заболевания чумой во время вспышки 1905 года в Бомбее. За 90 лет с момента своего создания SIR-модель (и ее варианты) успешно применялись для описания всевозможных заболеваний. От лихорадки денге в Латинской Америке до европейской чумы свиней в Нидерландах и норовируса («желудочного гриппа») в Бельгии, модель SIR может дать жизненно важные уроки для профилактики заболеваний.

Презентеизм [172], предсказания и проблема чумы

В последние годы распространение так называемых нулевых трудовых договоров [173] и рост временной занятости – отличительная черта развивающейся «сдельной» экономики [174] – способствовали тому, что люди все чаще приходят на работу больными. Прогулы изучался долго и обстоятельно, а вот то, во что обходится презентеизм, стало понятно относительно недавно. Исследования, сочетающие математическое моделирование и данные о фактическом присутствии на работе, позволили сделать некоторые удивительные выводы. Меры, принятые для борьбы с прогулами, включая сокращение оплачиваемых отпусков по болезни, вызывают заметный рост числа людей, приходящих на работу независимо от состояния здоровья, что приводит к непреднамеренному росту числа заболеваний и снижению эффективности работы в целом.

Проблема презентеизма особенно распространена в здравоохранении и образовании. По иронии судьбы чувство долга медсестер, врачей и учителей по отношению к тому множеству людей, которые от них зависят, часто заставляет их подвергать этих людей риску – профессионалы выходят на работу, невзирая на недомогание. Однако в наиболее острой форме презентеизм проявляется в ресторанно-гостиничном хозяйстве. Одно из исследований показало, что только в США с 2009 по 2012 год более 1000 вспышек норовируса были связаны с употреблением загрязненных продуктов питания [175]. В результате заразилось более 21 тысячи человек, и 70 % вспышек были связаны с болезненным состоянием работников пищевой промышленности.

Через пять лет после завершения исследования пагубные последствия презентеизма испытала на себе сеть мексиканских гриль-баров Chipotle. С 2013 по 2015 год Chipotle считался сильнейшим мексиканским ресторанным брендом в США. Несмотря на то, что в компании действовала политика оплачиваемых больничных, работники многих филиалов Chipotle по всей территории США жаловались: менеджеры под угрозой увольнения требуют, чтобы они приходили на работу даже нездоровыми.

14 июля 2017 года Пол Корнелл решил отведать буррито ресторанчике сети Chipotle в Стерлинге, в штате Вирджиния. В тот же вечер оставшийся неназванным служащий этого ресторанчика вышел на работу, невзирая на резь в желудке и тошноту. Двадцать четыре часа спустя Корнелл оказался в больнице под капельницей – он страдал от сильных болей в животе, тошноты, диареи и рвоты, сопровождавших острую норовирусную инфекцию. Всего вирус поразил сто тридцать пять человек, включая других сотрудников и клиентов этого ресторана. За пять дней после вспышки заболевания акции Chipotle с грохотом обрушились, компания потеряла более миллиарда долларов рыночной стоимости, а собственные акционеры подали против нее коллективный иск. К концу 2017 года сеть Chipotle болталась где-то в нижней половине списка самых популярных мексиканских ресторанных сетей Америки.

Модель SIR иллюстрирует, как важно воздержаться от прихода на работу в нездоровом состоянии. Оставаясь дома до полного выздоровления, вы эффективно переводите себя из категории инфицированных в категорию выбывших. Модель демонстрирует, что такое простое действие может уменьшить масштаб эпидемии, снижая возможность передачи инфекции тем, кто к ней восприимчив. Более того, не пытаясь перенести болезнь «на ногах», вы оставляете себе больше шансов на скорейшее выздоровление. Если бы все, подхватившие инфекционное заболевание, следовали указанной модели, это было бы гораздо полезнее для общества в целом, поскольку пришлось бы закрывать меньше ресторанов, школ и приемных покоев в поликлиниках.

Однако главное достоинство модели SIR состоит, пожалуй, в ее не описательных, а прогностических возможностях. Вместо того чтобы постоянно оглядываться на прошлые эпидемии, модель SIR позволила Кермаку и Маккендрику заглянуть в будущее – предсказать взрывную динамику вспышек заболеваний и понять порой загадочные закономерности развития болезней. Они использовали свою модель для решения некоторых из наиболее насущных вопросов в эпидемиологии того времени. Так, острые дебаты вызывал вопрос, что вызывает затухание эпидемии? Неужели болезнь просто заражает все население, а когда инфицированными оказываются все, болезни просто становится некуда распространяться? Или же, возможно, патоген, вызывающий болезнь, с течением времени теряет силу до такой степени, что оказывается более не способен инфицировать здоровых людей?

В своей работе два шотландских ученых смогли авторитетно показать, что ни один из этих исходов не является обязательным. Оценив состояние опытной популяции в конце смоделированной вспышки, они обнаружили, что в ней всегда оставалось несколько восприимчивых особей. Возможно, это напрямую противоречит нашей интуиции (которая подпитывается фильмами и сюжетами СМИ), «подсказывающей», что болезнь умирает, потому что больше не осталось тех, кто мог бы ею заразиться. На деле же, по мере того как инфицированные выздоравливают или умирают, контакты между оставшимися инфицированными и восприимчивыми людьми становится настолько редкими, что у инфицированных не остается шанса заразить кого-либо до того, как они сами перейдут в категорию «выбывших» (переболеют, выработав иммунитет, или умрут). Модель SIR предсказывает, что в конечном счете вспышки угасают из-за уменьшения количества инфицированных, а не от недостатка восприимчивых людей [176].

В небольшом сообществе эпидемиологов-теоретиков 1920-х годов модель SIR Кермака и Маккендрика стала выдающимся достижением. Она подняла изучение развития инфекционных болезней высоко над уровнем прежних, чисто описательных исследований и позволила заглянуть далеко в будущее. Тем не менее предоставленные ею прогностические возможности были ограничены узким фундаментом, на котором строилась модель: многочисленные допущения ограничивали область ее полезных применений весьма специфическими ситуациями. Эти предположения подразумевали постоянную скорость передачи болезни от человека к человеку, мгновенное заражение инфицированных и неизменную численность населения. Хотя в отдельных случаях эти допущения были полезны для описания некоторых болезней, для большинства они не годились.

Так, по иронии судьбы, данные по Бомбейской чуме, которые Кермак и Маккендрик использовали для проверки своей модели, ломают многие из этих предположений. В первую очередь Бомбейская чума не передавалась от человека к человеку, а распространялась крысами, несущими блох, которые, в свою очередь, несли чумную бактерию. Модель также предполагала постоянную скорость передачи инфекции между инфицированными носителями и их восприимчивыми жертвами. Фактически же (как и в случае с вирусным распространением более тривиального вызова с ведром ледяной воды, описанного в первой главе) распространение чумы в Бомбее было подвержено сильному влиянию такого фактора, как сезонность: с января по март число блох и, соответственно, бактерий резко возрастало, что вело к скачкообразному увеличению скорости передачи.

Тем не менее будущие поколения математиков адаптируют фундаментальную модель SIR, ослабляя ее ограничительные допуски и расширяя спектр болезней, понять тайны которых помогла бы математика.

Одной из первых адаптаций оригинальной модели SIR было ее приспособление для описания болезней, жертвы которых не приобретают к ним иммунитета. У одного из подобных заболеваний не бывает «выбывших» вовсе, что свойственно некоторым заболеваниям, передающимся половым путем, – таким, как гонорея. Переболев гонореей, человек может заразиться ею снова. А поскольку от симптомов гонореи никто не умирает, и смерть не обеспечивает «выбывание» инфицированных. Такие модели обычно называют SIS, воспроизводя переход состояния человека в процессе развития заболевания от восприимчивого к инфицированному и обратно. Поскольку популяция восприимчивых людей никогда не исчерпывается, восстанавливаясь по мере выздоровления заразившихся, модель SIS предсказывает, что болезни могут стать самоподдерживающимися, или эндемическими, даже внутри изолированного сообщества, в котором не происходит рождений и смертей. В Англии эндемический статус гонореи способствовал тому, что она стала второй по распространенности инфекцией, передаваемой половым путем: в 2017 году было зарегистрировано более 44 тысяч случаев.

Вообще для корректного математического представления болезней, передающихся половым путем, таких как гонорея, необходима дальнейшая адаптация базовой модели. Схема развития этих болезней не так проста, как, допустим, у обычной простуды, при которой каждый может заразить всех остальных. При заболеваниях, передающихся половым путем, инфекции, как правило, заражают только тех, кто соответствует предпочитаемой сексуальной ориентации инфицированных. Поскольку большинство сексуальных контактов являются гетеросексуальными, наиболее очевидная математическая модель разделяет население на мужчин и женщин и допускает заражение только между этими двумя группами, а не между всеми. Модели, исходящие из двухчастного характера гетеросексуальных взаимодействий, воссоздают более медленное распространение болезни, чем модели, предполагающие, что каждый может передать болезнь всем остальным, независимо от пола и сексуальной ориентации. Однако такие модели ЗППП далеко не совершенны – в них множество потенциальных ловушек.

HPV[177] – больше, чем просто вирус рака

Мой пятый день рождения еще не стерся из памяти, когда у моей 40-летней матери диагностировали рак шейки матки. Она перенесла тяжелейший цикл химио– и радиотерапии. К счастью, в конце изнурительного процесса ей сообщили, что у нее полная ремиссия. Много позже я был удивлен, узнав, что рак шейки матки – один из немногих видов рака, вызванных в первую очередь вирусом; иными словами, вы можете заразиться вирусом рака во время полового акта. Мне тяжело было принять идею, что вирус, который вызвал рак у моей матери, мог скрываться в моем отце. Он так преданно заботился о ней, когда рак вернулся. Только его сила воли удерживала нашу семью, когда она умерла за несколько недель до своего 45-летия. Но как он мог – даже если он не знал об этом? И мог ли?

Оказывается, подавляющее большинство инфекций папилломавируса человека (ВПЧ), вызывающего рак шейки матки, передается половым путем. Более 60 % всех случаев рака шейки матки вызываются двумя штаммами ВПЧ[178]. Вообще, ВПЧ – самое распространенное в мире заболевание, передающееся половым путем [179]. Мужчины могут бессимптомно переносить вирус и передавать его своим половым партнерам. В результате рак шейки матки занимает четвертое место по распространенности среди раковых заболеваний у женщин, при этом ежегодно во всем мире регистрируется около полумиллиона новых случаев и четверть миллиона смертей.

В 2006 году первые революционные вакцины против ВПЧ были одобрены Управлением по санитарному надзору за качеством пищевых продуктов и медикаментов США. На эти вакцины возлагались большие надежды, что неудивительно, учитывая высокий уровень заболеваемости. Исследования, проведенные в Великобритании почти одновременно с началом использования этих препаратов, показали, что наиболее экономически эффективной стратегией будет иммунизация девочек-подростков – вероятных будущих жертв рака шейки матки – в возрасте от 12 до 13 лет[180]. Схожие исследования, проведенные в других странах с учетом математических моделей гетеросексуальной передачи заболевания, подтвердили, что наилучшим способом профилактики такого вида рака является вакцинация только женщин [181].

Однако эти предварительные исследования в итоге продемонстрировали, что любая математическая модель хороша лишь настолько, насколько хороши лежащие в ее основе предположения и данные, задающие параметры модели. Большинство исследований в своих исходных допусках пренебрегали важной особенностью ВПЧ: штаммы, от которых защищает вакцина, могут вызывать целый ряд заболеваний, не связанных с шейкой матки, как у женщин, так и у мужчин [182].

Если у вас когда-нибудь были бородавки, это означает, что вы носитель по крайней мере одного из пяти типов ВПЧ. Восемьдесят процентов людей в Великобритании в какой-то момент своей жизни инфицируются одним из штаммов ВПЧ. ВПЧ вида 16 и 18 не только вызывают рак шейки матки, но и являются причиной 50 % случаев рака пениса, 80 % случаев рака анального отверстия, 20 % случаев рака полости рта и 30 % случаев рака горла [183]. Примечательно, что, когда актер Майкл Дуглас выздоравливал после рака горла, его спросили, не жалеет ли он, что всю свою жизнь курил и пил. Он откровенно признался журналистам газеты Guardian, что вовсе не жалеет об этом, поскольку его рак был вызван ВПЧ, которым он заразился, занимаясь оральным сексом. Как в США, так и в Великобритании, большинство раковых заболеваний, вызванных ВПЧ, поражают не шейку матки [184]. Важно отметить, что ВПЧ типов 6 и 11 также вызывают девять из десяти случаев аногенитальных бородавок [185]. В США на лечение этих бородавок приходится приблизительно 60 % расходов на здравоохранение, относящихся к лечению всех инфекций, не связанных с ВПЧ шейки матки [186]. Рак шейки матки составляет важную, но далеко не исчерпывающую часть истории о ВПЧ.

В 2008 году, когда вакцина впервые была выпущена, немецкий вирусолог Харальд цур Хаузен был удостоен Нобелевской премии в области медицины «за открытие вируса папилломы человека, вызывающего рак шейки матки». Связь с другими видами рака и болезнями была в некотором роде проигнорирована комиссией по присуждению премии и большинством других стран мира. Единственное проведенное в Великобритании исследование, посвященное иным видам рака, не смогло уверенно выявить эту связь, поскольку в то время тяжесть таких заболеваний и последствия вакцинации против них толком не понимали. Большинство моделей предполагали, что за счет вакцинации достаточно высокой доли женщин распространенность заболеваний, связанных с ВПЧ, у незащищенных мужчин также снизится. Широкая общественность, знающая, возможно, о роли ВПЧ в развитии только рака шейки матки – обычного рака, который распространяется как инфекционное заболевание, – без колебаний согласилась с решением о вакцинации только девочек. Зачем прививать мальчиков, если они не страдают «раком ВПЧ», попавшим во все заголовки?

Но представьте себе, каким будет возмущение общественности, если после разработки вакцины против вируса иммунодефицита человека (ВИЧ) объявят, что бесплатную вакцинацию получат только женщины – в надежде на то, что мужчины будут защищены женским иммунитетом. Оставим в стороне проблемы, связанные с неполным вакцинированием и неэффективностью вакцин: первым делом, вероятно, критики поставят вопрос о защите мужчин-геев – должны ли они остаться без защиты от смертоносного вируса? Тот же аргумент справедлив и в случае ВПЧ. Пренебрегая гомосексуальными отношениями в своих математических моделях, ранние исследования проигнорировали последствия однополых связей. Модели, основанные на половых контактах, включающих гомосексуальные отношения, показывают более высокий уровень передачи заболевания, чем те, которые рассматривают только гетеросексуальные отношения [187]. Распространенность ВПЧ среди гомосексуальных мужчин значительно выше, чем среди населения в целом [188]. В США уровень заболеваемости раком анального отверстия в этой группе выше в 15 с лишним раз; он составляет 35 на 100 000 жителей, что сопоставимо с показателями заболеваемости раком шейки матки у женщин до введения скрининга шейки матки, и значительно выше, чем нынешние показатели заболеваемости раком шейки матки в США[189]. При перекалибровке моделей с учетом гомосексуальных отношений, новых знаний о защите от рака, не связанного с раком шейки матки, и обновленными данными о продолжительности защиты, обеспечиваемой вакцинацией, было установлено, что экономически эффективным вариантом становится вакцинация как мальчиков, так и девочек.

В апреле 2018 года Национальная служба здравоохранения Великобритании предложила гомосексуалистам в возрасте от 15 до 45 лет вакцинироваться от ВПЧ. В июле того же года на основе нового исследования экономической эффективности была выработана рекомендация всем мальчикам в Великобритании сделать прививку от ВПЧ в том же возрасте, что и девочкам [190]. К счастью, моя дочь и мой сын получат равную защиту от вируса, который убил их бабушку. Это лишь показывает, что выводы, сделанные на основе даже самых сложных математических моделей, корректны лишь настолько, насколько корректны их самые слабые допуски и предположения.

Следующая пандемия

Бессимптомность заболевания ВПЧ также сбивает с толку. Люди могут быть носителями вируса и заражать других, не имея симптомов сами. Для корректного отображения этого фактора основной модели SIR снова требуется адаптация, позволяющая учитывать класс людей, которые, инфицировавшись, способны передать болезнь другим, оставаясь при этом без симптомов. Так называемый класс «носителя»[191] превращает модель SIR в модель SCIR. Включение в модель этого нового класса жизненно важно для современного представления процесса передачи многих заболеваний, включая самые смертоносные.

У некоторых пациентов через несколько недель после заражения ВИЧ недолго наблюдаются симптомы, схожие с симптомами гриппа. Степень тяжести их проявления варьируется в широких пределах, и отдельные носители даже не обратят на них внимания. Однако вирус, несмотря на отсутствие внешней симптоматики, медленно подтачивает иммунную систему пациента, лишая его защиты от условно-патогенных инфекций [192] – таких как туберкулез или раковые заболевания, – которым люди со здоровой иммунной системой могли бы и не поддаться. Считается, что у пациентов на более поздних стадиях ВИЧ-инфекции развивается синдром приобретенного иммунодефицита (СПИД). Одной из главных причин того, что ВИЧ/СПИД стал пандемией (то есть распространился по всему миру и продолжает распространяться), является этот длительный инкубационный период. Носители, которые даже не знают, что у них есть вирус, распространяют болезнь намного быстрее, чем люди, которым известно, что они ВИЧ-положительны. Каждый год на протяжении последних 30 с лишним лет ВИЧ становится одной из главных причин смерти от инфекционных заболеваний во всем мире.

Считается, что ВИЧ появился у нечеловекообразных приматов в Центральной Африке в начале ХХ века. Возможно, мутировавшая форма вируса иммунодефицита обезьян (SIV) сумела инфицировать человека (из-за того, например, что люди употребляли пойманных приматов в пищу) и начала распространяться далее от человека к человеку посредством обмена телесными жидкостями. Зоонозы – заболевания, способные передаваться между видами, подобные первоначальным штаммам ВИЧ, представляют собой одну из самых больших угроз для здоровья населения.

В 2018 году заместитель главного врача Англии профессор Джонатан Ван-Там выделил одну из таких болезней – вирус H7N9, новый штамм птичьего гриппа – как наиболее вероятную причину следующей глобальной пандемии гриппа. В настоящее время вирус широко распространен в популяциях птиц в Китае; им заразились более 1500 человек. Для сравнения: «испанка», самая смертоносная пандемия ХХ века, заразила примерно 500 миллионов человек по всему миру. Однако уровень смертности от испанского гриппа составил лишь около 10 %. H7N9 убивает примерно 40 % инфицированных. К счастью, до сих пор H7N9 не передается от человека к человеку – это не позволяет ему разрастись до масштабов пандемии «испанки». Несмотря на эксперименты с животными, позволяющие предположить, что до такого штамма вирусу остались лишь три мутации, возможно, как и его предшественник штамм птичьего гриппа H5N1, он никогда не сможет их пройти. Вполне вероятно, что следующая глобальная пандемия будет вызвана вовсе не новой болезнью, а той, с которой мы уже не раз встречались.

Нулевой пациент

Однажды днем в конце 2013 года в отдаленной гвинейской деревне Мелианду двухлетний Эмиль Уамуно играл с другими детьми. Одним из любимых мест для игры в Мелианду было огромное дуплистое дерево кола, что росло на окраине деревни: оно было идеальным укрытием для пряток. Но кроме того, глубокая и темная полость дерева служила идеальным обиталищем для популяции насекомоядных мешкокрылых летучих мышей. Играя на дереве, заселенном летучими мышами, Эмиль соприкасался либо со свежими гуано, либо, возможно, даже лицом к лицу с самой летучей мышью.

2 декабря мать Эмиля заметила, что ее обычно энергичный малыш был усталым и вялым. Почувствовав жар, исходящий от его лба, она уложила Эмиля в постель, чтобы он поправился. Однако вскоре у него началась рвота и черный понос. Через четыре дня он умер.

Усердно ухаживая за сыном, мать Эмиля также заразилась этой болезнью и через неделю умерла. За ней последовала сестра Эмиля Филомена, а за ней в первый день нового года – их бабушка. Деревенская акушерка, которая ухаживала за семьей во время болезни, перенесла, сама того не желая, болезнь с собой в соседние деревни, а оттуда в больницу ближайшего города Геккеду, куда она обратилась за помощью в связи со своим недугом. Там образовался еще один канал распространения болезни – через врача, которая лечила акушерку. Она перенесла вирус в больницу в Макенте, примерно в 50 милях к востоку, где заразила доктора, который пытался выходить уже ее. Врач, в свою очередь, заразил брата в городе Кисидугу, в 80 милях к северо-западу… Болезнь продолжала распространяться.

18 марта количество случаев и масштабы заражения стали вызывать серьезную тревогу. Медицинские чиновники публично объявили о вспышке геморрагической лихорадки неизвестного типа, «которая бьет, как молния». Через две недели, идентифицировав заболевание, «Врачи без границ» назвали масштабы его распространения беспрецедентными. С того момента Эмиль Уамуно, в ином случае оставшийся бы обычным ребенком, превратится в человека, которого мир никогда не забудет. К сожалению, ему было суждено стать «нулевым пациентом» – первой жертвой передачи от животного к человеку того, что стало самой большой, самой неконтролируемой вспышкой лихорадки Эбола за все времена.

Точным знанием первых шагов развития болезни мы обязаны той скрупулезности, с которой эпидемия была проанализирована учеными и медицинскими работниками, преградившими ей путь. Метод, известный как контактное отслеживание, позволяет эпидемиологам проследить историю развития заболевания ретроспективно через многие поколения инфицированных, вплоть до исходного случая – нулевого пациента. Отсюда и обозначение Эмиля. Обратившись к инфицированным людям с просьбой перечислить всех, с кем они контактировали во время и после инкубационного периода болезни – когда они уже инфицированы, но, возможно, без выраженной симптоматики, – ученые могут выстроить картину всей контактной сети пациента. Путем многократного опроса тех, кто вошел в эту сеть, маршрут распространение, болезни часто можно свести к одному источнику. Отслеживание контактов позволяет не только выявить сложную схему распространения болезни и предложить методы предотвращения будущих вспышек, но и принимать меры по контролю за распространением болезни в режиме реального времени. Оно может служить источником информации для разработки эффективных стратегий сдерживания болезни на ее ранних стадиях. Каждый, кто имел непосредственный контакт с инфицированным лицом в течение инкубационного периода, помещается в карантин до тех пор, пока не будет ясно, инфицирован он или нет. Инфицированных можно держать в изоляции до тех пор, пока они не переболеют.

На практике, однако, контактные сети часто оказываются неполными, и многие носители инфекции остаются неизвестны властям. Фактически многие даже не знают, что больны – из-за инкубационного периода, протекающего с момента заражения до появления симптомов. В случае с лихорадкой Эбола инкубационный период может длиться до 21 дня, но в среднем он составляет около 12 дней. В октябре 2014 года стало ясно, что эпидемия в Западной Африке может приобрести глобальные масштабы. Правительство Великобритании под предлогом защиты своих граждан объявило, что пассажиров, въезжающих в Великобританию из стран с высоким уровнем риска, будут проверять на заболевание лихорадкой Эбола в пяти крупных аэропортах Великобритании и в терминале поезда «Евростар» в Лондоне.

Аналогичная программа в Канаде во время эпидемии атипичной пневмонии (тяжелого острого респираторного синдрома – ТОРС/SARS) в 2004 году охватила почти полмиллиона путешественников, ни у одного из которых не обнаружили повышенной температуры, свидетельствующей о наличии ТОРС. Эта программа обошлась канадскому правительству в 15 миллионов долларов. Оглядываясь назад, можно сказать, что программа скрининга атипичной пневмонии была бесполезной мерой, которая, возможно, в какой-то степени и помогла убедить канадскую общественность в том, что она в безопасности, но в качестве стратегии вмешательства оказалась неэффективной.

Памятуя об этих расходах, а также о гиперреакции на угрозу эпидемии, группа математиков Лондонской школы гигиены и тропической медицины разработала простую математическую модель, учитывающую инкубационный период [193]. Принимая во внимание средний 12-дневный инкубационный период для лихорадки Эбола и шесть с половиной часов полета из Фритауна в Сьерра-Леоне в Лондон, математики подсчитали, что эти новые дорогостоящие меры выявления инфицированных могли бы выявить лишь около 7 % пассажиров – носителей вируса Эбола. Они предположили, что эти деньги, возможно, было бы лучше потратить на развивающийся гуманитарный кризис в Западной Африке, который нанес бы удар по источнику проблемы и, следовательно, снизил риск передачи вируса в Великобританию. Это наилучший пример математического вмешательства – простого, решительного и основанного на фактах. Вместо того чтобы строить догадки, насколько эффективными могут быть скрининговые меры, простое математическое описание ситуации в состоянии дать мощное представление о сути происходящего и направить политику в нужное русло.

R0 и экспоненциальный взрыв

Отслеживание маршрута передачи инфекции, использованное для идентификации Эмиля Уамуно как нулевого пациента лихорадки Эбола, – далеко не уникальный опыт. Болезнь распространялась из своего очага в Мелианду несколькими путями. Фактически на ранних стадиях болезни она реплицировалась экспоненциально по нескольким независимым каналам, подобно мемам или вирусным маркетинговым кампаниям, описанным в первой главе. Один человек заражал трех других, которые продолжали заражать следующих; те заражали еще больше людей – в результате происходила вспышка заболевания. Определить, разовьется эта вспышка в масштабную эпидемию или выдохнется и забудется, можно с помощью всего одного показателя, уникального для каждой вспышки, – базового показателя репродукции.

Давайте представим, что население на некой территории полностью восприимчиво к определенным болезням – как это было с коренными жителями Мезоамерики в 1500-х годах до прибытия конкистадоров. Среднее число лиц, инфицированных одним носителем болезни, воздействию которой они прежде не подвергались, известно как базовый показатель репродукции и часто обозначается R0 (произносится «R-ноль»). Если болезнь имеет R0 менее 1, то инфекция быстро сходит на нет, так как каждый инфицированный в среднем передает болезнь менее чем одному другому. Вспышка не становится самоподдерживающейся. Если R0 больше 1, то инфекция будет распространяться в геометрической прогрессии.

Возьмем, к примеру, такое заболевание, как атипичная пневмония (SARS), имеющее базовый показатель репродукции 2. Первый человек с этим заболеванием – нулевой пациент. Он заражает двоих, каждый из которых распространяет болезнь еще на двоих – и так далее. Как мы видели в первой главе, рис. 23 иллюстрирует экспоненциальный рост, характеризующий начальную фазу распространения инфекции. Если бы она распространялась таким образом и далее, то через десять поколений вниз по цепочке прогрессии заразилось бы более 1000 человек. Еще десять шагов – и число зараженных превысит миллион.

На практике, как и в случае с распространением вирусной идеи, расширением пирамидальной схемы, ростом колонии бактерий или распространением популяции, экспоненциальный рост, прогнозируемый на основе базового показателя репродукции, редко поддерживается более чем на несколько поколений. Вспышки в конечном итоге достигают пика, а затем идут на спад из-за того, что контакты между инфицированными и восприимчивыми к вирусу людьми становятся реже.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 23. Экспоненциальное распространение болезни с базовым показателем репродукции R0 равным 2. Первое инфицированное лицо считается нулевым поколением. К четвертому поколению инфицируются уже 16 человек


В конечном счете, даже когда зараженных не будет и вспышка официально закончится, некоторые восприимчивые к инфекции люди еще останутся. Еще в 1920-х годах Кермак и Маккендрик предложили формулу, в которой базовый показатель репродукции использовался для предсказания количества восприимчивых лиц, которых инфекция не затронет до самого конца вспышки. При значении R0 около 1,5 формула Кермака и Маккендрика предсказывает, что вспышка лихорадки Эбола в 2013–2016 годах поразила бы 58 % популяции, если бы не было принято никаких мер. Вспышки полиомиелита, напротив, имеют R0 около 6, что, по прогнозам Кермака и Маккендрика, означает, что без вмешательства только четверть процента населения переживет эпидемию, не заразившись.

Базовый показатель репродукции – универсальный индикатор для описания вспышки инфекции, поскольку он «упаковывает» все тонкости передачи болезни в единственное число. От особенностей развития инфекции в организме до способа ее передачи и даже структуры общества, в котором она распространяется, этот показатель учитывает все ключевые особенности вспышки и позволяет адекватно реагировать на нее. R0, как правило, можно разделить на три компонента: численность населения; скорость, с которой заражаются восприимчивые к инфекции люди (часто называемая силой инфекции); и срок выздоровления – или смерти от болезни. Повышение первых двух факторов увеличивает R0, в то время как ускорение выздоровления уменьшает его. Чем больше население и чем быстрее болезнь распространяется между отдельными лицами, тем выше вероятность вспышки. Чем быстрее люди выздоравливают, тем меньше времени они передают болезнь другим и, следовательно, тем ниже вероятность вспышки. Имея дело с заболеваниями человека, чаще всего мы можем контролировать только первые два фактора. Хотя антибиотики или противовирусные препараты могут сократить течение некоторых заболеваний, скорость выздоровления или смертность часто являются свойством, присущим самому болезнетворному патогену. С показателем R0 тесно связана величина, называемая реальным коэффициентом репродукции (часто обозначается как Re) – среднее число вторичных инфекций, вызванных инфицированным лицом в определенный момент развития вспышки. Если медицинское вмешательство позволяет сбить значение Re ниже 1, то эпидемия утихнет.

Показатель R0 имеет решающее значение для борьбы с эпидемиями, но он не говорит, насколько болезнь опасна для инфицированного человека. Крайне заразное заболевание, такое как корь, например, имеющее показатель R0 от 12 до 18, обычно считается менее опасным, чем, допустим, лихорадка Эбола, у которой R0 составляет около 1,5. Если корь распространяется быстро, смертность от кори относительно низкая, особенно в сравнении с 50–70-процентной вероятностью смерти в случае заражения лихорадкой Эбола.

Парадоксально, но болезни с высоким уровнем смертности, как правило, менее контагиозны. Если болезнь убивает слишком много своих жертв слишком быстро, то это снижает ее шансы на дальнейшее распространение. Заболевания, которые убивают большинство зараженных ими людей и при этом эффективно распространяются, очень редки. Чаще всего они встречаются в фильмах-катастрофах. Хотя высокий уровень смертности значительно увеличивает страх, связанный со вспышкой инфекции, болезни с высоким R0, но с низким уровнем смертности в конечном счете могут оказаться более фатальными в силу того, что инфицируют большее количество людей.

Математика диктуем нам, что после принятия решения о начале борьбы с эпидемией показатель уровня смертности не дает полезной информации о том, как замедлить распространение болезни. Тем не менее три фактора, составляющие R0, подсказывают, какие меры стоит предпринять, чтобы остановить вспышки смертельных заболеваний прежде, чем они выйдут из-под контроля.

Укрощение эпидемий

Одним из наиболее эффективных способов снижения распространения инфекции является вакцинация. Перемещая людей из категории восприимчивых сразу в категорию «выбывших», минуя инфекционное состояние, она эффективно уменьшает размер популяции, восприимчивой к инфекции. Вакцинация, однако, как правило, является предупредительной мерой. Ее применяют, чтобы уменьшить вероятность вспышек. Если же вспышка инфекции все же произошла, попытки разработать и испытать эффективную вакцину в обозримый срок обычно уже нецелесообразны.

При эпидемиях у животных применяется альтернативная стратегия, также понижающая значение реального коэффициента репродукции Re, – выбраковка. Так, в 2001 году решение о проведении выбраковки было принято в попавшей в тиски ящура Великобритании. Забой зараженных особей позволил сократить инфекционный период с трех недель до нескольких дней, что резко снизило реальный коэффициент репродукции. Однако в этом случае выбраковки только инфицированных животных для борьбы с болезнью было недостаточно. Некоторые возбудители инфекции неизбежно проскальзывали через сеть, заражая тех, кто оказался поблизости. В ответ на это правительство осуществило кольцевую выбраковку, забив скот (инфицированный или нет) в радиусе 3 километров от пораженных ферм. На первый взгляд, убийство неинфицированных особей кажется бессмысленным. Однако оно сокращает поголовье восприимчивых животных в заданном районе, что влияет на значение коэффициента репродукции вируса, а значит, как доказывает математика, замедляет распространение болезни.

Очевидно, что в случае активных вспышек человеческих болезней среди не вакцинированных групп населения выбраковка – не вариант. Однако карантин и изоляция могут оказаться чрезвычайно эффективными способами снижения скорости передачи и, следовательно, реального коэффициента репродукции. Изоляция инфекционных больных снижает скорость распространения, в то время как карантин здоровых снижает число восприичивых. Оба действия способствуют уменьшению реального коэффициента репродукции. Так, последняя вспышка оспы в Европе, в Югославии в 1972 году, была быстро взята под контроль с помощью строжайшей изоляции. До 10 тысяч потенциально инфицированных лиц содержались под вооруженной охраной в гостиницах, реквизированных под эти цели, до тех пор, пока не исчезла угроза новых случаев заболевания.

В менее экстремальных случаях наиболее эффективную продолжительность изоляции инфицированных пациентов можно рассчитать при помощи простого математического моделирования [194]. Математическая модель также может определить, следует ли перевести часть неинфицированного населения на карантин, с учетом связанных с этим расходов и рисков разрастания эпидемии. Такое моделирование приходится очень кстати, когда проведение полевых исследований по распространению болезни нецелесообразно по логистическим или этическим соображениям. Например, лишать какую-либо часть населения жизненно необходимой медицинской помощи во время вспышки заболевания в научных целях просто бесчеловечно. Точно так же в реальном мире нецелесообразно помещать бо́льшую часть населения в карантин надолго. При использовании матмоделей таких проблем не возникает. При помощи математического моделирования можно протестировать модели тотального карантина – или полного отсутствия карантина, или каких-то промежуточных мер – в попытке сбалансировать экономические последствия вынужденной изоляции и то влияние, которое она окажет на распространение болезни.

В этом и заключается настоящая красота математической эпидемиологии – в способности тестировать сценарии, невозможные в реальном мире, иногда с неожиданными и пародоксальными результатами. Математика показала, например, что при таких заболеваниях, как ветряная оспа, изоляция и карантин могут оказаться неправильным решением. Попытки изолировать заболевших детей от здоровых вне всякого сомнения вынудят детей и взрослых массово пропускать занятия в школе и работу, чтобы избежать заболевания, которое считается относительно неопасным. Более того, математические модели доказывают, что здоровые дети, переживающие вспышки ветрянки на карантине, могут подхватить болезнь уже в старшем возрасте, когда осложнения, связанные с ветряной оспой, могут быть гораздо более серьезными. А это, пожалуй, даже важнее. Подобные неочевидные эффекты такой, на первый взгляд, разумной стратегии, как изоляция, возможно, никогда не удалось бы понять полностью, если бы в дело не вступила математика.

Если в случае одних заболеваний карантин и изоляция дают неожиданные последствия, то в случае других они просто не работают. Математические модели распространения инфекционных болезней выявили, что эффективность стратегии карантина зависит от момента наибольшей заразности [195]. Если болезнь особенно заразна на ранних стадиях, когда у пациента нет симтомов, инфицированные могут распространить болезнь на большинство математически ожидаемых жертв, прежде чем их можно будет изолировать. К счастью, в ситуации с лихорадкой Эбола, при вспышке которой многие другие потенциальные пути контроля эпидемии недоступны, большинство случаев передачи инфекции происходит после того, как у жертв заболевания проявляется симптоматика, так что их можно изолировать.

Вообще контагиозный период лихорадки Эбола настолько долгий, что даже после смерти жертвы болезни остаются очень заразными. Погибшие все еще могут инфицировать людей, которые контактируют с их телами. Примечательно, что один из основных очагов эпидемии образовался на похоронах некой знахарки в Сьерра-Леоне. В связи с быстрым распространением заболевания по всей Гвинее люди начали отчаиваться. Услышав, что в соседней Сьерра-Леоне живет знахарка огромной силы, больные из Гвинеи ринулись в Сьерра-Леоне, чтобы попросить ее о помощи. Неудивительно, что и сама целительница быстро заболела и умерла. На ее похоронах, продолжавшихся несколько дней, присутствовали сотни скорбящих. Все они соблюдали традиционные похоронные обычаи, включая омовение и прикосновение к трупу. Эти похороны стали причиной смерти более 350 человек от лихорадки Эбола и способствовали полномасштабному прорыву болезни в Сьерра-Леоне.

В 2014 году, примерно в пиковый момент вспышки лихорадки Эбола, по результатам математического исследования был сделан вывод, что примерно 22 % новых случаев лихорадки Эбола вызваны контактами с трупами ее жертв [196]. В исследовании было высказано предположение, что базовый показатель репродукции вируса можно сократить до значений, при которых эпидемия утратит способность к самоподдерживающемуся росту. Для этого требовалось ограничить традиционные практики, включая погребальные обряды. Одной из наиболее важных мер, принятых властями стран Западной Африки и гуманитарными организациями, работавшими в этом районе, стал запрет на традиционные похоронные обряды и обеспечение безопасного и достойного захоронения всех жертв лихорадки. В сочетании с просветительскими кампаниями, рассказывающими об иных практиках, менее опасных, чем традиционные, и ограничениями на перемещение даже для здоровых, на первый взгляд, людей, вспышка лихорадки Эбола в итоге была купирована. 9 июня 2016 года, спустя почти два с половиной года после заражения Эмиля Уамуно, было объявлено о завершении вспышки лихорадки Эбола в Западной Африке.

Популяционный иммунитет

Помимо активной помощи в борьбе с эпидемиями, математические модели эпидемий также могут объяснить необычные закономерности, свойственные различным заболеваниям. Так, ряд интересных вопросов сформировался вокруг детских болезней, таких как свинка и краснуха: почему их периодические вспышки поражают только детей? Возможно, предрасположенность к ним обусловлена каким-то до сих пор неизвестным свойством, присущим только детям? И почему эти болезни так долго сохраняются в нашем обществе? Может, они, словно в засаде, годами находятся в латентном состоянии, выбирая время для того, чтобы обрушиться на самых беззащитных?

Причина, по которой для детских заболеваний характерны периодические вспышки, заключается в том, что значение реального коэффициента репродукции с течением времени варьируется в зависимости от популяции восприимчивых к ним лиц. После того как крупная вспышка той же скарлатины поразит значительную часть незащищенной популяции детей, она не просто исчезает. Она сохраняется в популяции, но ее реальный коэффициент репродукции колеблется в районе единицы. Болезнь только поддерживает себя. Со временем население стареет, и рождаются новые, незащищенные дети. По мере роста незащищенной части популяции реальный коэффициент репродукции растет, что увеличивает вероятность новых вспышек. Когда болезнь наконец начинает распространяться, ее жертвы, как правило, принадлежат к незащищенному молодому поколению, поскольку большинство пожилых людей уже иммунизированы – ведь они столкнулись с этой болезнью раньше. Те же, кто не переболел скарлатиной в детстве, как правило, получают определенную степень защиты от нее, поскольку они меньше общаются с представителями инфицированной возрастной группы.

Концепция, что большое количество людей с иммунитетом может замедлить или даже остановить распространение инфекции, как это происходит в периоды покоя между вспышками детских болезней, на математическом языке называется популяционным иммунитетом [197]. Как ни странно, для работы этому эффекту общества не нужно, чтобы от заболевания были защищены все. Опустив значение реального коэффициента репродукции ниже единицы, можно разорвать цепь передачи инфекции и остановить распространение болезни. Популяционный иммунитет предполагает, что обеспеченная вакцинацией защита в некоторой мере распространяется и на тех, у кого иммунная система слишком слаба, чтобы переносить прививки (включая пожилых, новорожденных, беременных женщин и людей с ВИЧ). Это исключительно важно. Пороговое значение величины иммунной части населения, необходимое для защиты его восприимчивой части, варьируется в зависимости от того, насколько заболевание заразно. Ключом к тому, насколько эта доля велика, является базовый показатель репродукции R0.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Рис. 24. Один инфицированный (черный круг) сталкивается с 20 восприимчивыми (белый круг) или вакцинированными (серый круг) лицами в течение недельного инфекционного периода. Если не вакцинирован никто (слева), один заразившийся заражает четырех других, т. е. базовый показатель репродукции R0 равен 4. При вакцинировании половины населения (в середине) заражаются только двое восприимчивых. Реальный коэффициент репродукции, Re, уменьшается до 2. Наконец, когда вакцинировано 3/4 населения (справа), в среднем заражается только один человек. Реальный коэффициент репродукции снижается до критического значения 1


Возьмем, к примеру, человека, зараженного вирулентным штаммом гриппа. Если за неделю, столкнувшись с 20 восприимчивыми к вирусу людьми, он заразит четверых из них, то значение базового показателя репродукции заболевания R0 составит 4. У каждого восприимчивого человека шанс заразиться составляет один к пяти. Это демонстрирует, как показатель репродукции зависит от размера восприимчивой популяции. Если бы наш больной гриппом в течение недели, во время которой он остается носителем вируса, встречался только с десятью восприимчивыми к инфекции людьми (как на средней схеме на рис. 24), то при той же вероятности передачи он заразил бы в среднем только двоих, понизив реальный коэффициент репродукции вдвое – с 4 до 2.

Наиболее эффективный способ сокращения численности восприимчивого населения – вакцинация. Количество человек, которых нужно вакцинировать для достижения популяционного иммунитета, определяется задачей сделать реальный коэффициент репродукции ниже единицы. Если бы мы смогли вакцинировать 3/4 популяции, то (как в схеме справа на рис. 24) из первоначальных 20 контактов нашего больного гриппом, только 1/4 (то есть пятеро) все равно были бы восприимчивы к инфекции. Из них в среднем заразился бы только один. Неслучайно этот критический порог вакцинации для достижения популяционного иммунитета к заболеванию с базовым показателем репродукции 4 требует вакцинации трех четвертей (то есть 1 минус 1/4) населения. В целом для достижения порога коллективного иммунитета мы можем позволить себе оставить 1/R0 популяции без вакцинации и должны защитить ее оставшуюся долю (1 минус 1/R0 популяции). При оспе, базовый показатель репродукции которой составляет около 4, мы можем позволить себе оставить четверть (то есть 25 %) популяции незащищенной. Вакцинации 80 % (на 5 % выше 75-процентного критического порога иммунизации для обеспечения буфера) восприимчивого к оспе населения в 1977 году хватило для того, чтобы совершить одно из величайших достижений нашего вида – стереть одну из человеческих болезней с лица Земли. Повторить этот подвиг не удалось.

Изнурительные и опасные последствия оспы сами по себе сделали ее подходящей мишенью для искоренения. Низкий критический порог иммунизации сделал ее еще и относительно легкой мишенью. От многих других болезней защититься сложнее, так как они распространяются легче. Ветряная оспа, с оценочным R0 около 10, для эффективной защиты всего человечества – и последующего искоренения болезни потребовала бы иммунизировать 9/10 населения Земли. Корь – безусловно, самая заразная болезнь человека на Земле, с оценочным R0 от 12 до 18 – потребует вакцинации от 92 до 95 % населения. Исследование, смоделировавшее распространение вспышки кори в Диснейленде в 2015 году, в ходе которой заразился Мёбиус Луп, позволило предположить, что уровень вакцинирования среди лиц, подверженных этому заболеванию, мог составлять до 50 % – намного ниже порога, необходимого для обеспечения популяционного иммунитета [198].

Госпожа MMR

С момента введения в 1988 году в Англии вакцинирования против кори с помощью комбинированной прививки кори, свинки и краснухи (MMR[199]) ее масштаб неуклонно рос. В 1996 году уровень вакцинирования достиг рекордно высокой отметки в 91,8 %, что близко к критическому порогу иммунизации для ликвидации кори. Затем, в 1998 году, произошло нечто, что могло бы подорвать процесс иммунизации на многие годы.

Эта катастрофа в области общественного здравоохранения была вызвана не болезнями животных, плохой санитарией или даже неудачными решениями правительства, а мрачной пятистраничной публикацией в уважаемом медицинском журнале Lancet [200],[201]. В статье ведущий автор Эндрю Уэйкфилд предположил, что вакцина MMR может вызывать у детей аутизм. На основе своих «изысканий» Уэйкфилд повел пропагандистскую кампанию против вакцины, заявив на пресс-конференции: «Я не могу поддержать использование комбинированной вакцины, пока этот вопрос не будет решен». Большинство ведущих СМИ заглотили наживку.

Заголовки газеты Daily Mail, посвященные этой истории, вопили: «MMR убила мою дочь», «Страхи перед MMR обоснованы», «MMR безопасна? Чушь! Главный скандал еще впереди». За годы, последовавшие за публикацией Уэйкфилда, история разрослась, став самой популярной научной темой Великобритании 2002 года. Потакая многочисленным родительским страхам, СМИ, как правило, не упоминали, что исследование Уэйкфилда касалось всего 12 детей – группы слишком маленькой, чтобы на основе полученных данных делать столь широкомасштабные выводы. Любое публичное сомнение в адекватности исследования заглушали сирены паникерства, звучавшие со стороны большинства новостных агентств. В результате родители стали отказываться от вакцинирования детей. За десять лет, последовавших за печально известной публикацией в Lancet, охват населения, привитого MMR, снизился с более 90 % до менее 80 %, а количество подтвержденных случаев заболевания корью выросло с 56 в 1998 году до более чем 1300 десятью годами позже. Также резко участились случаи заболевания свинкой, которая на протяжении 1990-х годов встречалась все реже.

В 2004 году на фоне продолжающегося роста заболеваний корью, свинкой и краснухой Брайан Дир, журналист, занимающийся независимыми расследованиями, попытался разоблачить работу Уэйкфилда как мошенническую. Дир сообщил, что до опубликования статьи Уэйкфилд получил более 400 тысяч фунтов стерлингов от юристов, собиравших свидетельства против фармацевтических компаний, которые производят вакцину. Кроме того, Дир обнаружил документы, которые, как он утверждал, доказывали, что Уэйкфилд подал патентную заявку на конкурентную вакцину. Самое важное, утверждал Дир, у него есть доказательства того, что Уэйкфилд манипулировал данными в своей статье, чтобы создать ложное впечатление о связи MMR с аутизмом. Свидетельства Дира о научном мошенничестве Уэйкфилда и явном конфликте интересов в итоге привели к тому, что редакторы Lancet отозвали спорную статью. В 2010 году Генеральный медицинский совет вычеркнул Уэйкфилда из медицинского реестра [202]. За 20 лет, прошедших с момента публикации той статьи, по крайней мере 14 всесторонних исследований сотен тысяч детей по всему миру не обнаружили никаких доказательств связи между MMR и аутизмом. Однако влияние Уэйкфилда, к сожалению, сильно до сих пор.

Несмотря на то что вакцинация MMR в Великобритании вернулась на прежний уровень, уровень вакцинации в развитых странах в целом снижается, а число случаев заболевания корью растет. В Европе в 2018 году было зарегистрировано более 60 тысяч случаев заболевания корью, 72 из которых оказались смертельными, что в два раза больше, чем годом ранее. Главная причина – растущее влияние движения против вакцинации. Всемирная организация здравоохранения называет его антивакцинаторством и относит к десяти крупнейшим глобальным угрозам здоровью населения в 2019 году. Газета Washington Post, наряду с другими СМИ, прямо возводит появление антипрививочников к кампании Уэйкфилда, называя его основателем современного движения против вакцинации. Однако догматы этого движения ушли далеко за пределы уже развенчанных «открытий» Уэйкфилда. Они варьируются от утверждений о том, что вакцины содержат токсичные химикаты в опасной концентрации, до уверений, что вакцины на деле заражают детей болезнями, которые они пытаются предотвратить. В действительности наша собственная метаболическая система производит больше токсичных химических веществ вроде формальдегида, чем те микродозы, которые можно обнаружить в вакцинах. Аналогичным образом случаи, когда прививка вызывает болезнь, от которой она призвана защищать, встречаются крайне редко, особенно у здоровых людей.

Несмотря на множество убедительных опровержений, риторика антипрививочников приобрела изрядную популярность благодаря поддержке таких известных личностей, как Джим Кэрри, Чарли Шин и Дональд Трамп. А в 2018 году произошел почти невероятный поворот – Уэйкфилд подтвердил собственный звездный статус, начав встречаться с бывшей супермоделью Эль Макферсон.

Параллельно с ростом активности знаменитостей появились социальные медиа, позволяющие им доносить свои взгляды непосредственно до своих поклонников на собственных условиях. С ослаблением доверия к традиционным СМИ люди все чаще обращаются к этим эхокамерам [203]. Появление альтернативных платформ дало возможность движению против вакцинации расти, не опасаясь критики и не обращая внимания на предупреждения со стороны доказательной науки. Сам Уэйкфилд назвал появление социальных сетей «прекрасным естественным развитием» – вероятно, ему они выгодны.

Решения, которые мы принимаем, часто влияют на вероятность заражения инфекционными заболеваниями: отдыхать ли в экзотических странах; с кем разрешать играть нашим детям; пользоваться ли переполненным общественным транспортом. Когда мы болеем, мы принимаем другие решения – отменить ли долгожданную встречу с друзьями, отпускать ли ребенка в школу или подержать его дома, закрывать ли рот при кашле. Эти решения влияют на вероятность передачи болезни другим. Решающее решение, вакцинировать ли себя и своих иждивенцев, принять можно только заблаговременно. Это влияет на наши шансы не только подхватить, но и передать заболевания.

Некоторые из этих решений обходятся нам недорого и принять их просто. Воспользоваться салфеткой или носовым платком несложно. Доказано, что простое – частое и тщательное – мытье рук уменьшает реальный коэффициент репродукции респираторных заболеваний (таких как грипп) на целых 3/4. Для некоторых болезней этого хватит, чтобы опуститься ниже порогового значения R0, не позволяющего инфекционному заболеванию вырваться на свободу.

Другие решения ставят нас перед серьезными дилеммами. Всегда заманчиво отправить детей в школу, махнув рукой на то, что это увеличит количество контактов, при которых возможна передача инфекции, повысив тем самым вероятность эпидемии. В основе всех наших решений должно лежать понимание связанных с ними рисков и их последствий.

Математическая эпидемиология дает возможность оценить и понять эти решения. Она объясняет, почему для всех будет лучше, если больной останется дома и не пойдет на работу или в школу. Она рассказывает, как и почему мытье рук может помочь предотвратить вспышки болезней, снижая силу инфекции. Иногда парадоксальным образом она может показать, что самые страшные болезни – не главный повод для беспокойства.

В более широком масштабе она предлагает стратегии борьбы со вспышками заболеваний и превентивные меры для их предотвращения. В сочетании с надежными научными данными математическая эпидемиология показывает, что вакцинация – это очевидное решение. Она защищает не только вас, она защищает вашу семью, друзей, соседей и коллег. Данные Всемирной организации здравоохранения показывают, что вакцины ежегодно предотвращают миллионы смертей и могли бы предотвратить еще больше, если бы мы сумели расширить глобальный охват вакцинирования [204]. Прививки – лучший из имеющихся у нас способов предотвращения вспышек смертельных заболеваний и единственная возможность навсегда покончить с их разрушительными последствиями. Математическая эпидемиология – проблеск надежды на будущее, ключ, который может раскрыть секреты того, как достичь этих грандиозных целей.

Эпилог

Математическая эмансипация

Математика сформировала нашу историю: через предков, которые выиграли в эволюционной лотерее и победили болезни, мучавшие и прореживавшие наш вид. Наша биология отражает незыблемые правила математики. В то же время наше чувство прекрасного в математике изменилось, отражая нашу физиологию, и взаимодействие с математикой эволюционировало вместе с нами на протяжении миллионов лет, чтобы достичь своего нынешнего состояния.

В современном обществе математика лежит в основе почти всего, что мы делаем. Она жизненно важна для коммуникации и для навигации. Она полностью изменила то, как мы покупаем и продаем, и произвела революцию в том, как мы работаем и отдыхаем. Ее влияние можно ощутить почти в каждом зале суда и в каждой больничной палате, в каждом офисе и в каждом доме.

Математика используется ежедневно для выполнения задач, ранее представлявшихся немыслимыми. Сложные математические алгоритмы позволяют найти ответ практически на любой вопрос за считаные секунды. Люди во всем мире мгновенно связываются между собой математической силой интернета. Защитники правосудия используют математику для общего блага при обнаружении преступников с помощью судебной археологии.

Однако мы должны помнить, что математика хороша настолько, насколько доброжелательны те, кто ее использует. В конце концов, та же самая математика, которая изобличила фальсификатора Хана ван Мегерена, дала нам и атомную бомбу. Разумеется, мы должны стремиться понять все последствия применения математических инструментов, на которые так часто всецело полагаемся. То, что начинается с рекомендаций друзей и персонализированной рекламы, может закончиться фейковыми новостями или вторжением в частную жизнь.

Проникая все глубже в нашу повседневность, математика множит риски неожиданных бедствий. На каждое выдающееся, невероятное прежде свершение, достигнутое с помощью математики, приходится очередная катастрофа, вызванная математической ошибкой. Тщательные расчеты проложили человеку дорогу на Луну, но математическая небрежность уничтожила космический аппарат Mars Orbiter стоимостью миллионы долларов. При правильном обращении математика может стать мощным инструментом криминального анализа, но злоупотребление ею недобросовестными крючкотворами может стоить невинным людям свободы. В своих лучших проявлениях математика – это самая современная медицинская технология, которая может спасти жизни, но в худших – неверно рассчитанные дозы. Наш долг – учиться на математических ошибках, чтобы не повторять их в будущем или же, что еще лучше, исключить саму возможность таких ошибок.

Математическое моделирование может дать нам некоторое представление о том, как будет выглядеть это будущее. Математические модели не столько описывают мир таким, какой он есть – исходя из данных, по которым они откалиброваны, – но, скорее, обеспечивают некоторую степень ясновидения. Математическая эпидемиология позволяет нам заглянуть в будущее развитие болезни и принять активные превентивные меры, вместо того чтобы постоянно играть «вторым номером», пытаясь наверстать упущенное. Оптимальная остановка может повысить наш шанс на наилучший выбор, когда у нас нет возможности увидеть все варианты заранее. Индивидуальная геномика может совершить революцию в понимании природы рисков развития заболеваний, но только в том случае, если мы сможем стандартизировать математику, с помощью которой интерпретируем результаты.

Математика была, есть и всегда будет тем глубинным течением, которое почти незаметно под поверхностью повседневной текучки. Однако мы должны быть осторожны – если попытаться применять этот поток не по предназначению, он просто снесет нас. Есть задачи и виды деятельности, для которых математика совершенно не подходит, а есть те, в которых применение математических методов должно постоянно и строго контролироваться человеком. Даже если решение некоторых сложнейших интеллектуальных задач и можно доверить алгоритму, сердечные вопросы никак не решить при помощи простой инструкции. Ни один код или уравнение никогда не сможет сымитировать всю многогранность человеческого состояния.

Тем не менее некоторые математические знания в нашем все более связанном с подсчетами обществе могут помочь нам обуздать силу чисел и использовать ее во благо. Простые правила позволяют нам делать наилучший выбор и избегать наихудших ошибок. Небольшая коррекция нашего восприятия стремительно развивающейся действительности помогают сохранять спокойствие перед лицом лавинообразных изменений или адаптироваться ко все более автоматизированным реалиям. Базовые модели наших действий, реакций и взаимовлияния могут подготовить нас к будущему еще до того, как оно наступит. Осмысление опыта других людей, на мой взгляд, и есть самая простая и мощная модель. Эти истории позволяют нам учиться на ошибках наших предшественников – чтобы перед началом любого приключения в мире чисел мы смогли убедиться, что говорим на одном языке, синхронизировали наши часы и проверили, что у нас достаточно топлива в баке.

Один из залогов победы в битве за расширение наших математических возможностей (или математической эмансипации, если хотите) – способность ставить под сомнение и оспаривать авторитет тех, кто владеет математическим оружием, способность разрушать иллюзию достоверности. Оценивая абсолютные и относительные риски, уровень смещения соотношений, некорректность фрейминга и предвзятость выборки, мы сможем развить критическое восприятие статистики в кричащих газетных заголовках, «исследований», навязываемым нам в рекламе, или полуправды, которой нас пичкают политики. Осознание экологических ошибок и зависимости событий позволяет нам развеять флер таинственности и противостоять попыткам запутать нас математическими аргументами в зале суда, в классе или клинике.

Мы не должны допускать, чтобы человек с самой шокирующей статистикой всегда выигрывал в споре, требуя объяснения математики, стоящей за цифрами. Мы не должны позволять медицинским шарлатанам с их альтернативной терапией, которая является лишь регрессией к среднему, отваживать нас от действительно спасительного лечения. Мы не должны позволять антипрививочникам заставлять нас сомневаться в эффективности вакцинации, когда математика доказывает, что она может спасти предрасположенных к недугу людей и уничтожить болезнь.

Пришло время вернуть власть в свои руки, потому что иногда математика действительно является вопросом жизни и смерти.

Слова признательности

Название и основная идея книги «Математика жизни и смерти» как книги о скрытом влиянии математики на нашу повседневную жизнь родились из пьяного разговора в пабе, когда я впервые встретил своего агента Криса Уэлбилоу лицом к лицу. Крис просмотрел черновики каждой истории и каждой главы, которые я ему послал, сделал много чего еще. Я в большом долгу перед ним за то, что он рискнул взять мою книгу и успешно провел меня через процесс ее подачи и написания.

Со дня заключения контракта с издателем Quercus мой редактор Кэти Фоллен была на моей стороне. Она просматривала многочисленные черновики и внесла предложения, которые неизмеримо улучшили книгу. Мой редактор в США Сара Голдберг оказала огромное влияние на направление, в котором развивалась эта книга. Хочу выразить им обеим отдельную признательность за то, что они нашли время для совместной работы и обеспечили бесперебойную обратную связь. Спасибо им и всем остальным скромным людям, которые неустанно работали в Quercus и Scribner над этой книгой, оставаясь при этом в тени.

Я в большом долгу перед всеми, с кем я общался, когда писал эту книгу, – все они любезно согласились поделиться со мной своими историями. Ваши рассказы о математических катастрофах и триумфах – остов книги. Она просто не получилась бы, если бы не ваше время и ваши усилия, которые вы щедро тратили на то, чтобы отвечать на мои длинные и не всегда уместные вопросы.

Я благодарен Институту математических инноваций при Университете Бата, который оказал мне поддержку во время внутренней стажировки. Это позволило мне сделать именно такую книгу, которую я хотел, и с той заботой, которую она заслуживала. В более широком смысле, многие из моих коллег по университету, которым я рассказывал о книге, оказали мне огромную поддержку и помощь. Мой родной Сомервиль, колледж в Оксфорде, также предоставил мне место для работы, когда мне требовалось уехать из дома, и я благодарен за это.

Когда я только начал писать книгу и понял, что мне нужны настоящие математические умы для критики моей работы, я обратился к бывшим коллегам по докторской диссертации и близким друзьям Гэбриэлу Россеру и Аарону Смиту. Не до конца понимая, во что они ввязываются, они согласились просмотреть первые черновики, несмотря на то, что у них были маленькие дети и много других жизненных забот, которые нуждались во внимании. Моя самая искренняя благодарность им за замечания, значительно улучшившие книгу.

Мой большой друг и коллега Крис Гивер был так добр, что разрешил жить у него дома раз в неделю более года, пока я писал эту книгу. Он стал отличным тестером для моих идей, обсуждая и споря со мной ночами напролет о книге, о науке и о жизни в целом. Крис, ты даже не понимаешь, как много для меня значила твоя щедрость. Спасибо.

Мои родители, Тим и Мэри, были самыми преданными моими сторонниками на протяжении всего этого процесса. Они прочитали всю книгу дважды. Они – моя аудитория нематематиков. Однако я обязан им не только их проницательными комментариями и тщательной корректурой, но и своим образованием и своими ценностями. Вы поддерживали меня во взлетах и падениях. Я никогда не смогу достойно отблагодарить вас.

Моя сестра Люси помогла мне сплести нити моих первых идей в нечто, похожее на внятную заявку на книгу. Не будет преувеличением сказать, что книги не было бы без времени и усилий, которые она вложила в чуткую критику моего творчества, и верного направления, которое она задала мне в самом начале.

Я в долгу – возможно, чуть менее очевидном – перед всеми своими родственниками, близкими и дальними, за то, что, помимо всего прочего, они никогда не жаловались, когда я засыпал посреди семейного собрания, потому что прошлой ночью не ложился допоздна, чтобы поработать над книгой. Важность этой передышки переоценить невозможно.

Наконец, людям, которые больше всего, пожалуй, переживали за эту книгу: моей семье. Моя жена Кэролайн невероятно поддерживала проект, даже возилась с разделами книги, посвященными генетике, – когда я ей позволял. Она не только поддерживала начинающего автора, но к тому же была крутой мамой и работала на руководящей должности на полную ставку. Мое восхищение тобой непоколебимо. Наконец, Эм и Уиллу. Вы – мой якорь на этой земле. Спасибо вам. Любые заботы вылетают у меня из головы, когда я возвращаюсь домой; здесь нет места ни для чего, кроме вас двоих. Даже если ни один экземпляр этой книги не купят, я знаю, что для вас это ничего не изменит.


Математика жизни и смерти. 7 математических принципов, формирующих нашу жизнь

Примечания

1

Pollock, K. H. (1991). Modeling capture, recapture, and removal statistics for estimation of demographic parameters for fish and wildlife populations: past, present, and future. Journal of the American Statistical Association, 86 (413), 225. https://doi.org/10.2307/2289733

2

Doscher, M. L., & Woodward, J. A. (1983). Estimating the size of subpopulations of heroin users: applications of log-linear models to capture/recapture sampling. The International Journal of the Addictions, 18 (2), 167–82. Hartnoll, R., Mitcheson, M., Lewis, R., & Bryer, S. (1985). Estimating the prevalence of opioid dependence. Lancet, 325 (8422), 203–5. https://doi.org/10.1016/S0140-6736 (85) 92036–7 Woodward, J. A., Retka, R. L., & Ng, L. (1984). Construct validity of heroin abuse estimators. International Journal of the Addictions, 19 (1), 93–117. https://doi.org/10.3109/10826088409055819

3

Spagat, M. (2012). Estimating the Human Costs of War: The Sample Survey Approach. Oxford University Press. https://doi.org/10.1093/oxfordhb/9780195392777.013.0014

4

Одно из старейших и авторитетнейших научных обществ в мире. – Прим. пер.

5

Botina, S. G., Lysenko, A. M., & Sukhodolets, V. V. (2005). Elucidation of the taxonomic status of industrial strains of thermophilic lactic acid bacteria by sequencing of 16S rRNA genes. Microbiology, 74 (4), 448–52. https://doi.org/10.1007/s11021-005-0087-7

6

Cardenas, A. M., Andreacchio, K. A., & Edelstein, P. H. (2014). Prevalence and detection of mixed-population enterococcal bacteremia. Journal of Clinical Microbiology, 52 (7), 2604–8. https://doi.org/10.1128/JCM.00802–14

Lam, M. M. C., Seemann, T., Tobias, N. J., Chen, H., Haring, V., Moore, R. J., Stinear, T. P. (2013). Comparative analysis of the complete genome of an epidemic hospital sequence type 203 clone of vancomycin resistant Enterococcus faecium. BMC Genomics, 14, 595. https://doi.org/10.1186/1471–2164–14–595

7

Клуб деловых людей, популярная форма организации сообщества предпринимателей. – Прим. пер.

8

National Society for the Prevention of Cruelty to Children – Национальное общество предупреждения жестокого обращения с детьми, благотворительная организация Великобритании. – Прим. пер.

9

Von Halban, H., Joliot, F., & Kowarski, L. (1939). Number of neutrons liberated in the nuclear fission of uranium. Nature, 143 (3625), 680. https://doi.org/10.1038/143680a0

10

Webb, J. (2003). Are the laws of nature changing with time? Physics World, 16 (4), 33–8. https://doi.org/10.1088/2058–7058/16/4/38

11

«Малыш» взорвался на высоте 576 м. – Прим. пер.

12

Bernstein, J. (2008). Nuclear Weapons: What You Need to Know. Cambridge University Press.

13

Расхождения во времени обусловлены тем, что автор приводит данные по своему часовому поясу. – Прим. ред.

14

Единица измерения поглощенной дозы ионизирующего облучения. – Прим. пер.

15

International Atomic Energy Agency. (1996). Ten years after Chernobyl: what do we really know? In Proceedings of the IAEA/WHO/EC International Conference: One Decade after Chernobyl: Summing Up the Consequences. Vienna: International Atomic Energy Agency.

16

Greenblatt, D. J. (1985). Elimination half-life of drugs: value and limitations. Annual Review of Medicine, 36 (1), 421–7. https://doi.org/10.1146/annurev.me.36.020185.002225 Hastings, I. M., Watkins, W. M., & White, N. J. (2002). The evolution of drug-resistant malaria: the role of drug elimination half-life. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series B: Biological Sciences, 357 (1420), 505–19. https://doi.org/10.1098/rstb.2001.1036

17

Leike, A. (2002). Demonstration of the exponential decay law using beer froth. European Journal of Physics, 23 (1), 21–6. https://doi.org/10.1088/0143–0807/23/1/304 Fisher, N. (2004). The physics of your pint: head of beer exhibits exponential decay. Physics Education, 39 (1), 34–5. https://doi.org/ 10.1088/0031–9120/39/1/F11

18

Rutherford, E., & Soddy, F. (1902). LXIV. The cause and nature of radioactivity. Part II. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4 (23), 569–85. https://doi.org/10.1080/14786440209462881 Rutherford, E., & Soddy, F. (1902). XLI. The cause and nature of radioactivity. Part I. The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science, 4 (21), 370–96. https://doi.org/10.1080/14786440209462856

19

Bonani, G., Ivy, S., Wolfli, W., Broshi, M., Carmi, I., & Strugnell, J. (1992). Radiocarbon dating of Fourteen Dead Sea Scrolls. Radiocarbon, 34 (03), 843–9. https://doi.org/10.1017/S0033822200064158 Carmi, I. (2000). Radiocarbon dating of the Dead Sea Scrolls. In L. Schiffman, E. Tov, & J. VanderKam (eds.), The Dead Sea Scrolls: Fifty Years After Their Discovery. 1947–1997 (p. 881). Bonani, G., Broshi, M., & Carmi, I. (1991). 14 Radiocarbon dating of the Dead Sea scrolls. ’Atiqot, Israel Antiquities Authority.

20

Starr, C., Taggart, R., Evers, C. A., & Starr, L. (2019). Biology: The Unity and Diversity of Life, Cengage Learning.

21

Bonani, G., Ivy, S. D., Hajdas, I., Niklaus, T. R., & Suter, M. (1994). Ams 14C age determinations of tissue, bone and grass samples from the otztal ice man. Radiocarbon, 36 (02), 247–250. https://doi.org/10.1017/S0033822200040534

22

Keisch, B., Feller, R. L., Levine, A. S., & Edwards, R. R. (1967). Dating and authenticating works of art by measurement of natural alpha emitters. Science, 155 (3767), 1238–42. https://doi.org/10.1126/science.155.3767.1238

23

Провокационная игра слов на созвучии слова «деньги» (money) и фамилию Ромни (Romney). – Прим. пер.

24

Издано на русском языке: Докинз Р. Эгоистичный ген. – АСТ, М.: 2013.

25

#thedress – известная оптическая «аномалия» с платьем, которое разные зрители видели либо бело-золотым, либо черно-синим; #rickrolling – интернет-розыгрыш, жертве которого под видом чего-то интересного присылается гиперссылка на ролик поп-звезды 80-х Рика Эстли Never Gonna Give You Up, сегодня воспринимающийся, скорее, как унылая пошлятина; #Lolcats – фото кошек со смешными (с точки зрения авторов) подписями. – Прим. пер.

26

Kenna, K. P., van Doormaal, P. T. C., Dekker, A. M., Ticozzi, N., Kenna, B. J., Diekstra, F. P., Landers, J. E. (2016). NEK1 variants confer susceptibility to amyotrophic lateral sclerosis. Nature Genetics, 48 (9), 1037–42. https://doi.org/10.1038/ng.3626

27</